新課改二十年來我國中小學(xué)概率學(xué)與教研究的譜系與前瞻

【摘 要】 ?通過共詞分析、社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析、聚類分析、多維度尺度分析等構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)圖譜，厘清新課改二十年來我國中小學(xué)概率學(xué)與教研究的譜系.當(dāng)前的核心議題有：學(xué)生概率認(rèn)知水平及教學(xué)策略研究;教師概率知識(shí)水平及教學(xué)狀況調(diào)查;概率課程標(biāo)準(zhǔn)及教材的比較研究.基本結(jié)論有：學(xué)生的概率認(rèn)知存在諸多迷思概念;教師自身的概率知識(shí)狀況并不樂觀，對學(xué)生概率學(xué)習(xí)的規(guī)律缺乏認(rèn)識(shí);國外教材的若干優(yōu)秀經(jīng)驗(yàn)值得借鑒.未來研究的方向有：學(xué)生迷思概念的發(fā)展及其干預(yù);低齡兒童概率前概念的診斷;教師概率知識(shí)及KCS的培養(yǎng);教材的任務(wù)設(shè)計(jì)和學(xué)習(xí)路徑研究.

【關(guān)鍵詞】 ?概率;認(rèn)知水平;迷思概念;課程標(biāo)準(zhǔn);社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析

1 ??問題提出

自PISA項(xiàng)目數(shù)學(xué)素養(yǎng)框架設(shè)計(jì)組主席、弗萊登塔爾研究所所長朗格（Lange）提出關(guān)于“不確定性”的素養(yǎng)以來[1]，概率素養(yǎng)（probability literacy）逐漸引起數(shù)學(xué)教育研究者的關(guān)注，已然成為近幾屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)概率學(xué)習(xí)與教學(xué)專題研究小組的核心議題[2][3].

2001年，教育部頒布《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》），首次將概率作為核心內(nèi)容領(lǐng)域之一納入中小學(xué)數(shù)學(xué)課程的體系之中[4].經(jīng)過《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的修訂[5]，概率內(nèi)容的課程編排整體后移，難度得以降低、層次得以凸顯[6][7].類似地，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》在課程編排中淡化了原有的模塊化設(shè)計(jì)，凸顯了概率內(nèi)容的發(fā)展主線[8].2022年，教育部頒布《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》），在概率內(nèi)容的課程編排上進(jìn)一步關(guān)注了其對于學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的適切性[9].

概率內(nèi)容進(jìn)入我國課程標(biāo)準(zhǔn)已逾二十年.在這二十年里，我國數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域圍繞中小學(xué)概率的學(xué)與教做了哪些方面的研究？這些研究取得了哪些主要結(jié)論？未來研究可做哪些更深入的探索？本研究基于科學(xué)計(jì)量學(xué)與信息可視化技術(shù)，厘清二十年余（2001～2021）我國中小學(xué)概率學(xué)與教研究的核心議題，探索未來研究的可能方向，以期為從事該領(lǐng)域教學(xué)及研究的同仁提供有益參考.

2 ?研究過程與方法

2.1 數(shù)據(jù)來源

數(shù)據(jù)資料全部來源于中國知網(wǎng)（CNKI）數(shù)據(jù)庫.研究者先后選擇中文核心期刊和數(shù)學(xué)教育專業(yè)博、碩論文進(jìn)行檢索.考慮到選擇數(shù)據(jù)庫時(shí)已然限定了學(xué)科范圍（即“中等教育”和“初等教育”），因此直接用“概率”作為主題檢索詞，以盡可能多地搜集到強(qiáng)關(guān)聯(lián)的相關(guān)研究.最終共搜集有效文獻(xiàn)219篇，其中期刊論文50篇，學(xué)位論文169篇.

