基于笛卡爾思維法則的初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)

譚遠(yuǎn)泊

[摘? 要] 應(yīng)用題的教學(xué)向來是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一大難點(diǎn)，文章通過笛卡爾的思維法則和波利亞的轉(zhuǎn)述對(duì)此難點(diǎn)進(jìn)行分析，旨在運(yùn)用他們的數(shù)學(xué)教學(xué)理論指導(dǎo)初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)，并提出一些筆者的建議和思考.

[關(guān)鍵詞] 笛卡爾思維法則;波利亞的轉(zhuǎn)述;應(yīng)用題教學(xué)

笛卡爾的思維法則

笛卡爾是近代西方最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他創(chuàng)立的解析幾何學(xué)，為日后微積分的形成奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 同時(shí)，他還被黑格爾譽(yù)為“近代哲學(xué)之父”. 他的偉大之處在于他善于運(yùn)用數(shù)學(xué)思想來分析世界萬物所隱含的自然哲理，并運(yùn)用哲學(xué)思辨精神來詮釋人們的生活與世界. 在思維的指導(dǎo)法則中，他提出了解題的通用方法，希望通過這種方法“一勞永逸”式的解決所有現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題. 這個(gè)宏偉的設(shè)想不僅僅在當(dāng)時(shí)看來是那么的遙不可及，即使在幾百年后的今天看來，仍然是一個(gè)幾乎不可能實(shí)現(xiàn)的想法. 但是，他的思想對(duì)于現(xiàn)今的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言卻具有重要的價(jià)值.

笛卡爾的通用方法大致可以分為三步：首先，將任何種類的問題都轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題;其次，將所有數(shù)學(xué)問題都轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題[1];最后，將所有代數(shù)問題都轉(zhuǎn)化為單個(gè)方程的求解問題. 在他的思維法則中，包含了中學(xué)數(shù)學(xué)最常見的兩大思想方法，即轉(zhuǎn)化與劃歸的思想和方程思想. 笛卡爾對(duì)于日常問題的方程化設(shè)想雖然不可能實(shí)現(xiàn)，但他對(duì)科學(xué)的影響是巨大的. 他的方案雖不能用于所有場合，但是對(duì)于中學(xué)生解數(shù)學(xué)題，特別是解“文字類”的數(shù)學(xué)應(yīng)用題大有裨益，值得大家認(rèn)真學(xué)習(xí)，這會(huì)讓學(xué)生乃至一線的教師避免許多常見的錯(cuò)誤和不必要的麻煩.

波利亞的轉(zhuǎn)述

事實(shí)上，在后世的數(shù)學(xué)教育家和數(shù)學(xué)愛好者中，對(duì)于笛卡爾的方程思想感興趣的人遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止一個(gè)，但其中最知名的當(dāng)屬波利亞. 波利亞不僅僅承襲了笛卡爾的思維法則，還對(duì)他的法則進(jìn)行了恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)述. 如果說笛卡爾的通用方法是高屋建瓴、難以觸碰的思維法則，那么波利亞的轉(zhuǎn)述則是行之有效、真實(shí)可感的可操作層面的具體步驟.

波利亞將笛卡爾的思想法則歸結(jié)為四步：首先，對(duì)問題要有很好的理解，然后把它劃歸為如何去確定某些未知數(shù). 其次，以最自然的方式來考查問題，把它當(dāng)作是已解決了的，并以適當(dāng)?shù)拇涡蚴顾杏蓷l件規(guī)定的未知量和已知量之間所必須保持的關(guān)系具體化. 再次，分化出一部分條件，根據(jù)這部分條件把同一個(gè)量用兩種不同的方法表示，從而得到未知量之間的一個(gè)方程. 照此做下去，把條件分成與未知量個(gè)數(shù)一樣多的部分，進(jìn)而得到與未知量個(gè)數(shù)相等的一個(gè)方程組. 最后，把這組方程簡化為一個(gè)方程[1].

