指向思維發(fā)展的初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計與反思

何永福

[摘? 要] 二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，以 “二次函數(shù)”復(fù)習(xí)課為例，嘗試進(jìn)行指向思維發(fā)展的初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計，通過教學(xué)實踐證明，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，滲透了數(shù)學(xué)思想，發(fā)展了學(xué)生的思維.

[關(guān)鍵詞] 二次函數(shù);復(fù)習(xí)課;數(shù)學(xué)思想;思維

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)最重要的核心知識，其內(nèi)容比較多，思想方法也比較多. 作為復(fù)習(xí)課，需要教師打開思路，設(shè)計開放性的問題，激發(fā)學(xué)生的興趣，滲透數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生的思維.

教學(xué)過程設(shè)計與說明

1. 談話導(dǎo)入，初建知識結(jié)構(gòu)

師：函數(shù)的表示方法有幾種形式？分別有何優(yōu)缺點？

生：函數(shù)有三種表示方法，一是解析法，自變量與因變量之間的數(shù)量關(guān)系很明確;二是列表法，由自變量的值可以很快地找到因變量的值;三是圖像法，能很形象地表示函數(shù)的變化趨勢.

生：三種形式可以相互轉(zhuǎn)化.

師：本章我們學(xué)習(xí)了二次函數(shù)，關(guān)于二次函數(shù)，我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？是如何學(xué)習(xí)的？

生：我們學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的定義，一般形式，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程，二次函數(shù)的應(yīng)用等. 學(xué)習(xí)二次函數(shù)時，先從生活實例抽象二次函數(shù)的概念，由二次函數(shù)的解析式畫二次函數(shù)的圖像，再由二次函數(shù)的圖像研究二次函數(shù)的性質(zhì)，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題.

設(shè)計說明? 結(jié)合函數(shù)研究經(jīng)驗，整體把握全章內(nèi)容，從函數(shù)的三種表現(xiàn)形式入手，讓學(xué)生初步回顧本章學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，及其相互關(guān)系. 通過回顧本章的學(xué)習(xí)思路，讓學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想等.

2. 數(shù)形結(jié)合，構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)

問題1：圖1是拋物線y=ax2+bx+c的一部分，圖像過點A（-5，0），對稱軸為x=-2.

師：你能從圖1中獲得什么信息？

生：拋物線的開口向下，所以a<0. 因為拋物線與y軸交于正半軸，所以c>0. 因為拋物線的對稱軸與x軸交于負(fù)半軸，所以-<0，又a<0，所以b<0.

師：實際上，題中還有已知條件，即圖像過點A（-5，0），對稱軸為x=-2，那么由這些條件，你又能獲得哪些信息呢？

生：由對稱軸為x=-2，可得 -=-2，所以b=4a. 因為A（-5，0）是拋物線與x軸的交點，又拋物線的對稱軸是x=-2，所以拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)是（1，0）.在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<-2時，y隨x的增大而增大，在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x>-2時，y隨x的增大而減小.

師：由拋物線與x軸交于（-5，0），（1，0）兩點，我們還能得到什么結(jié)論？

生：可得一元二次方程ax2+bx+c=0的解為x=-5，x=1. 由圖像知，當(dāng)-50，所以當(dāng)-50;同理，當(dāng)x<-5或x>1時，ax2+bx+c<0.

師：很好！這位同學(xué)以聯(lián)系的眼光看待函數(shù)圖像，由函數(shù)圖像與x軸的交點坐標(biāo)想到方程的解，由函數(shù)圖像在坐標(biāo)系的位置，想到一元二次不等式的解集. 實際上我們還可將上述信息進(jìn)一步綜合，得到更多的其他結(jié)論.

生：因為拋物線與x軸有兩個交點，所以b2-4ac>0. 因為a<0，b<0，c>0，所以abc>0. 由函數(shù)圖像還可以看出，當(dāng)x=-2時，y>0，即4a-2b+c>0，當(dāng)x=1時，y=0，即a+b+c=0，當(dāng)x=2時，y<0，即4a+2b+c<0.

