對數(shù)感與量感的辨析

吳立寶 高博豪 郭衎

摘要：數(shù)量感是指快速理解、估計和產(chǎn)生數(shù)量，并對數(shù)量進行表征，以及理解數(shù)量間關系的能力。它去情境化分化為數(shù)感，強調抽象后的數(shù)值部分%卩情境化分化為量感，強調具體化的物理意義。數(shù)感與量感是一組對立統(tǒng)一的概念，由定性的思維形式在計算形式、求解策略、對象表征三個方面表現(xiàn)出一定的共性，又由各自的特征在外在表現(xiàn)、內在價值、問題表征、發(fā)展方向四個方面有所區(qū)別。關鍵詞：數(shù)量感;數(shù)感;量感

數(shù)量感是指快速理解、估計和產(chǎn)生數(shù)量，并對數(shù)量進行表征，以及理解數(shù)量間關系的能力。"本能的數(shù)量感是感性且有局限的，例如，人類未經(jīng)學習無法借助數(shù)量感直觀感受較大的數(shù)量。學生的數(shù)量感經(jīng)過后天的培養(yǎng)可以趨于理性化，從而可以用數(shù)學的思維解決問題。劉煒等通過測試發(fā)現(xiàn)，數(shù)量感可以是擺脫物理特征的抽象數(shù)量方面的感知，也可以是空間頻率、背景密度等方面的客觀實在維度的感知。?因此，數(shù)量感有向更為抽象的數(shù)及運算（數(shù)感）分化的趨勢，也有向更為實用的物理量科學表達（量感）分化的趨勢。

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版'（以下簡稱“2022年版課標）在數(shù)感的基礎上新增量感的概念，并將數(shù)感與量感作為數(shù)學核心素養(yǎng)的兩個獨立的具體表現(xiàn)。數(shù)感是形成抽象能力的經(jīng)驗基礎，主要是指對數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系及運算結果的直觀感悟。量感是形成抽象能力和應用意識的經(jīng)驗基礎，主要是指對事物的可測量屬性及大小關系的直觀感知。?從數(shù)量感出發(fā)，逐步理清數(shù)感與量感的關系、共性與區(qū)別，有助于教師深人理解二者的含義，從而采取有針對性的教學策略，培養(yǎng)學生的數(shù)感與量感。

一、數(shù)感與量感的關系

劉煒等認為，人類對數(shù)量表征的結果會產(chǎn)生一定的自主理解，這種感知能力最初來源于外界的真實刺激;同時研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)量感不會因具體物體的個別屬性而受到干擾，例如改變兩個物體的大小與顏色，人類對其數(shù)量的感知結果仍然是兩個。！Wagner和Davis認為，數(shù)量感是人類本能基礎上對物體數(shù)量的感知能力，包含數(shù)字和占位符兩部分，數(shù)字是從數(shù)量中去掉占位符之后的抽象結果，這里的占位符可以是數(shù)量單位、長度單位等。"由此可以看出，數(shù)量感具有適度的抽象性和源于現(xiàn)實兩個主要特征。上述特征為數(shù)量感向數(shù)感與量感分化提供了基礎。

實際上，直到19世紀，皮亞諾算術公理體系確立，人們才真正區(qū)分開數(shù)量與數(shù)。數(shù)量感向內去情境化，分化為對數(shù)及其運算結果以及相互關系的感知。例如，人類對數(shù)的認識是在對數(shù)量認識的基礎上忽略掉情境因素抽象而來的。學生借助數(shù)感進行數(shù)的認識及數(shù)的運算時，依據(jù)的是抽象后的定義與法則，而非現(xiàn)實意義。數(shù)量感向外加情境化，則分化為對物理量及其基于度量單位的度量結果的感知。例如，人類將數(shù)量感與度量單位結合，遷移感知與表達各種物理量的大小。學生依據(jù)量感進行目標測量或估測的結果是數(shù)量在物理意義上的表現(xiàn)結果（如2米是同方向上2個1米的長度和'此時需要依據(jù)現(xiàn)實意義，而非單純的運算。上述兩個分化方向，即數(shù)感和量感兩大方向。

“數(shù)感”一詞最早出現(xiàn)在丹齊克的著作《數(shù)：科學的語言》中。丹齊克認為，數(shù)感是對數(shù)集的感知能力，體現(xiàn)在對數(shù)集中數(shù)增減變化的明確感知。?對數(shù)感的解釋主要有以下兩種觀點：一種是行為取向的觀點，認為數(shù)感是對數(shù)和運算的一般理解，體現(xiàn)在計算求解問題上$另一種是認知取向的觀點，認為數(shù)感是基于內心的近似表征系統(tǒng)（ANS）產(chǎn)生的認知結果的外顯'，這種能力是借助語言表達近似結果的（。在義務教育階段，數(shù)感包括數(shù)的意義、數(shù)的表示、數(shù)的關系、數(shù)的運算、數(shù)的估算、數(shù)的問題解決六部分。?量感是指對客觀事物大小的認識：在感知度量單位的基礎上，通過一定的測量工具進行測量或估測，借助大腦估算與心算，最終可以感性或理性地表達物理量的大小。量感強調對客觀物理量及其變化結果的感知，包括量的感性體驗、量的理性認知、量的測量判斷、量的合理辨析、量的單位轉換、量的計算應用六部分。