波利亞的轉(zhuǎn)述不是單純地將笛卡爾通用方法進(jìn)行復(fù)制粘貼，而是加入了對(duì)于數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)的深入思考和可行性建議. 作為一線教師，在實(shí)際教學(xué)時(shí)，還需要結(jié)合自身實(shí)際教學(xué)情況和周圍環(huán)境加以把握和應(yīng)用，爭取最大化地將兩位大師的思想精髓運(yùn)用到教學(xué)實(shí)踐中來.

值得注意的一些問題

通過波利亞的轉(zhuǎn)述，筆者認(rèn)為，一線中學(xué)教師在教導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用方程解應(yīng)用題時(shí)還應(yīng)該注意以下一些問題.

1. 磨刀不誤砍柴工

學(xué)生在不具備相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)時(shí)，不要去盲目解題. 學(xué)生在沒有完全理解問題之前，也不要著手去做問題. 只有當(dāng)二者都具備，他的解題才是有意義的，而且會(huì)更加水到渠成. 筆者在曾經(jīng)的教學(xué)實(shí)踐中，發(fā)現(xiàn)很多初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難學(xué)生的一個(gè)共性：一般都缺乏最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)或是語文知識(shí). 語文基礎(chǔ)知識(shí)的匱乏導(dǎo)致他們對(duì)于數(shù)學(xué)應(yīng)用題的題干理解產(chǎn)生了很大的認(rèn)知偏差，進(jìn)而導(dǎo)致忽略題目中的關(guān)鍵條件或是誤解了核心信息. 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的匱乏導(dǎo)致他們不知道運(yùn)用哪些數(shù)學(xué)定理、公式、法則去解決相關(guān)的數(shù)學(xué)實(shí)際問題. 例如：在解決工程問題時(shí)，如果一個(gè)學(xué)生連“工作效率×工作時(shí)間=工作總量”這種基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)公式都不知道的話，很難想象他能夠做出什么工程類的數(shù)學(xué)應(yīng)用題. 基于此，在日常教學(xué)過程中，教師應(yīng)該有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力，并對(duì)學(xué)習(xí)困難學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行針對(duì)性的補(bǔ)習(xí).

2. 一個(gè)蘿卜一個(gè)坑

通常情況下，題干中的一個(gè)未知數(shù)應(yīng)該能找出一個(gè)與之相對(duì)應(yīng)的方程. 方程的左右兩端往往代表著運(yùn)用兩種不同方式去表示同一個(gè)數(shù)學(xué)量，尋找等量關(guān)系無疑是構(gòu)造方程的核心. 題干中如果出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上的未知量，同樣也應(yīng)該先找出含有這些未知量的對(duì)應(yīng)個(gè)數(shù)的方程，這一組方程從本質(zhì)上而言就是題目中各個(gè)已知等量關(guān)系的等價(jià)數(shù)學(xué)變形，這也是笛卡爾書中的原意. 當(dāng)然，笛卡爾也建議讓人們把所有這些方程最終要化簡為一個(gè)方程，其實(shí)這也就是解方程組的核心思想“消元”. 因此，在教學(xué)過程中讓學(xué)生按圖索驥式的針對(duì)所設(shè)未知量個(gè)數(shù)確定對(duì)應(yīng)方程的個(gè)數(shù)很有必要. 當(dāng)然有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)例外，后面的例2將會(huì)進(jìn)行詳細(xì)的說明.