師：根據(jù)已知條件能確定二次函數(shù)解析式嗎？

生：不能確定，如果設(shè)二次函數(shù)解析式為一般式，則題中只有兩個點，少一個點的坐標(biāo);如果設(shè)二次函數(shù)解析式為頂點式，沒有頂點的縱坐標(biāo);如果設(shè)二次函數(shù)的解析式為兩點式，則少一個曲線上的坐標(biāo).

師：請同學(xué)們?nèi)我馓砑右粋€條件，然后用較簡單的方法求函數(shù)表達(dá)式.

設(shè)計說明? 這是一道全開放試題，面向全體學(xué)生，培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散性思維[1]. 對于這個問題的探究，教師應(yīng)注意以下三點：（1）探究二次函數(shù)性質(zhì)時，不能要求學(xué)生一次性把所有的性質(zhì)都找全，要讓不同的學(xué)生都有收獲;（2）確定函數(shù)解析式，給學(xué)生一定的自主空間;（3）在探究過程中，先理清研究什么，再構(gòu)建本章的知識結(jié)構(gòu)圖，體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，奠定思維發(fā)展的基礎(chǔ).

3. 數(shù)形結(jié)合，突出數(shù)形關(guān)聯(lián)

問題2：（1）一個二次函數(shù)圖像可能經(jīng)過哪些象限？（2）二次函數(shù)y=2x2+x+m+5的圖像經(jīng)過哪些象限呢？（3）函數(shù)y=（k-2）x2-3x+k-3的圖像經(jīng)過四個象限，求m的取值范圍.

生：對于第（1）小題，二次函數(shù)的圖像至少經(jīng)過兩個象限，最多經(jīng)過四個象限，不可能只經(jīng)過一個象限.

生：第（2）小題需要討論，因為a=2>0，所以拋物線開口向上，因為對稱軸x= -<0，所以拋物線一定經(jīng)過第一、二象限. 當(dāng)12-8（m+5）>0且m+5≥0時，拋物線經(jīng)過第一、二、三象限;當(dāng)12-8（m+5）≤0時，拋物線經(jīng)過第一、二象限;當(dāng)12-8（m+5）>0且m+5<0時，拋物線經(jīng)過第一、二、三、四象限.

生：第（3）小題需要分情況討論. 當(dāng)k-2>0，即k>2時，拋物線開口向上，因為對稱軸x=>0，拋物線對稱軸經(jīng)過x軸正半軸，要使拋物線經(jīng)過四個象限，必須使常數(shù)項k-3<0，即k<3，所以20，即k>3，因為k<2，不等式組無解，所以此時拋物線不可能經(jīng)過四個象限.

設(shè)計說明? 此題的三個小題層層遞進(jìn)，相互關(guān)聯(lián)，滲透了分類思想、數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)探究形的意識，讓學(xué)生體會問題中的變與不變. 變化的量需要進(jìn)行討論，第一小題從兩個象限、三個象限、四個象限進(jìn)行分類討論;第二小題從常數(shù)項大于0、小于0兩個方面進(jìn)行討論;第三小題從拋物線開口向下與開口向上兩個方面進(jìn)行討論，凸顯了以形助數(shù)，以數(shù)解形的思想，使學(xué)生的思維不斷向深處漫溯.

4. 數(shù)形結(jié)合，應(yīng)用鞏固

在二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）中，y與x的部分對應(yīng)值如下表：

[x … 0 1 3 4 … y … 2 4 2 -2 … ]

師：我們已經(jīng)從數(shù)與形兩個角度研究過二次函數(shù)了，此題以表格的形式呈現(xiàn)一個二次函數(shù)，從中你們能得到什么結(jié)論？

問題3：有多少種形式可以獲得二次函數(shù)解析式？請用不同的方法確定二次函數(shù)解析式.