總之，數(shù)感與量感均來源于數(shù)量感，它們的關系可用下頁圖1來表示。

二、數(shù)感與量感的共性

總體來看，數(shù)感與量感在思維形式上具有高度的相似性。曹才翰、章建躍認為，計算包括精確計算、心算、估算三部分。精確計算主要指筆算，筆算的步驟是理性且嚴謹?shù)模涸诶斫馑憷淼幕A上，借助算法一步步從問題出發(fā)，最終求得標準的計算結果。與精確計算不同，心算與估算則更多依賴于經(jīng)驗，是直覺作用下的感性認知，表現(xiàn)為計算規(guī)則內化后，熟能生巧地得到較為準確的運算結果。因此，借助于心算、估算的思維模式屬于直覺判斷，是定性（而非定量）的思維形式。！這種定性的思維形式是數(shù)感與量感共性的起源，具體表現(xiàn)為計算形式、求解策略、對象表征二個方面的共性。

（一）計算形式方面的共性

在運算過程中，數(shù)感多表現(xiàn)為對數(shù)及其關系的理解，通過估算而非復雜計算，快速且近似地求解，并結合自身的經(jīng)驗，對估算結果給出合理的解釋。"其中，數(shù)量關系估算法是小學常用的一種估算方法。#例如，不計算比較下列式子的大小，在（? ）中填寫“<”“>”或“=”：33+2（? ）33+3。觀察發(fā)現(xiàn)，左右兩邊的式子都有數(shù)字33，因此，左右兩式最終的大小取決于33加上的那個數(shù)的大小。因為2<3，所以33+2<33+3。上述判斷是基于數(shù)感的估算，而非計算得到35<36，從而得到比較結果。

在計算形式方面，量感與數(shù)感高度相同。比如，根據(jù)量感判斷目標物體的重量時，往往將問題轉化為借助日常經(jīng)驗與所學知識進行估算，從而得到合理的估測結果。一個例子是：借助日常生活經(jīng)驗，知道1袋雞蛋大約有8個，整體重量大約是，5千克（1斤），進而形成0.5千克的感知印象;之后，遇到與1袋雞蛋重量相近的物體時，不通過稱重或計算，便能快速估計出目標物體的重量大約是0.5千克。再如，依據(jù)量感進行單位轉換時，往往借助經(jīng)驗的直覺進行心算。以“1千克=1000克”的轉換為例，表現(xiàn)為“大”單位轉換為“小”單位，進律是1000，那么直接在數(shù)字1后面添三個0即可;反之，則表現(xiàn)為將小數(shù)點向左移動三位，而不是采用具體乘或除以1000的精確計算數(shù)值來感知換算結果。

（二）? 求解策略方面的共性

利用數(shù)感解決問題，往往傾向于采用“嘗試一歸納一應用”的策略。該策略的特點是高實效性，即可以借助直覺快速求解。具體表現(xiàn)為解決問題時，嘗試用簡便的方法簡化處理，在驗證結果準確性的基礎上歸納，并把歸納后的結果作為認知的支撐點，在練習的過程中強化，從而逐步減少思考的成本，使之變?yōu)橐环N直覺，并在未來解決問題時應用。例如，計算0.25X4時，借助嚴謹?shù)墓P算得到其結果為1。數(shù)字1起到了提醒的作用，因此，在遇到含有0.25X4部分的計算時，會嘗試跳過筆算，直接將得數(shù)1作為直覺結果進行表征。同類的問題還有1.25X8=10等小數(shù)乘法結果為整數(shù)的特征化計算。

在求解策略方面，量感與數(shù)感具有共同之處。比如，借助量感的經(jīng)驗性，可以嘗試將目標物體的長度與自己身體的部位對比。例如，對比發(fā)現(xiàn)，書桌的長度有一個半自己的胳膊那么長，自己的胳膊長大約是0.5米，因此，書桌的長度在0.75米左右。在這一嘗試的基礎上，可以通過測量判斷結果的正確性一一借助尺子測得書桌的長度為0.8米，與自身感知的結果相近。從而便可以此歸納，將目標物體的長度與自己的胳膊相關聯(lián)，借助胳膊的長度快速求得結果，省卻嚴格的參照測量求解的步驟。