3. 刪繁就簡三秋樹

笛卡爾認(rèn)為，解數(shù)學(xué)題的過程其實(shí)質(zhì)就是：把一個(gè)含有許多概念的問題剖析并簡化為最簡單的形式. 初中生在解數(shù)學(xué)應(yīng)用題時(shí)，同樣應(yīng)該學(xué)習(xí)借鑒這樣的思維方式. 近年來，隨著中考試題的改革，越來越多的中考題都與實(shí)際生活相聯(lián)系，特別是數(shù)學(xué)應(yīng)用題. 數(shù)學(xué)來源于生活并應(yīng)用于生活，這本無可厚非，而且這也符合教育家弗賴登塔爾一向主張的“現(xiàn)實(shí)”的數(shù)學(xué)教育特征. 但隨之而來往往也就會(huì)產(chǎn)生一些問題，例如文字信息的大量呈現(xiàn)，甚至是無關(guān)信息的干擾往往會(huì)擾亂學(xué)生固有的解題思維，并讓學(xué)生產(chǎn)生一定的認(rèn)知障礙. 此時(shí)，如何刪繁就簡并提取題干中的有用信息無疑是值得一線教師注意的一個(gè)問題. 同時(shí)，對(duì)初學(xué)者而言，教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)該事先講明白哪些問題可以進(jìn)行簡化，例如對(duì)于行程問題的分析可以通過線段圖來進(jìn)行分析，人物可當(dāng)作一個(gè)點(diǎn)，人物行動(dòng)的軌跡可以簡化為一條線段，人物的運(yùn)動(dòng)一般默認(rèn)為勻速直線運(yùn)動(dòng). 相反的，是哪些問題不能忽略特殊情況和題目中的隱含條件，例如在求解實(shí)際應(yīng)用題時(shí)，對(duì)于端點(diǎn)情況的驗(yàn)證以及整數(shù)類可行解的討論. 事實(shí)上，教學(xué)過程中的舍與得其本質(zhì)上就是教學(xué)智慧的一種體現(xiàn).

4. 人生看得幾清明

有時(shí)候，人們看到的未必是事實(shí)，真正的事實(shí)和真相有時(shí)候往往隱藏在錯(cuò)綜復(fù)雜的數(shù)學(xué)等量或是不等關(guān)系中，需要人們?nèi)ド钊氚l(fā)掘. 波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》一書中列舉了好幾個(gè)例子，告誡人們：條件對(duì)于確定未知量而言有時(shí)候未必是充分的，眼睛也可能會(huì)欺騙人. 一般而言，解題的初步設(shè)想肯定是n個(gè)方程對(duì)應(yīng)n個(gè)未知數(shù)，然后通過對(duì)這n個(gè)方程進(jìn)行求解從而得到唯一的答案. 學(xué)生的直觀想法總是單純而美好的，但有時(shí)候題目往往未必順?biāo)煨囊?，題目很可能是欠缺某些條件的“不完備”或是“結(jié)構(gòu)不良”性問題. 此時(shí)，對(duì)于這種不定方程問題，學(xué)生應(yīng)該認(rèn)真審視題目的題干，尋找題目中是否隱藏著被遺漏掉的某些關(guān)鍵信息. 這個(gè)過程不容易，但這卻是學(xué)生不可或缺的解題步驟.

例題解析

接下來，筆者通過兩道例題，結(jié)合笛卡爾的思維法則和波利亞的轉(zhuǎn)述對(duì)初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)進(jìn)行闡釋.

例1 輪船在平靜水面上的航行速度為每小時(shí)40 km，它攜帶有正常航行12 h所需要的燃油量. 如果它在水流速度為每小時(shí)10 km的河道中逆流航行，并須安全返航，問它最多航行多遠(yuǎn)就必須返航？

解析 這是一道很簡單的課后練習(xí)題，抓住題干中的已知量和未知量，通過速度、時(shí)間、路程三者間的等量關(guān)系建立方程，不難求解. 設(shè)輪船最多航行s km路程，得到方程：+=12，從而得出該輪船最大航行距離為225 km就必須返航. 看起來本題確實(shí)很容易，但是作為一線數(shù)學(xué)教師，是否就這樣草率的結(jié)束本題呢？筆者想，通過剛剛對(duì)笛卡爾的思維法則和波利亞轉(zhuǎn)述的探討，對(duì)于該題我們應(yīng)該進(jìn)行適當(dāng)?shù)赝卣?

對(duì)該題進(jìn)行一般化推廣，學(xué)生可以設(shè)輪船在平靜水面中的航行速度為v，水流的速度為w，t為輪船總的航行時(shí)間. 再令x代表單程航行的距離. t代表輪船逆流而上航行的時(shí)間，t代表輪船順流而下航行的時(shí)間，用表格將輪船的航行路程、時(shí)間和速度三者間的關(guān)系表示出來：

由已知，顯然可得：t=t+t，由航程、速度、時(shí)間三者間的關(guān)系，將t和t消掉就可以輕松得到：+=t，再化簡，就可得到：x=.

此時(shí)，學(xué)生再對(duì)該結(jié)果進(jìn)行分類討論.

