巧用公式 妙手生花

王霞

【摘 要】 ?中考試題中常涉及到求雙曲線上任意兩點與坐標(biāo)原點圍成三角形面積的問題，其解法常用圖形割補法，但圖形割補法不僅圖形復(fù)雜且計算量大，而且成功率較低.本文提供一種簡潔巧妙的公式，利用它進(jìn)行計算將大大提高解題速度和準(zhǔn)確率.

【關(guān)鍵詞】 ??反比例函數(shù);三角形面積;圖形割補

在反比例函數(shù)背景下探究幾何圖形的面積，是反比例函數(shù)中的一類典型問題，是數(shù)形結(jié)合的典范[1].中考試題中常涉及到求雙曲線上任意兩點與坐標(biāo)原點圍成的三角形面積問題.解決此類問題的常規(guī)方法采取割補的方法，將三角形的面積轉(zhuǎn)化為其它規(guī)則圖形（如矩形、梯形等）的面積來解決.這種方法計算量較大，體現(xiàn)不出數(shù)學(xué)的簡潔美，下面提供一種簡潔的、公式化的計算方法，以供參考.

1 ?公式及證明

如圖1，已知A（x 1，y 1）、B（x 2，y 2）為雙曲線y= k x （k>0）上的任意兩點，則點A、B與坐標(biāo)原點O圍成的三角形的面積為：S △AOB= 1 2 ?k · ?x 1 x 2 - x 2 x 1 ?（其中A，O，B三點不共線）.

下面就采用常規(guī)的方法——圖形割補法對上述結(jié)論給與證明.

我們知道，雙曲線y= k x （k>0）的圖象有兩支組成，為了證明的嚴(yán)謹(jǐn)性，我們應(yīng)分兩種情況進(jìn)行證明：（1）點A和點B在雙曲線y= k x （k>0）的圖象的同一分支上（以兩點都在第一象限證明），如圖1①;（2）點A和點B在雙曲線y= k x （k>0）的圖象的不同分支上，如圖1②.

證明 ?（1）如圖1①，已知A（x 1，y 1）、B（x 2，y 2）為雙曲線y= k x （k>0）上任意兩點，分別過A，B兩點向x軸作垂線，交x軸于M，N，則：

S △AOM= 1 2 ?x 1 · y 1 = 1 2 ?x 1y 1 = 1 2 ?k ，

S △BON= 1 2 ?x 2 · y 2 = 1 2 ?x 2y 2 = 1 2 ?k ，

所以S △AOM=S △BON= 1 2 ?k . ??①

所以S △AOB=S 四邊形OABN-S △BON=S 四邊形OABN-S △AOM=S 梯形AMNB，

即S △AOB=S 梯形AMNB[2]. ?②

因為S 梯形AMNB= 1 2 ?y 1+y 2 · x 2-x 1

= 1 2 ??k x 1 + k x 2 ?· x 2-x 1 = 1 2 ?k · （ 1 x 1 + 1 x 2 ）·（x 2-x 1） = 1 2 ?k · ?x 1 x 2 - x 2 x 1 ?. 所以S △AOB= 1 2 ?k · ?x 1 x 2 - x 2 x 1 ?.

（2）如圖1②，延長BO與雙曲線的另一分支交于點C.

由反比例函數(shù)的中心對稱性可知：OB=OC，C（-x 2，-y 2），則

S △AOB=S △AOC=S 梯形AMNC= 1 2 ?y 1+（-y 2） · （-x 2）-x 1

= 1 2 ??k x 1 - k x 2 ?· x 2+x 1 = 1 2 ?k · （ 1 x 1 - 1 x 2 ）·（x 2+x 1） = 1 2 ?k · ?x 1 x 2 - x 2 x 1 ?.