2.2 分析過程

本部分工作采用Bicomb軟件、Ucinet 6軟件及SPSS 22.0統(tǒng)計(jì)軟件協(xié)同展開.第一步，確定搜索主題及導(dǎo)出相關(guān)文獻(xiàn).第二步，提取關(guān)涉文獻(xiàn)的關(guān)鍵詞.第三步，采用Bicomb軟件統(tǒng)計(jì)上述219篇文獻(xiàn)的關(guān)鍵詞，結(jié)果顯示有452個(gè)關(guān)鍵詞.結(jié)合研究需要，以詞頻大于6的關(guān)鍵詞為閾值節(jié)點(diǎn)，“6≤頻次閾值≤47”的高頻關(guān)鍵詞共計(jì)27個(gè).第四步，利用Bicomb軟件的共詞分析功能生成高頻關(guān)鍵詞詞篇矩陣和共現(xiàn)矩陣.第五步，利用Ucinet 6軟件繪制網(wǎng)絡(luò)圖譜.第六步，將高頻關(guān)鍵詞詞篇矩陣導(dǎo)入SPSS 22.0進(jìn)行聚類分析，并對共現(xiàn)矩陣進(jìn)行多維度尺度分析.第七步，結(jié)合聚類分析和多維尺度分析數(shù)據(jù)報(bào)表，厘清核心議題.

3 ?研究結(jié)果

3.1 高頻關(guān)鍵詞詞頻統(tǒng)計(jì)

上述219篇文獻(xiàn)的關(guān)鍵詞分析顯示共有452個(gè)關(guān)鍵詞，將其中前27個(gè)高頻關(guān)鍵詞（頻次≥6）抽取出來，其頻次排序如表1所示.從該表大體可見，除去主題詞“概率”以及“統(tǒng)計(jì)與概率”等捆綁詞條，高中數(shù)學(xué)、比較研究、概率教學(xué)等都是新課改二十年來我國中小學(xué)概率學(xué)與教研究的核心議題.值得注意的是，當(dāng)前研究大多聚焦于高中階段（“高中生”“高中”等均是高頻關(guān)鍵詞），而針對初中和小學(xué)階段的研究則相對較少.

3.2 社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析

對析出的27×27高頻關(guān)鍵詞共現(xiàn)矩陣進(jìn)行分析，運(yùn)行Ucinet 6軟件得到上述高頻關(guān)鍵詞為節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)圖譜，詳見圖1.在該圖譜中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)分別表示一個(gè)高頻關(guān)鍵詞，并且節(jié)點(diǎn)的大小表示其在網(wǎng)絡(luò)圖譜中的影響力;節(jié)點(diǎn)間的連線表示高頻關(guān)鍵詞之間的聯(lián)系.從節(jié)點(diǎn)大小及連線密疏能大體發(fā)現(xiàn)：當(dāng)前研究主要圍繞“概率”“高中數(shù)學(xué)”“概率統(tǒng)計(jì)”等關(guān)鍵詞展開，并且由之向其他議題延伸.例如，與“概率”直接密切關(guān)聯(lián)的關(guān)鍵詞有課程與教材層面的“高中數(shù)學(xué)”和“數(shù)學(xué)教材”;教學(xué)層面的“概率教學(xué)”和“教學(xué)策略”;學(xué)習(xí)層面的“理解”和“認(rèn)知水平”;內(nèi)容本身層面的“幾何概型”和“古典概型”等.進(jìn)一步，“概率”所關(guān)聯(lián)的關(guān)鍵詞彼此之間又存在二次關(guān)聯(lián)，從而進(jìn)一步拓展了研究議題.

3.3 高頻關(guān)鍵詞聚類分析及多維尺度分析

對高頻關(guān)鍵詞的相似系數(shù)矩陣進(jìn)行系統(tǒng)聚類分析.根據(jù)聚類分析類團(tuán)連線距離的遠(yuǎn)近將其劃分為四個(gè)亞類，其結(jié)果詳見圖2. ????圖2 新課改二十年來我國中小學(xué)概率學(xué)與研究高頻關(guān)鍵詞聚類分析 ????根據(jù)多維尺度分析中的ALSCAL分析法對研究關(guān)鍵詞間的學(xué)術(shù)聯(lián)系進(jìn)行考察.結(jié)果表明，模型距離解釋的百分比RSQ=0.617（>0.6），達(dá)到可接受范圍.通過對上述四個(gè)亞類關(guān)涉關(guān)鍵詞的關(guān)系梳理，凝練新課改二十年來我國中小學(xué)概率學(xué)與教研究的核心議題，詳見表2.

