小題壓軸 構(gòu)建支架 凸顯本質(zhì)

陳冬

【摘 要】 ?選擇題、填空題的壓軸題雖為一道小題，但其題量內(nèi)涵、知識外延、思維的廣度與深度、選拔的區(qū)分度與難度等都會有所提升，如果按常規(guī)的解題技巧和方法去做，可能花了較多時間算出來還是模棱兩可的結(jié)果.為此，壓軸小題常有其獨特的解題思路和策略，構(gòu)建恰當(dāng)、合理的情境支架，多方位、多角度構(gòu)建情境支架，既有利于壓軸小題思路的展開與延伸，又激發(fā)了壓軸小題本質(zhì)的凸顯與深化.

【關(guān)鍵詞】 ?情境;支架;本質(zhì)

原題呈現(xiàn) ?（2022年江蘇省蘇州市中考第16題） 如圖1，在矩形 ABCD中， AB BC = 2 3 .動點M從點A出發(fā)，沿邊AD向點D勻速運動，動點N從點B出發(fā)，沿邊BC向點C勻速運動，連接MN.動點M，N同時出發(fā)，點M運動的速度為v 1，點N運動的速度為v 2，且v 1

分析 ?本題屬于矩形背景下的動點問題、翻折問題，涉及到矩形的性質(zhì)、翻折性質(zhì)、軸對稱性質(zhì)、中點性質(zhì)、兩個三角形相似的判定與性質(zhì)、勾股定理及兩個三角形全等的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握相關(guān)判定及性質(zhì)，求出相應(yīng)線段長是解決這道壓軸題的關(guān)鍵.

解答 ?如圖2，在矩形ABCD中， AB BC = 2 3 ，設(shè)AB=2a，BC=3a，所以CD=AB=2a，AD=BC=3a，運動時間為t，所以BN=v 2t，AM=v 1t.在運動過程中，將四邊形MABN沿MN翻折，得到四邊形MA′B′N，所以B′N=BN=v 2t，A′M=AM=v 1t.若在某一時刻，點B的對應(yīng)點B′恰好在CD的中點重合，所以DB′=B′C=a，在 Rt △B′CN中，∠C=90 ° ，B′C=a，B′N=v 2t，CN=3a-v 2t，由勾股定理：B′C2+CN2=B′N2，易得BN=v 2t= 5 3 a.

因為∠A′B′N=∠B=90 ° ，所以∠A′B′D+∠CB′N=90 ° .因為∠CNB′+∠CB′N=90 ° ，所以∠A′B′D=∠CNB′，所以△EDB′∽△B′CN，所以 DE DB′ = B′C CN = B′C BC-BN = a 3a- 5 3 a = 3 4 .

因為DB′=B′C=a，所以DE= 3 4 DB′= 3 4 a，則B′E= （DB′）2+DE2 = a2+ ?3 4 a 2 = 5 4 a，所以A′E=A′B′-B′E=2a- 5 4 a= 3 4 a，即DE= 3 4 a=A′E.

在△A′EM和△DEB′中，

∠A′=∠D=90 ° ，A′E=DE，∠A′EM=∠DEB′，

所以△A′EM≌△DEB′（ ASA ），所以A′M=B′D=a，即AM=v 1t=a，所以 v 1 v 2 = v 1t v 2t = AM BN = a ?5 3 a = 3 5 .

解后思考 ?上述解答實為本題的通式通法，充分利用圖形翻折、矩形的性質(zhì)、中點性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及全等三角形的判定與性質(zhì)等諸多知識，最終解決了兩動點的速度之比問題.但回頭細想，本題為填空式壓軸題，涉及的知識點多、計算量大，學(xué)生在較短時間內(nèi)解決這個問題，必定要費些周折.那有沒有快捷、有效的解題思路方法呢？答案是肯定的，我們來欣賞幾種解法.

1.特殊值法

分析 ?此題用這個特殊值作情境支架的話，可以簡化參數(shù)帶來的繁瑣，可能比較貼近學(xué)生的思維，學(xué)生更容易上手解答.當(dāng)然作為填空題，這樣做也不會影響最后正確答案的得出.

簡答 ?如圖3，由題中 AB BC = 2 3 ，我們不妨設(shè)AB=2，BC=3，則AB=CD=2，AD=BC=3，由點B′為CD的中點，可得DB′=B′C=1.在 Rt △B′CN中，由勾股定理：B′C2+CN2=B′N2，易得BN=B′N= 5 3 ，CN= 4 3 .由∠A′B′N=∠C=∠D=90 ° ，易證△EDB′∽△B′CN，于是便可得DE= 3 4 ，B′E= 5 4 ，又A′B′=AB=2，易得A′E= 3 4 ，然后發(fā)現(xiàn)△A′EM≌△DEB′（ ASA ），可得A′M=B′D=1，即AM=A′M=1，則 v 1 v 2 = AM BN = 1 ?5 3 ?= 3 5 .

2.K模型法

分析 ?本題通過翻折發(fā)現(xiàn)圖中存在“K”字形這個基本圖形，然后直接利用“K”字模型作情境支架，將三角形問題“模塊”化，利于拓展解題思路，提高解題效率.當(dāng)無法直接發(fā)現(xiàn)“K”字形圖，欲利用這種基本模型來解決問題，可以通過添加輔助線的方法，構(gòu)造出我們熟悉的K模型.當(dāng)然，“K”字形圖一般為“一線三垂直”形式，從中可以得出兩三角形全等或相似.有時我們可將垂直條件弱化，同樣可以構(gòu)造出“K” 字形圖.

