從一個(gè)定理的引入方式多視角理解數(shù)學(xué)教材

劉向權(quán)

【摘 要】 ?“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”是直角三角形的重要性質(zhì)定理.本文通過對初中數(shù)學(xué)教材現(xiàn)行的十個(gè)版本的比較分析，簡要?dú)w納這一定理幾種不同的引入方式，進(jìn)而嘗試從多視角分析、理解數(shù)學(xué)教材，以期為廣大教師在教學(xué)中準(zhǔn)確把握教材編寫思路、恰當(dāng)處理有效利用教材提供參考.

【關(guān)鍵詞】 ?教材編寫;定理引入;多視角;教材理解

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）對第四學(xué)段（7～9年級）的課程內(nèi)容有如下規(guī)定：理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形的兩個(gè)銳角互余，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半[1].對于“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”這一性質(zhì)定理，在學(xué)生理解直角三角形概念的基礎(chǔ)上，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可順理成章地推導(dǎo)出;而對另一個(gè)性質(zhì)定理——直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，何時(shí)引入，如何呈現(xiàn)，新課標(biāo)并未給出明確建議或說明.今年暑期，在滬科版八年級下冊數(shù)學(xué)新教材審讀視頻討論會上，有編寫人員提及與此定理的引入方式有關(guān)的話題，不禁引起了筆者的深思，進(jìn)而促使筆者對初中現(xiàn)行十個(gè)版本的數(shù)學(xué)教材進(jìn)行比較分析.本文通過系統(tǒng)梳理、簡要?dú)w納此定理幾種不同的引入方式，嘗試從思維生長、知識系統(tǒng)和“特殊關(guān)聯(lián)”三個(gè)視角分析、理解數(shù)學(xué)教材，以求拋磚引玉. ?1 ?定理引入方式梳理呈現(xiàn)

1.1 由“矩形的對角線相等”引入

在初中現(xiàn)行十個(gè)版本的數(shù)學(xué)教材中，以下五個(gè)版本均采用了這一引入方式.

1.1.1 滬科版教材八年級下冊第19章第3節(jié)第1小節(jié)“矩形”

在得出“矩形的對角線相等”這一定理后，教材作了如下表述：對于任一個(gè)直角三角形 ABC（其中∠ABC=90°），構(gòu)造一個(gè)長為AB和寬為BC的矩形ABCD（如圖1）.設(shè)矩形對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，則AO=OC=BO=OD= 1 2 AC= 1 2 BD.由此，得到直角三角形的一個(gè)性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半[2].

1.1.2 青島版教材八年級下冊第6章第3節(jié)“特殊的平行四邊形”

教材在證得“矩形的對角線相等”后，設(shè)計(jì)了如下問題串：如圖2，矩形ABCD的兩條對角線交于點(diǎn)O，沿對角線AC將矩形剪開，得到 Rt △ABC.這時(shí)，OB是這個(gè)直角三角形的一條什么線段？它與斜邊AC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？由此你發(fā)現(xiàn)了直角三角形的一個(gè)怎樣的性質(zhì)？能證明你得到的命題是真命題嗎[3]？

教材再將 Rt △ABC按如圖3所示的方式構(gòu)造成矩形ABCD，證明命題，得到定理.

1.1.3 人教版教材八年級下冊第18章第2節(jié)第1小節(jié)“矩形”

在歸納得到矩形的性質(zhì)定理（矩形的對角線相等）后，教材呈現(xiàn)了如下“思考”：如圖4，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O.我們觀察 Rt △ABC，在 Rt △ABC中，BO是斜邊AC上的中線，BO與AC有什么關(guān)系[4]？

1.1.4 北京版教材八年級下冊第15章第4節(jié)第1小節(jié)“特殊的平行四邊形的性質(zhì)”

教材在歸納得到“矩形的對角線相等”的基礎(chǔ)上，安排了如下例題：如圖5，在矩形ABCD中，兩條對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AB=OA=4 cm .求BD與AD的長[5] .

待例題求解完畢，教材順勢引導(dǎo)學(xué)生作如下“交流”：

1.如圖5，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，那么BO是 Rt △ABC中一條怎樣的特殊線段？它與AC有怎樣的大小關(guān)系？為什么有這樣的大小關(guān)系？

2.在這里，我們可以從矩形對角線的性質(zhì)得到關(guān)于直角三角形的一個(gè)性質(zhì)，應(yīng)當(dāng)怎樣敘述這個(gè)性質(zhì)[5]？

1.1.5 北師大版教材九年級上冊第1章第2節(jié)“矩形的性質(zhì)與判定”

在推導(dǎo)出“矩形的對角線相等”這個(gè)定理后，教材設(shè)置了“議一議”：如圖6，矩形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)E，那么BE是 Rt △ABC中一條怎樣的特殊線段？它與AC有什么大小關(guān)系？由此你能得到怎樣的結(jié)論[6]？

1.2 由直角三角形的其他性質(zhì)引入

在初中現(xiàn)行十個(gè)版本的數(shù)學(xué)教材中，以下四個(gè)版本采取了這一引入方式.