亞類1是學(xué)生概率認(rèn)知水平及相應(yīng)教學(xué)策略方面的研究，由兩方面組成：子類1為學(xué)生概率認(rèn)知水平，包括古典概型、幾何概型、認(rèn)知水平等關(guān)鍵詞;子類2為概率內(nèi)容教學(xué)改進(jìn)方面的研究，包括概率教學(xué)、教學(xué)策略等關(guān)鍵詞.亞類2是教師概率知識(shí)及教學(xué)現(xiàn)狀方面的研究，由兩方面組成：子類1為概率教學(xué)現(xiàn)狀方面的研究，包括概率統(tǒng)計(jì)、教學(xué)等關(guān)鍵詞;子類2為教師概率知識(shí)方面的研究，包括概率、調(diào)查等關(guān)鍵詞.亞類3是概率內(nèi)容課程標(biāo)準(zhǔn)方面的研究，包括數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、初中數(shù)學(xué)等關(guān)鍵詞.亞類4是課程設(shè)置及教材編寫的比較研究，包括課程標(biāo)準(zhǔn)、比較、數(shù)學(xué)教材等關(guān)鍵詞.其中，亞類3和4可以進(jìn)一步合并為“概率課程標(biāo)準(zhǔn)及教材的比較研究”.

4 ?討論與分析

4.1 新課改二十年來我國中小學(xué)概率學(xué)與教研究的核心議題

4.1.1 學(xué)生概率認(rèn)知水平及教學(xué)策略研究

上世紀(jì)八十年代，張?jiān)鼋艿仍趪鴥?nèi)率先開展了“兒童概率概念認(rèn)知發(fā)展”的大規(guī)模調(diào)查[10][11]，證實(shí)并豐富了皮亞杰（Piaget）關(guān)于“兒童概率概念認(rèn)知發(fā)展階段”的觀點(diǎn)[12].在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，李俊在其博士論文中率先基于SOLO分類理論提出了一個(gè)“認(rèn)知概率概念的發(fā)展框架”[13]，該成果隨后被翻譯成中文出版[14]，成為國內(nèi)概率學(xué)與教研究的經(jīng)典著作.

概率內(nèi)容自2001年“飛入尋常百姓家”.如果以該年作為一個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)，有關(guān)中小學(xué)概率學(xué)與教的研究開始零星出現(xiàn).在《課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》頒布實(shí)施的伊始幾年（2001～2005），研究者便開始就概率內(nèi)容的目標(biāo)定位[15]、知識(shí)編排[16]、實(shí)驗(yàn)效果[17]等進(jìn)行了理論和實(shí)證的分析，由此也引起了學(xué)界對于“概率內(nèi)容目標(biāo)定位與學(xué)生認(rèn)知水平間適切性”的熱烈討論[18].在此背景下，有關(guān)“概率認(rèn)知水平”的實(shí)證研究開始引起學(xué)界重視.例如，華東師范大學(xué)亞洲數(shù)學(xué)教育中心李俊博士就曾指導(dǎo)其碩士研究生陸續(xù)開展了多項(xiàng)研究，系列成果近期也已正式出版[19].

總體而言，有關(guān)學(xué)生概率認(rèn)知水平的實(shí)證研究基本圍繞“水平劃分”“認(rèn)知障礙”“迷思概念”“教學(xué)對策”等議題展開.梁常東等人在其研究中證實(shí)了國外實(shí)證研究中報(bào)道的等可能性偏見、代表性啟發(fā)等典型的迷思概念[20].等可能性偏見是指在比較兩個(gè)或多個(gè)事件的概率時(shí)，人們傾向于認(rèn)為“所有事件的概率總是相等的”“機(jī)會(huì)是‘一半一半的”[21].例如，同時(shí)擲兩枚均勻的骰子，持等可能性偏見的學(xué)生會(huì)認(rèn)為結(jié)果“5和6”和“兩個(gè)6”的概率是相等的.代表性啟發(fā)是指人們在概率決策時(shí)傾向于相信一個(gè)“代表性的結(jié)果”更容易出現(xiàn).例如，連續(xù)拋一枚均勻的硬幣六次，持代表性啟發(fā)的學(xué)生會(huì)認(rèn)為序列“正、反、正、反、反、正”的概率比序列“正、正、正、正、反、正”的大，因?yàn)椤扒罢叩恼婧头疵娉霈F(xiàn)的頻次相當(dāng)，看起來也更加隨機(jī)、更加有代表性”[22].有趣的是，這種迷思概念在職前教師和在職教師中都廣泛存在[23][24].