簡答 ?如圖4，我們可以在原題解答的基礎(chǔ)上，連接MB和MB′，利用翻折可知MB=MB′，易證△MDB′≌△BAM，于是AM=DB′=a，則 v 1 v 2 = v 1t v 2t = AM BN = a ?5 3 a = 3 5 .

3.十字架模型法

分析 ?“十字架模型”是數(shù)學(xué)平面幾何中比較重要的一個模型.常見的類型有正方形中的十字架和矩形中的十字架.本題除了由折疊的性質(zhì)得到圖形全等外，還能由軸對稱分析得出：對稱軸垂直平分對應(yīng)點之間的連線段.為此，我們構(gòu)建這個“十字架模型”作情境支架，引導(dǎo)學(xué)生透過表象，抓住本質(zhì)看問題，充分挖掘解題模型隱含著的關(guān)鍵信息和特征條件，學(xué)生就能進一步實現(xiàn)知識的遷移應(yīng)用，拓寬思維，加深對模型的全面理解，提高解題能力[1].

簡答 ?如圖5，連接BB′，過點M作MG⊥BC于G.BB′與MN構(gòu)成“十字架”，由翻折可知BB′⊥MN，易證△MNG∽△BB′C，得 MG BC = NG B′C ，由MG=AB=2a，B′C=a，BC=3a，得出NG= 2 3 a，再由NB= 5 3 a，可得出AM=BG=a，則 v 1 v 2 = v 1t v 2t = AM BN = a ?5 3 a = 3 5 .

4.角平分線+平行線等腰三角形

分析 ?角平分線與等腰三角形有著緊密的聯(lián)系.比如，在許多幾何問題中，遇到等腰三角形就會想到頂角的平分線，遇到角平分線又會想到構(gòu)造等腰三角形.當(dāng)一個圖形里出現(xiàn)角平分線和平行線時，我們發(fā)現(xiàn)圖中會出現(xiàn)兩角相等或兩線段相等，即“角平分線+平行線等腰三角形”.本題我們可構(gòu)建這個模型作情境支架，透過表面現(xiàn)象，挖掘本質(zhì)屬性，便會從中歸納出某些規(guī)律性的東西，并可以用這個共性結(jié)論去指導(dǎo)解決類似的問題[2].

簡答 ?如圖6，其實這道題的難點在于如何求AM的長度，我們可以延長NB′和AD，兩延長線交于點H.由翻折知∠MNB=∠MNB′，由AD∥BC可得∠MNB=∠DMN，則∠MNB′=∠DMN，于是有HM=HN.易證△HDB′≌△NCB′，則有HB′=NB′= 5 3 a，HD=NC= 4 3 a，于是有HM=HN= 10 3 a，DM=HM-HD= 10 3 a- 4 3 a=2a，所以AM=AD-DM=a，則 v 1 v 2 = v 1t v 2t = AM BN = a ?5 3 a = 3 5 .

5.?建立坐標(biāo)系法

分析 ?一般來說，幾何問題較多利用幾何圖形的性質(zhì)與判定來解，但如果我們跳出這個框框，構(gòu)建適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系作情境支架，從中可以說明或確定某些點的位置、運動的快慢、方向等.因此，我們可以在此坐標(biāo)系中，按規(guī)定方法選取有次序的一組數(shù)據(jù)，即“坐標(biāo)”，利用這些點的坐標(biāo)就能計算線段的長度或求解出直線的函數(shù)解析 式.筆者以為這種想法會讓同學(xué)們對坐標(biāo)法的作用有更進一步認識，這是坐標(biāo)系里由兩點坐標(biāo)得到線段長或直線解析式的具體途徑，其實也是一個由“數(shù)”到“形”的過程，是我們破解壓軸題應(yīng)該具備的技能.

簡答 ?此題雖為幾何問題，但建立坐標(biāo)系來解也不失為一種好方法.我們可以以A為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立如圖7的直角坐標(biāo)系，連接BB′交MN于K.由題中 AB BC = 2 3 ，可設(shè)AB=2a，BC=3a，則B（2a，0），C（2a，3a），D（0，3a），B′（a，3a），由翻折知BB′⊥MN且K為BB′的中點，于是點K（ 3 2 a， 3 2 a），可求得k BB′=-3，由BB′⊥MN知k MN= 1 3 ，可得直線MN的解析式為y MN= 1 3 （x- 3 2 a）+ 3 2 a，易求M（0，a），N（2a， 5 3 a），則AM=a，BN= 5 3 a，所以 v 1 v 2 = v 1t v 2t = AM BN = a ?5 3 a = 3 5 . ?綜上所述， 小題雖小，但作為壓軸題， 得滿分似乎比大題更難，因為鑒于試題容量、試題表述等諸多因素， 壓軸小題的描述相對更為精煉， 而壓軸大題的描述則比較詳細. 正因為這樣， 壓軸小題顯得更難， 解答時花費時間多，

而且一不留意就要做錯或一時找不到有效的方法.為此， 很多同學(xué)看到壓軸小題一般就是一猜二蒙三放棄.但筆者認為，同學(xué)們要敢于嘗試壓軸小題，所有難題背后涵蓋的就是解題技巧和方法.只要同學(xué)們能熟練掌握數(shù)學(xué)模型和通性通法， 構(gòu)建合適的情境支架，深挖問題內(nèi)在的本質(zhì)，善于靈活機動，精于相互驗證，壓軸小題自然會迎刃而解.

參考文獻

[1] 施長燕.巧用K字型，品基本圖形在相似中的妙用[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)（教師通訊），2016（18）.

[2] 梁玨，朱宸材.難舍難分的角平分線與等腰三角形[J].中學(xué)生數(shù)理化（八年級數(shù)學(xué)），2015（09）.