注 ?上述證明過程中的①式、②式是反比例函數(shù)中的兩個重要結(jié)論，應(yīng)用率非常高.本文中公式是在②式的基礎(chǔ)上推演而生，感興趣的話您可以嘗試從其它角度推演. ?2 ?公式的應(yīng)用

上述公式簡潔對稱，易于記憶.只要知道反比例函數(shù)的解析式及其圖象的任意兩點的橫坐標(biāo)（或這兩點橫坐標(biāo)的倍分關(guān)系），就可求出：雙曲線上任意兩點與原點（三點共線時除外）連接而成的三角形的面積.下面通過實例說明其應(yīng)用.

例1 ?（2021年樂山市中考）如圖2，直線l分別交x軸、y軸于A，B兩點，與反比例函數(shù)y= k x （k≠0）的圖象交于P，Q兩點.若AB=2BP，且△AOB的面積為4.

（1）求k的值;

（2）當(dāng)點P的橫坐標(biāo)為-1時，求△POQ的面積.

解析 ?（1）由AB=2BP，△AOB的面積為4，知

AB AP = 2 3 ， S △AOB S △AOP = AB AP = 2 3 ，所以S △AOP= 3 2 S △AOB= 3 2 ×4=6.

過點P向x軸作垂線交x軸于點H，則PH∥BO，

所以 AO OH = AB BP = 2 1 ，所以 S △POA S △POH = AO OH = 2 1 ，

所以S △POH= 1 2 S △AOP= 1 2 ×6=3，

所以 k =2S △POH=6.因為k<0，所以k=-6.

（2）由（1）知y=- 6 x ，所以P（-1，6）.

由 BO PH = AB AP = 2 3 ，知OB= 2 3 PH= 2 3 ×6=4，所以B（0，4）.

由點P（-1，6），B（0，4）可得y AB=-2x+4.

由 ?y=- 6 x ，y=-2x+4， ?可求得點Q（3，-2）.

所以S △POQ= 1 2 ?k · ?x 1 x 2 - x 2 x 1 ?= 1 2 ?-6 · ?-1 3 - 3 -1 ?=8.

例2 ?（2022年廣元市中考）如圖3，已知平面直角坐標(biāo)系中，點A在x軸負(fù)半軸上，點B在第二象限內(nèi)，反比例函數(shù)y= k x 的圖象經(jīng)過△OAB的頂點B和邊AB的中點C，如果△OAB的面積是6，那么k的值是 .

解析 ?連接OC，因為點C是AB的中點，所以S △BOC= 1 2 S △OAB= 1 2 ×6=3.

分別過點C，B向x軸作垂線，垂足分別為點M，N，則BN∥CM，BN=2CM.即點B的縱坐標(biāo)為點C縱坐標(biāo)的2倍.

設(shè)點C的坐標(biāo)為（t， k t ），所以點B的坐標(biāo)為（ 1 2 t， 2k t ）.

由公式，得S △BOC= 1 2 ?k · ?t ?1 2 t - ?1 2 t t ?=3，

整理求得k=-4（正值舍去）.

例3 ?如圖4，直線y=-x+b與雙曲線y= 1 x （x>0）的圖象交于A，B兩點，與x軸、y軸分別交于C，D兩點，連結(jié)OA，OB，若S △OAB=S △OAD+S △OBC，則b= .

解析 ?由直線y=-x+b的解析式，可知點C（b，0）、D（0，b），

所以S △COD= 1 2 CO·DO= 1 2 b2.

因為S △OAB=S △OAD+S △OBC，

所以S △AOB= 1 2 S △COD= 1 4 b2.

由題意，得-x+b= 1 x ，

所以x2-bx+1=0，解得x= b± b2-4 ?2 ，

所以A、B兩點的橫坐標(biāo)分別為 b- b2-4 ?2 、 b+ b2-4 ?2 .

由公式，得S △AOB= 1 2 ×1× ??b- b2-4 ?2 ??b+ b2-4 ?2 ?- ?b+ b2-4 ?2 ??b- b2-4 ?2 ??= 1 4 b2，

整理，得 b b2-4 ?= 1 2 b2，兩邊平方，化簡求得b= 4 3 ?3 .