問題4：求出函數(shù)的對稱軸及頂點坐標(biāo)，并說說函數(shù)的增減性.

設(shè)計說明? 表格也是表達(dá)函數(shù)的形式之一，它可以獲得自變量與因變量的對應(yīng)值. 上面的問題要求學(xué)生確定函數(shù)表達(dá)式，并利用拋物線的對稱性解決問題，學(xué)生從中可以體會到將表格轉(zhuǎn)化為表達(dá)式或函數(shù)圖像的必要性，再次體驗思想方法，這能促進(jìn)學(xué)生的思維進(jìn)一步發(fā)展.

教學(xué)反思

1. 立足研究，奠定基礎(chǔ)

復(fù)習(xí)課上，必須讓學(xué)生整體把握全章內(nèi)容，明確研究什么？教學(xué)中，筆者圍繞二次函數(shù)的三種形式設(shè)計問題，凸顯了研究的內(nèi)容是二次函數(shù)表達(dá)式、表格特征與圖像性質(zhì)，以及三種形式之間相互轉(zhuǎn)化. 其中的四個環(huán)節(jié)環(huán)環(huán)相扣，通過對問題的解決明確了二次函數(shù)的表達(dá)形式、表格特征、函數(shù)圖像的性質(zhì)以及三者之間的轉(zhuǎn)化. 如由拋物線的對稱軸得到拋物線的對稱性、增減性及最值;由函數(shù)與x軸的交點坐標(biāo)獲得二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式之間的關(guān)系等，為學(xué)生的思維發(fā)展奠定了基礎(chǔ).

2. 建構(gòu)知識，理清脈絡(luò)

建構(gòu)知識體系有利于發(fā)現(xiàn)知識點之間的聯(lián)系，從而形成整體的知識網(wǎng)絡(luò)，有利于學(xué)生對記憶、遷移與應(yīng)用. 教學(xué)中，筆者首先通過談話導(dǎo)入的形式，讓學(xué)生初步建立了知識結(jié)構(gòu)，然后通過開放性問題的解決，幫助學(xué)生形成了簡明的知識體系，整個解決問題的過程，并非筆者的直接告知，而是學(xué)生的自主探究與建構(gòu)，凸顯了知識的關(guān)聯(lián)性，促進(jìn)了學(xué)生的思維的發(fā)展，提高了課堂教學(xué)的實效.

3. 設(shè)計問題，拓寬思維

開放性問題，可以從條件、結(jié)論或解法三個方面去開放. 開放性問題有利于面向全體學(xué)生，讓不同的學(xué)生都有發(fā)展，有利于拓寬學(xué)生的思維維度，有利于高效課堂的構(gòu)建[2]. 以開放性問題為載體的復(fù)習(xí)課堂，全體學(xué)生共同參與，學(xué)生的思維是多向的，在互動中經(jīng)歷了再認(rèn)識的過程，鞏固了所學(xué)，提升了智慧.

4. 思想立意，提升思維

數(shù)學(xué)思想屬于隱性思維，也是數(shù)學(xué)的核心理論，有利于學(xué)生高屋建瓴解決數(shù)學(xué)問題. 教學(xué)中，問題的設(shè)計以數(shù)學(xué)思想立意，以提升學(xué)生思維為目的，通過對問題的解決，向?qū)W生不斷滲透轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等，促進(jìn)了學(xué)生思維的進(jìn)一步發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

[1]徐強.開放設(shè)計，漸次展開，發(fā)展學(xué)生的多元思維——以直角三角形復(fù)習(xí)為例[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2021（14）：12-14.

[2]何平. 精心架構(gòu)課堂教學(xué)? 促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展——記一節(jié)“一次函數(shù)的應(yīng)用”中考復(fù)習(xí)課的教學(xué)實踐與思考[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（12）：41-44.