近年來，有研究對我國學(xué)前至初中階段學(xué)生的概率認(rèn)知發(fā)展進(jìn)行了較系統(tǒng)的考察：從“認(rèn)知發(fā)展速度”的視角將其劃分為緩慢發(fā)展時(shí)期、快速發(fā)展時(shí)期、停滯發(fā)展時(shí)期等發(fā)展階段[25];采用拉什（Rasch）模型刻畫了學(xué)生概率學(xué)習(xí)從定性認(rèn)識(shí)到定量認(rèn)識(shí)的進(jìn)階規(guī)律[26];通過跨年級(jí)比較發(fā)現(xiàn)了學(xué)生的迷思概念常常十分頑固、難以消除[27]，但是在直觀的任務(wù)情境中，低學(xué)段學(xué)生對于高階內(nèi)容的認(rèn)知也能有較好的直覺[28].

學(xué)生概率認(rèn)知的局限性是客觀存在的，這也得到了國外研究的支撐[21-24].教學(xué)既要尊重學(xué)生的迷思概念，又要盡可能地幫助其擺脫這些認(rèn)知局限.綜合來看，有關(guān)“概率認(rèn)知水平”的實(shí)證研究大都針對性地提出了教學(xué)建議.例如，科學(xué)規(guī)劃概念學(xué)習(xí)的步次，精心設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)的任務(wù)[26]，通過直觀生動(dòng)的動(dòng)畫模擬提供真實(shí)的概率情境[20].實(shí)證研究表明，在數(shù)學(xué)游戲[29]、計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)[30]、增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)技術(shù)[31]等情境中，學(xué)生能夠更好地理解概率.

4.1.2 教師概率知識(shí)水平及教學(xué)狀況調(diào)查

除了學(xué)生對于概率的迷思概念以外，教師對概率基本概念及思想方法的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)也不容忽視.程伶俐的調(diào)查研究顯示：教師常常過于偏愛采用排列、組合或樹狀圖等理論方法來計(jì)算概率，而鮮有主動(dòng)提出通過模擬試驗(yàn)等方法及利用頻率與概率的關(guān)系來估計(jì)概率;鮮有教師真正了解概率的公理化定義及其產(chǎn)生背景;“簡單復(fù)合法”“預(yù)言結(jié)果法”等迷思概念在教師中廣泛存在[32].值得注意的是，教師概率認(rèn)知的局限性在國外研究中也有報(bào)道[24][33].

教師自身概率知識(shí)的薄弱是導(dǎo)致當(dāng)前概率教學(xué)問題的重要原因.正如謝琳等人所認(rèn)為的：當(dāng)前概率教學(xué)中兩個(gè)令人擔(dān)憂的現(xiàn)象是，一方面教師輕視基本概念和隨機(jī)思維的教學(xué)，另一方面他們自身的概率知識(shí)薄弱、概率素養(yǎng)缺乏，而這兩方面通?；橐蚬鸞34].教師概率教學(xué)中的問題或困惑是比較普遍的，他們常常在教學(xué)中把過多的注意力放在了概率的本質(zhì)內(nèi)容之外.例如，有的教師在概率教學(xué)時(shí)過于追求計(jì)算，而忽略了引導(dǎo)學(xué)生理解概念的本質(zhì).有的教師過分強(qiáng)調(diào)“只有把排列組合這個(gè)工具學(xué)好，才能把樣本空間的概念說清楚”.甚至有教師反映：“沒有排列組合的知識(shí)作為鋪墊，概率內(nèi)容難以進(jìn)行下去——因?yàn)楦怕示褪恰?jì)算.”[34]何小亞指出，教師在概率教學(xué)中往往連“我們?yōu)楹我獙W(xué)習(xí)古典概型”這一基本問題都沒有向?qū)W生解釋清楚[35].此外，有研究認(rèn)為教師在概率教學(xué)時(shí)應(yīng)幫助學(xué)生擺脫確定性思維方式的枷鎖，引導(dǎo)其在思維層面建立隨機(jī)觀念[36].