1.2.1 湘教版教材八年級下冊第1章第1節(jié)“直角三角形的性質(zhì)和判定（Ⅰ）”

教材通過簡要推理得到直角三角形的性質(zhì)定理（直角三角形的兩個(gè)銳角互余）及其逆定理，接著安排了如下“探究”：如圖7，畫一個(gè) Rt △ABC，并作出斜邊AB上的中線CD，比較線段CD與線段AB之間的數(shù)量關(guān)系，你能得出什么結(jié)論[7]？

1.2.2 冀教版教材八年級上冊第17章第2節(jié)“直角三角形”

在歸納得到“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”這一定理及其逆定理后，教材進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生“觀察與思考”：在一張半透明的紙上畫出 Rt △ABC，∠C=90°，如圖8（1）;將∠B折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為EF，沿BE畫出虛線CE，如圖8（2）;將紙展開，得到圖8（3）.

（1）∠ECF與∠B有怎樣的關(guān)系？線段EC與線段EB有怎樣的關(guān)系？

（2）由發(fā)現(xiàn)的上述關(guān)系以及∠A+∠B=∠ACB，∠ACE+∠ECF=∠ACB，你能判斷∠ACE與∠A的大小關(guān)系嗎？線段AE與線段CE呢？從而你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論[8]？

1.2.3 浙教版教材八年級上冊第2章第6節(jié)“直角三角形”

教材在簡要推導(dǎo)出“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”這一性質(zhì)后，設(shè)置了如下“做一做”：

1.已知直角三角形兩個(gè)銳角的度數(shù)之比為3 ∶ 2，求這兩個(gè)銳角的度數(shù).

2.已知：如圖9，D是 Rt △ABC斜邊AB上的一點(diǎn)，BD=CD.求證：AD=CD.

從本題中，你發(fā)現(xiàn)直角三角形斜邊上的中線有什么性質(zhì)[9]？

1.2.4 華東師大版教材九年級上冊第24章第2節(jié)“直角三角形的性質(zhì)”

教材在引導(dǎo)學(xué)生回顧之前所學(xué)的“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”和勾股定理的基礎(chǔ)上，為繼續(xù)探索直角三角形的其他性質(zhì)，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生作如下“探索”：如圖10，畫 Rt △ABC，并畫出斜邊AB上的中線CD，量一量，看看CD與AB有什么關(guān)系[10].

1.3 由“等腰三角形的軸對稱性”引入

在初中現(xiàn)行十個(gè)版本的數(shù)學(xué)教材中，唯有蘇科版教材“獨(dú)辟蹊徑”，采取了與其他版本數(shù)學(xué)教材迥異的引入方式.

（八年級上冊第2章第5節(jié)“等腰三角形的軸對稱性”）在學(xué)完等腰三角形的性質(zhì)和判定后，安排了如下“操作”：

剪一張直角三角形紙片，如圖11（1）.

把紙片按圖11（2）所示的方法折疊，再把紙片展平后按圖11（3）所示的方法折疊，你有什么發(fā)現(xiàn)[11]？

2 ?由定理的不同引入方式多視角理解數(shù)學(xué)教材

2.1 基于思維生長的視角

思維生長和發(fā)展是一種極其復(fù)雜的現(xiàn)象.一般地，具備了一定條件時(shí)思維才能得以生長，思維發(fā)展才能得以實(shí)現(xiàn).這里所說的條件，是滿足思維生長、發(fā)展的動(dòng)力條件[12].從“矩形的對角線相等”引入對“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一定理的探究，恰恰可以幫助我們從思維生長的視角理解數(shù)學(xué)教材.那么，引發(fā)和推動(dòng)學(xué)生思維生長、發(fā)展的動(dòng)力又從何而來呢？

前文所述前五個(gè)版本的初中數(shù)學(xué)教材，雖然都是由“矩形的對角線相等”引入“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一定理，但引入的基本思路或者說思維生長、發(fā)展的具體方向卻不盡相同.滬科版和青島版教材強(qiáng)調(diào)用直角三角形“構(gòu)造”矩形，而人教版、北京版和北師大版教材則傾向于從“矩形的對角線相等”直接過渡得到“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”.然而，在實(shí)際教學(xué)中，這兩種處理方式都面臨著如何才能讓學(xué)生“想得到”的問題.