例4 ??（2019年新疆中考）如圖5，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知正比例函數(shù)y=-2x與反比例函數(shù)y= k x 的圖象相交于A（a，-4）、B兩點，過O點的另一條直線l與雙曲線y= k x 的圖象相交于P、Q兩點（點P在第二象限），若以A，B，P，Q為頂點的四邊形面積為24，則點P的坐標(biāo)是 .

解析 ?由直線y=-2x與雙曲線y= k x 的圖象相交于點A（a，-4），于是可求得點A（2，-4），反比例函數(shù)的解析式為y=- 8 x .

由反比例函數(shù)圖象的中心對稱性可知，OA=OB，OP=OQ，

所以四邊形AQBP是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）. 對角線將平行四邊形的面積四等分，所以S △POA=6.

設(shè)點P坐標(biāo)為（t，- 8 t ）（t<0），

所以S △POA= 1 2 × -8 · ?2 t - t 2 ?=6，解得，t=-1或t=-4，所以點P坐標(biāo)為（-1，8）或（-4，2）.

評注 ?本例中的常規(guī)解法，需要進(jìn)行分類討論.按點P在點B的上方或下方兩種情況進(jìn)行分類解答.部分學(xué)生由于受思維定勢的影響會出現(xiàn)漏解的情況，而運用本文中的公式解答則可避免因分類討論而產(chǎn)生漏解的情況，從而提高了解題的正確性. ????圖6

例5 ?（2022年寧波市中考）如圖6，矩形OABC，點A在第二象限，點A關(guān)于OB的對稱點為點D，點B，D都在函數(shù)y= 6 2 ?x （x>0）的圖象上，BE⊥x軸于點E，若DC的延長線交x軸于點F，當(dāng)矩形OABC面積為9 2 時， EF OE 的值是 ，點F的坐標(biāo)為 .

解析 ?連接OD.

因為點A關(guān)于OB的對稱點為D，

所以△BOD≌△BOA，所以S △BOD=S △BOA=S △BOC= 9 2 ?2 .

因為△BOD≌△OBC，同底且面積相等，

所以DC∥BO，連接BF，由S △BOF=S △BOC= 9 2 ?2 ，

所以 EF OE = S △BEF S △BEO = S △BOF-S △BOE S △BOE = ?9 2 ?2 - 6 2 ?2 ??6 2 ?2 ?= 1 2 ，

所以O(shè)F= 3 2 OE.

設(shè)點B（a， 6 2 ?a ），D（b， 6 2 ?b ）（b>a>0）.

由公式得，S △BOD= 1 2 ×6 2 × ?a b - b a ?= 9 2 ?2 ，

整理，得2b2-3ab-2a2=0，解得b=2a，b=- 1 2 a（舍去），

所以D（2a， 3 2 ?a ），OF= 3 2 OE= 3 2 a，點F（ 3 2 a，0）.

過點D作DG⊥x軸于點G，過點B作BH⊥y軸，交GD的延長線于點H.

由△BHD∽△DGO，得 BH DG = DH OG ，即 2a-a ?3 2 ?a ?= ?6 2 ?a - 3 2 ?a ?2a ，解得a= 3 .

所以點F（ 3 3 ?2 ，0）.

在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，既要讓學(xué)生掌握并靈活運用課本上直接或間接給出的結(jié)論，還應(yīng)重視以現(xiàn)有結(jié)論和相關(guān)題目為載體多角度、多元化的深入研究，進(jìn)而推導(dǎo)出的新結(jié)論的應(yīng)用.這些結(jié)論，不僅能幫助我們快速找到解題的思路，而且對選擇題、填空題等特殊題型的解答，更能起到事半功倍的效果.這不僅有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又能培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)結(jié)論解決數(shù)學(xué)問題的能力，同時還提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識，對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力具有重要的現(xiàn)實意義.

參考文獻(xiàn)

[1] 韋麗云.把握思維規(guī)律 提升復(fù)習(xí)實效——以“反比例函數(shù)與圖形面積”為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2022（4），73-75.

[2] 李春花.反比例函數(shù)中的幾個重要結(jié)論及應(yīng)用[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2019（11），55-57.