（1）如果w=0，則2x=vt. 這時(shí)假定輪船在平靜的水面上航行，輪船實(shí)際航行總路程等于輪船最大航程的兩倍，很明顯這是符合實(shí)際情況的.

（2）如果w=v，則x=0. 此時(shí)水流速度等于輪船在平靜水面上的航行速度，顯然輪船無法逆流而上.

（3）如果0

結(jié)合笛卡爾的思維法則和波利亞的轉(zhuǎn)述，此題回過頭來再重新審視一遍. 第一步，先對(duì)問題進(jìn)行理解，這是一道 “逆水行舟”的行程問題. 已知量是輪船在靜水中的航行速度、水流速度以及輪船的攜帶油量. 未知量其實(shí)不少，有輪船的最大航程、逆流而上的航行時(shí)間、順流而下的航行時(shí)間，輪船逆流而上的航行速度等，但學(xué)生要求解的未知量只有一個(gè)，即輪船的最大航程. 未知量和已知量有什么內(nèi)在的聯(lián)系？無外乎三個(gè)行程問題中最常見的公式：速度×?xí)r間=路程，靜水中的船速-水流速度=逆水行舟的速度，靜水中的船速+水流速度=順?biāo)兄鄣乃俣? 第二步，將問題當(dāng)作已經(jīng)解決，根據(jù)剛才的三個(gè)公式，將題目中的已知條件和未知條件進(jìn)行梳理，并用表格的形式將它們展現(xiàn)出來. 第三步，根據(jù)已知條件和剛剛列出的表格列出三個(gè)方程：t=t1+t2，t1=，t2=. 第四步，將這組方程簡化為一個(gè)方程并進(jìn)行求解，從而得出最后的答案. 為了得出更一般的結(jié)論，同時(shí)檢驗(yàn)該答案的正確性，再對(duì)該答案的一般情況進(jìn)行討論，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算最終結(jié)果和實(shí)際情況相符合.

例2 （2020年重慶市中考B卷18題）為了刺激消費(fèi)，某商場決定開展促銷活動(dòng)，方案如下：在收銀臺(tái)旁放置一個(gè)不透明的箱子，箱子里有紅、黃、綠三種顏色的球各一只（除顏色外其他特征均大致相同），顧客購買商品達(dá)到一定金額可獲一次摸球機(jī)會(huì)，摸中紅、黃、綠三種顏色的球可分別返還現(xiàn)金50元、30元、10元. 商城分三個(gè)時(shí)段進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，匯總的最終結(jié)果為：第二時(shí)段摸到紅球次數(shù)為第一時(shí)段的3倍，摸到黃球次數(shù)為第一時(shí)段的2倍，摸到綠球次數(shù)為第一時(shí)段的4倍;第三時(shí)段摸到紅球次數(shù)與第一時(shí)段相同，摸到黃球次數(shù)為第一時(shí)段的4倍，摸到綠球次數(shù)為第一時(shí)段的2倍，三個(gè)時(shí)段返現(xiàn)總金額為2510元，第三時(shí)段返現(xiàn)金額比第一時(shí)段多420元，則第二時(shí)段返現(xiàn)金額為多少元？

解析 本題考查了方程組的正整數(shù)解. 因?yàn)轭}目中涉及已知量和未知量都較多，雖然有三個(gè)時(shí)段，摸到三種顏色不同的球共有九種組合，但其核心還是摸不同顏色球的個(gè)數(shù). 而不同時(shí)段摸到不同顏色球的次數(shù)相互間有固定的比例關(guān)系，因此學(xué)生不妨設(shè)第一時(shí)段統(tǒng)計(jì)摸到紅、黃、綠三種球的次數(shù)分別為a，b，c，根據(jù)題干中的比例關(guān)系，我們可得到第二時(shí)段統(tǒng)計(jì)摸到紅、黃、綠三種球的次數(shù)分別為3a，2b，4c，第三時(shí)段統(tǒng)計(jì)摸到紅、黃、綠三種球的次數(shù)分別為a，4b，2c. 再由題干中所說的三個(gè)不同時(shí)段的返現(xiàn)金額可以很容易得到方程組250a+210b+70c=2510，