對于第一種處理方式（滬科版和青島版教材），筆者認(rèn)為，可依次提出如下問題來逐步引導(dǎo)、推動(dòng)學(xué)生的思維生長、發(fā)展過程：由本節(jié)課所學(xué)的矩形，你最容易聯(lián)想到哪一類特殊三角形（直角三角形 ）？現(xiàn)有一個(gè)矩形，你如何才能把它分成兩個(gè)完全一樣（全等）的直角三角形？反過來，如果給你一個(gè)直角三角形，用什么方法才能“構(gòu)造”出矩形？你是如何想到這樣“構(gòu)造”的？怎樣證明你所“構(gòu)造”的四邊形是矩形？觀察、分析由直角三角形“構(gòu)造”矩形的過程，結(jié)合“矩形的對角線相等”這一定理思考：直角三角形斜邊上的中線與斜邊之間存在什么關(guān)系？

相比之下，第二種處理方式（人教版、北京版和北師大版教材）顯得較為直接，甚至有些“突?！?， 尤其是人教版教材的處理方式簡潔明快，頗有“快刀斬亂麻”之感. 這種相對簡捷的處理方式固然可以讓數(shù)學(xué)結(jié)論“來得更快些”，但教師若不注重對教材的“加工”“改造”，便極易擠壓學(xué)生的思維空間.筆者發(fā)現(xiàn)，在學(xué)習(xí)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一定理之前，人教版、北京版和北師大版教材均已學(xué)過“勾股定理”，學(xué)生利用“面積法”，對用外弦圖（圖12）和圖13證明勾股定理已比較熟悉.鑒于此，教師不妨結(jié)合如下問題加以引導(dǎo)，通過搭“腳手架”的方式促進(jìn)學(xué)生的思維生長：由這節(jié)課所學(xué)的矩形，你最容易聯(lián)想到哪一類特殊的三角形（直角三角形 ）？你還記得與直角三角形的三邊有關(guān)的一個(gè)重要定理嗎（勾股定理 ）？你能分別用圖12和圖13證明勾股定理嗎？根據(jù)從圖12到圖13的“演變”過程，你覺得圖14可以“演變”成一個(gè)什么樣的圖形（圖 15）？結(jié)合圖14和圖15，你發(fā)現(xiàn)直角三角形斜邊上的中線與斜邊之間有什么關(guān)系？

學(xué)生通過觀察這四個(gè)圖形不難發(fā)現(xiàn)，將圖12沿虛線剪去“一半”便可得到圖13.只要教師引導(dǎo)方法得當(dāng)，學(xué)生便很容易將這一經(jīng)驗(yàn)遷移到從圖14到圖15的“演變”中，因?yàn)閷D14沿AC剪去“一半”恰好也能得到圖15.這樣的圖形“演變”是多么神奇，多么美妙，又是多么相似！

2.2 基于知識系統(tǒng)的視角

對數(shù)學(xué)學(xué)科而言，尤其“應(yīng)該從系統(tǒng)的角度學(xué)習(xí)知識，置知識于系統(tǒng)中，著眼于知識之間的聯(lián)系和規(guī)律，從而深入本質(zhì)”[13].基于這一觀點(diǎn)，教師“在教學(xué)中要重視對教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系”[1].

如前文所述，湘教版、冀教版、浙教版、華東師大版教材對“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一定理的引入，均以直角三角形的其他性質(zhì)為起點(diǎn).若繼續(xù)翻閱這四個(gè)版本的教材還會發(fā)現(xiàn)，湘教版教材八年級下冊第1章第1～2節(jié)已涵蓋了直角三角形性質(zhì)與判定的全部內(nèi)容，本章第3節(jié)索性將直角三角形全等的判定（HL）也納入了“直角三角形”的知識系統(tǒng)中;冀教版教材則將“直角三角形”和“等腰三角形”一起融入了八年級上冊第17章“特殊三角形”這個(gè)更大的知識系統(tǒng)，全章涉及“直角三角形”的部分自然也少不了直角三角形的性質(zhì)、判定及“HL”定理等內(nèi)容;浙教版教材仿佛是在織一張更大的“網(wǎng)”，八年級上冊第2章（特殊三角形）以“圖形的軸對稱”為引子，以“特殊三角形”為明線，以“逆命題和逆定理”為暗線，不僅將“等腰三角形的性質(zhì)與判定”“直角三角形的性質(zhì)與判定”兩個(gè)子系統(tǒng)納入其中，線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理、角平分線性質(zhì)定理的逆定理也被一網(wǎng)打盡;華東師大版教材九年級上冊第24章（解直角三角形）第2節(jié)（直角三角形的性質(zhì)）在對“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”進(jìn)行探索前，首先回顧了前面（八年級上冊第13章，第14章）學(xué)過的直角三角形的兩個(gè)性質(zhì)，其意圖本已不言自明，而接下來探索證明得到“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這個(gè)新的性質(zhì)定理后，教材依次對直角三角形的三個(gè)性質(zhì)編上了序號，這個(gè)看似微不足道的細(xì)節(jié)處理，無疑更彰顯出教材試圖構(gòu)建結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系的深刻用意.