4.1.3 概率課程標(biāo)準(zhǔn)及教材的比較研究

他山之石，可以攻玉.從關(guān)涉國別來看，當(dāng)前有關(guān)概率課程及教材的比較研究多聚焦于中國與發(fā)達(dá)國家之間的對比[37][38].此外，近年來多國別之間的綜合比較研究也已出現(xiàn)[39][40].綜合來看，當(dāng)前的此類研究多聚焦于內(nèi)容定位、教材編排、呈現(xiàn)方式等方面，對了解國際課程改革的發(fā)展趨勢及吸收國外優(yōu)秀經(jīng)驗(yàn)提供了直接參考.例如，中美兩國初中課程標(biāo)準(zhǔn)的對比顯示，兩國都強(qiáng)調(diào)了概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的關(guān)聯(lián)性，鼓勵(lì)通過數(shù)據(jù)收集等統(tǒng)計(jì)活動(dòng)溝通上述兩方面知識(shí)[37].中法兩國高中課程標(biāo)準(zhǔn)的對比顯示，我國課程更強(qiáng)調(diào)對隨機(jī)概念的認(rèn)識(shí)，而法國則側(cè)重于理論與計(jì)算，因此我國課程可進(jìn)一步加強(qiáng)概率內(nèi)容與其他學(xué)科之間的聯(lián)系[41]，另有其他研究也提出了類似建議[7].中澳兩國初中課程的比較表明，我國課程標(biāo)準(zhǔn)中的表述嚴(yán)謹(jǐn)性尚待加強(qiáng)[42].

值得注意的是，國際比較研究的目的是博采眾長、去粗取精，絕非妄自菲薄、盲目效仿.有關(guān)概率內(nèi)容的編排設(shè)計(jì)、認(rèn)知要求等問題，我們應(yīng)在吸收國際優(yōu)秀經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，合理、客觀地分析自身的優(yōu)勢和缺陷.例如，呂世虎等通過對中、新兩國初中教材的比較研究指出：我國教材就“隨機(jī)事件”“可能性”等核心概念設(shè)計(jì)的習(xí)題明顯多于新加坡教材，這說明我國教材更加重視基本概念，值得發(fā)揚(yáng);但是情境性強(qiáng)、高層次的習(xí)題則顯然不足[38].

4.2 未來研究的可能方向

基于對新課改二十年來相關(guān)研究的梳理，對未來研究提出以下建議.

4.2.1 學(xué)生迷思概念的發(fā)展及其干預(yù)

有關(guān)學(xué)生概率認(rèn)知的實(shí)證研究證實(shí)了我國中小學(xué)生對于概率的認(rèn)知存在諸如等可能性偏見、預(yù)言結(jié)果法等迷思概念.接下來的問題是：這些迷思概念在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中是如何發(fā)展的？哪些迷思概念在學(xué)生的概率認(rèn)知過程中根深蒂固？哪些則是可以通過恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)干預(yù)得以顯著消除？教學(xué)如何幫助學(xué)生擺脫這些迷思概念？目前尚缺乏這些方面的實(shí)證研究.

4.2.2 低齡兒童概率前概念的診斷

縱觀新課改二十年來我國中小學(xué)概率學(xué)與教研究的相關(guān)研究，其研究對象更多地關(guān)注于高中階段，初中階段次之，而有關(guān)小學(xué)、學(xué)前階段的研究甚少.兒童在接觸學(xué)校正式的概率知識(shí)之前，已然積累了或多或少、或?qū)蝈e(cuò)的非正式知識(shí)（informally acquired knowledge）或前概念（preconception），國外研究已然對此進(jìn)行了一些探索[29][43].這些前概念有些是有一定合理性，有些則是與正式的概率知識(shí)相沖突的.問題是：當(dāng)學(xué)生帶著這些前概念走進(jìn)學(xué)校時(shí)，課程、教學(xué)應(yīng)該怎樣在尊重其前概念的前提下幫助其發(fā)展正式的概念？只有厘清了低齡兒童的概率前概念，才能在小學(xué)階段設(shè)計(jì)課程目標(biāo)、內(nèi)容定位時(shí)更加有據(jù)可循.也只有這樣，我們才能讓孩子在第一次接觸概率知識(shí)時(shí)就感到舒適、自然.但總體而言，國內(nèi)目前的相關(guān)研究甚少.例如，林泳海的研究表明：6.5歲兒童的概率概念基本處于萌芽狀態(tài)，7.5歲兒童則開始發(fā)展部分概率概念[44].更進(jìn)一步地，小學(xué)低段學(xué)生的概率認(rèn)知水平如何？有哪些前概念？尚待做更細(xì)致的研究.