（50a+120b+20c）-（50a+30b+10c）=420.化簡，即25a+21b+7c=251，

9b+c=42，做到這里貌似是沒法繼續(xù)下去了，題干中的所有條件好像也都已用完. 但仔細(xì)審視一下該題的題干，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)這道實(shí)際應(yīng)用題中未知數(shù)的取值是有范圍的，結(jié)合a，b，c代表的具體含義，很明顯它們都只能取正整數(shù). 因此學(xué)生不妨消掉其中的一個(gè)未知數(shù)b，得到a=

，

c=42-9b，結(jié)合剛剛所提到的a，b，c的取值為正整數(shù)，得

≥0，

42-9b≥0，得到b的范圍為≤b≤. 又因?yàn)閎只能取正整數(shù)，所以b=2，3，4. 簡單驗(yàn)證一下，可知當(dāng)b=2或3時(shí)，a的值非正整數(shù)，因此不符合題意，應(yīng)舍去. 綜上所述，只有當(dāng)b=4時(shí)，a=5，c=6符合題意. 此時(shí)第二時(shí)段返現(xiàn)金額為150a+60b+40c=1230（元）.

回顧此題，學(xué)生最大的解題障礙一般源于對(duì)冗長題目的莫名恐懼，并對(duì)這種題目都會(huì)有一種天然的抗拒心理，特別是對(duì)于語文成績較差的學(xué)生更是如此. 但隨著中考試題的改革，這種更“接地氣”的“冗長”類實(shí)際應(yīng)用題會(huì)越來越多，怎樣從繁雜的信息中提取有用的數(shù)學(xué)信息，并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，這變得尤為重要. 根據(jù)波利亞的解題理論，教師可以教導(dǎo)學(xué)生在草稿紙上繪制合適的表格，捋清所有已知量和未知量以及它們之間的關(guān)系，再設(shè)法求解問題就會(huì)變得順利很多. 學(xué)生對(duì)本題的第二個(gè)障礙，源于對(duì)默認(rèn)隱含條件的忽視，即沒有注意到紅、黃、綠球都為正整數(shù)這一實(shí)際情況，導(dǎo)致設(shè)三個(gè)未知數(shù)卻只列出兩個(gè)方程的尷尬處境. 因此，教育學(xué)生認(rèn)真審題確實(shí)很有必要，特別是在他們解題碰到困難的時(shí)候.

小結(jié)

波利亞曾說：你的五個(gè)最好的朋友是：what，why，where，when，how[2]. 教師教學(xué)時(shí)也應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生秉承這一思想. 當(dāng)他們解題感到疑惑時(shí)，應(yīng)該讓他們多問幾個(gè)“是什么”“為什么”“怎么樣”，當(dāng)他們真正弄清這五個(gè)方面的時(shí)候，很多問題往往也就迎刃而解了. 教師在教學(xué)過程中應(yīng)認(rèn)識(shí)到：真正要傳授給學(xué)生的是數(shù)學(xué)解題的一般思維方式，而并非某幾道數(shù)學(xué)問題的最終答案. 因?yàn)樵诮虒W(xué)過程中，很多時(shí)候思路和過程往往比最后的答案要重要得多. 正如數(shù)學(xué)家R·柯朗所說的那樣：數(shù)學(xué)，作為人類思維的表達(dá)形式，反映的是人們積極進(jìn)取的意志、縝密的推理以及完美的追求[3]. 只有當(dāng)學(xué)生真正明白怎樣運(yùn)用現(xiàn)有的知識(shí)去自主地解決未知的困難時(shí)，他們才開始真正學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思維法則.

參考文獻(xiàn)：

[1]G·波利亞. 數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)——對(duì)解題的理解、研究和講授[M]. 劉景麟，曹之江，鄒清蓮，譯. 北京：科學(xué)出版社，2009.

[2]G·波利亞. 怎樣解題——數(shù)學(xué)思維的新方法[M]. 涂泓，馮承天，譯. 上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?011.

[3]R·柯朗，H·羅賓. 什么是數(shù)學(xué)[M]. 左平，譯. 上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2011.