2.3 基于“特殊關(guān)聯(lián)”的視角

初中數(shù)學(xué)教材中某些特殊的幾何圖形時(shí)?！跋喟槎?，彼此能通過相互“演變”而得到，此時(shí)，往往可由其中一個(gè)幾何圖形的性質(zhì)或判定推出另一個(gè)幾何圖形的性質(zhì)或判定，我們不妨稱這兩個(gè)幾何圖形“特殊關(guān)聯(lián)”.顯然，直角三角形和等腰三角形就是這樣的“特殊關(guān)聯(lián)”.前文提及蘇科版教材八年級上冊第2章第5節(jié)利用“等腰三角形的軸對稱性”探索、證明“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，就是一個(gè)很好的例證.縱觀初中三年數(shù)學(xué)教材，還能發(fā)現(xiàn)不少“特殊關(guān)聯(lián)”的“蛛絲馬跡”.比如，平行四邊形和梯形、矩形和直角梯形、等腰三角形和等腰梯形等.從這個(gè)意義出發(fā)，直角三角形和矩形、等腰三角形和菱形、等腰直角三角形和正方形也是“特殊關(guān)聯(lián)”的.

值得一提的是，基于“特殊關(guān)聯(lián)”的視角理解數(shù)學(xué)教材，不僅能為數(shù)學(xué)結(jié)論的探索與證明帶來有益啟示，也可以為數(shù)學(xué)例、習(xí)題的拓展延伸教學(xué)，乃至為中考數(shù)學(xué)命題開辟廣闊思路. ?3 ?結(jié)束語

通過以上論述，我們不難發(fā)現(xiàn)，基于思維生長的視角理解數(shù)學(xué)教材，同一知識系統(tǒng)的課程內(nèi)容往往會遵循數(shù)學(xué)知識邏輯、思維生長邏輯和教材編排邏輯分布于不同的章節(jié)之中，隨著學(xué)生對數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)、理解的不斷深入，一個(gè)個(gè)結(jié)論才會適時(shí)引入并加以呈現(xiàn).上文所述前五個(gè)版本的數(shù)學(xué)教材均對直角三角形的性質(zhì)與判定的有關(guān)內(nèi)容作了類似的“分散”處理;多數(shù)版本的初中數(shù)學(xué)教材對一次函數(shù)與二次函數(shù)、全等三角形和相似三角形等內(nèi)容的“分散”安排也是基于這樣的考慮.

基于知識系統(tǒng)的視角，尤其關(guān)注對結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識體系的構(gòu)建.若由此視角審視、理解數(shù)學(xué)教材，在探索、證明出“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一定理后不應(yīng)就此止步，實(shí)際教學(xué)中還可繼續(xù)啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行如下思考：這個(gè)定理的逆命題是什么？此逆命題是真命題嗎？如果是真命題，又該如何證明？這是因?yàn)?，直角三角形的其他兩個(gè)性質(zhì)定理（直角三角形的兩個(gè)銳角互余，勾股定理）以及“在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”這一定理的逆命題都是真命題，所以在得到“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一定理后，唯有進(jìn)一步探討其逆命題的真假（即便其逆命題未在數(shù)學(xué)教材中以定理的形式呈現(xiàn)），才算真正構(gòu)建了完整意義上的“直角三角形的性質(zhì)和判定”的知識系統(tǒng)，并實(shí)現(xiàn)了該系統(tǒng)的“閉環(huán)”.同時(shí)，我們還會欣喜地發(fā)現(xiàn)：隨著學(xué)習(xí)的深入，以后還可根據(jù)圓周角定理的推論（90°的圓周角所對的弦是直徑，半圓或直徑所對的圓周角是直角）對“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一定理及其逆命題作簡潔而直觀地證明.如此，不僅幫助學(xué)生拓寬了命題證明的思路，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的又一次生長，也進(jìn)一步擴(kuò)充、完善了“直角三角形”的知識系統(tǒng)，可謂一舉三得.

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