4.2.3 教師概率知識(shí)及KCS的培養(yǎng)

“給學(xué)生一瓢水，教師得要有一桶水”.遺憾的是，國內(nèi)外的實(shí)證研究都一再證實(shí)，教師自身的概率知識(shí)尚顯薄弱，各類迷思概念也比較突出[33][45][46]，在概率教學(xué)中常常忽略概率思想和本質(zhì)內(nèi)容的滲透[35].有關(guān)職前教師的概率知識(shí)的調(diào)查研究也表明，等可能性偏見等迷思概念同樣廣泛存在[47].鑒于以上，建議在概率思想的理解、概率知識(shí)的儲(chǔ)備及概率發(fā)展史的滲透等方面加強(qiáng)教師培訓(xùn).需要注意的是，僅補(bǔ)足教師的概率知識(shí)還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠.Hill等在其提出的MKT框架中指出：除了學(xué)科知識(shí)以外，教師還應(yīng)具備扎實(shí)的教學(xué)內(nèi)容知識(shí)，其中內(nèi)容與學(xué)生知識(shí)（Knowledge of Content and Students，簡稱KCS）就是一個(gè)重要方面，它一般包括“教師對學(xué)生學(xué)習(xí)過程、運(yùn)算策略、常見錯(cuò)誤等的理解”[48].換言之，教師除了自身概率知識(shí)扎實(shí)以外，還應(yīng)關(guān)注“學(xué)生是如何學(xué)習(xí)概率的”.當(dāng)前有關(guān)這方面的研究還不多，其基本結(jié)論是：教師對學(xué)生概率學(xué)習(xí)的規(guī)律缺乏認(rèn)識(shí)，不了解其概率認(rèn)知中的困難[45].教師常常感到“概率難教”，與此有很大關(guān)系.為此，建議未來研究著眼于教師關(guān)于概率內(nèi)容的KCS研究，并致力于提高其概率教學(xué)的水準(zhǔn).

4.2.4 教材的任務(wù)設(shè)計(jì)和學(xué)習(xí)路徑研究

教材文本及其比較研究一直是數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的熱點(diǎn)研究方向之一.概率領(lǐng)域的研究同樣如此，且此類研究通常聚焦于內(nèi)容的呈現(xiàn)方式、難易程度、例題習(xí)題等.自新課改以來，教材里的概率內(nèi)容在編排上越來越凸顯層次設(shè)計(jì)和發(fā)展主線，也越來越強(qiáng)調(diào)內(nèi)容對于學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的適切性.隨著《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的頒布，各版本教材的修訂工作行將展開，未來教材將如何落實(shí)上述編排理念？研究者認(rèn)為，微觀視角下進(jìn)階式的數(shù)學(xué)任務(wù)和宏觀視角下遞進(jìn)式的學(xué)習(xí)路徑將是未來教材及其比較研究的兩個(gè)出發(fā)點(diǎn).第一，可從上述兩個(gè)視角出發(fā)就當(dāng)前教材進(jìn)行文本分析;第二，可基于實(shí)證研究對當(dāng)前教材的任務(wù)設(shè)計(jì)和教學(xué)路徑提供有益建議;第三，對于比較研究而言，從上述兩個(gè)視角開展不同教材文本及不同教材教學(xué)效果等方面的對比分析也是值得關(guān)注的研究方向. ?5 ?結(jié)語

概率內(nèi)容走進(jìn)我國中小學(xué)數(shù)學(xué)課程的時(shí)間不長，國內(nèi)數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域有關(guān)該方面的實(shí)證研究相對較少.近兩年來，有學(xué)者就當(dāng)前概率課程、教材及教學(xué)方面存在的具體問題提出了中肯建議[49]，有關(guān)概率學(xué)與教的研究任重而道遠(yuǎn).本文提出的未來研究方向供數(shù)學(xué)教育研究的同仁參考.

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