（三）? 對象表征方面的共性

就數(shù)感來看，其對象表征往往不是一個精確的數(shù)值，而是在誤差范圍內可以接受的近似值，表現(xiàn)為投人的思考程度與輸出的結果精確度的權衡。借助數(shù)感解決問題具有一定的實效性，因此，可以省卻大量的思考成本，得到一個在誤差范圍內可以接受的結果。這種基于數(shù)感的結果往往對計算起到導向及驗證的作用。例如，計算24X0.55時，會在頭腦中將問題近似表征為24的一半是12，從而對最終的計算結果作出感性的判斷：若結果與12的偏差過大，則是錯誤的。

近似性也是量感的一大特征，其核心在于，通過過程近似和結果近似的方式，簡化解決問題的過程，使結果在合理的誤差范圍內快速呈現(xiàn)。過程近似，如將水瓶忽略瓶嘴部分近似為標準圓柱進行體積估測，將球近似為其外接正方體進行體積估測。結果近似闡述為將精確且復雜的測量結果通過合理簡化，以簡單明了的方式進行表征，降低后續(xù)測算的難度。如將4.02厘米用4厘米簡化處理，有利于快速感知數(shù)量結果。

三、數(shù)感與量感的區(qū)別

數(shù)感和量感又在各自特征方面呈現(xiàn)出很多的不同。具體來說，可從外在表現(xiàn)、內在價值、問題表征與發(fā)展方向四個方面概括它們的區(qū)別，如表1所示。

（一）? 外在表現(xiàn)方面的區(qū)別

外在表現(xiàn)方面，數(shù)感與量感的主要區(qū)別在于：數(shù)感是純粹的內在認識活動，沒有外在的動作成分，即數(shù)量感的思維部分，因此具有內隱性;量感是內在認知活動與外在動作活動的結合，如估測與實測相結合，即數(shù)量感的操作驗證部分，因此兼具內隱性與外顯性。

數(shù)感表現(xiàn)為借助內心的近似表征系統(tǒng)，通過對數(shù)字的理解以及心算與估算，得到表征后的結果。陳炳建認為，用數(shù)思考是數(shù)感的基本表現(xiàn)形式。！若把數(shù)感視為一種技能，應是純粹的心智技能，體現(xiàn)在通過人腦進行認知、估算與反饋，并以觀念上的結果作為認知的結果。此時，個體可能并沒有實質的動作，但是在頭腦中已經(jīng)進行了多次估算并整理了結果。因此，數(shù)感具有觀念性、內隱性、簡縮性等特征。例如，學生坐在座位上不動，是已經(jīng)在頭腦中完成了11X12=11X10+11X2=110+22=132的一系列簡算。

量感的表現(xiàn)有以下兩個模式：其一，通過量的理性認知，在原有知識與經(jīng)驗的基礎上，使用度量單位，通過“數(shù)+單位”的形式形成結果的表象，此時量感也表現(xiàn)出與數(shù)感類似的內隱性;其二，2022年版課標明確提出培養(yǎng)學生選擇合理的測量工具進行測量的能力，測量屬于動作技能，比如選擇尺子測量目標物體的長度，測量過程可以拆分為選擇尺子、對齊零刻度、目標讀數(shù)等環(huán)節(jié)展開動作，這種動作技能具有明顯的對象客觀性、執(zhí)行外顯性、結構展開性等特點。因此，量感的表現(xiàn)往往是感知與操作并舉，動腦與動手并行。

（二）? 內在價值方面的區(qū)別

在內在價值上，數(shù)感與量感的區(qū)別主要在于：數(shù)感側重于抽象能力及其思維價值，強調借助數(shù)量關系體會數(shù)的抽象過程以及運算法則，即數(shù)量感中數(shù)的部分;量感強調抽象思維的應用價值，即解決有關數(shù)量關系的實際問題。

數(shù)感致力于逐步揭示數(shù)量感背后蘊含的數(shù)的關系，是逐步用數(shù)表示事物規(guī)律的過程。因此，數(shù)感的對象是高度抽象的數(shù)、符號，不依賴具體的物理因素，對數(shù)、符號及其關系的判斷是完全基于邏輯的。羅素贊成柏拉圖的思想，認為符號是省略了定義后的“或者”“不是”“一切”“某些”之類的話語，并且不指向現(xiàn)實世界的任何事物。體現(xiàn)在數(shù)感上，從數(shù)量3個、長度3米、重量3千克中，都可以抽象出3的概念，而圍繞數(shù)感的估算與計算，都是基于3這個數(shù)的。脫離現(xiàn)實背景的數(shù)的運算并無實際意義（如3+2=5，而3天+2小時$5天），因此，數(shù)感最終指向抽象能力的培養(yǎng)。

量感是借助測量或估測，產(chǎn)生對事物可測量屬性的直覺認知，以解決實際問題。因此，量感的對象是客觀存在的事物，其最終的培養(yǎng)目的也在于解決實際問題。梁培斌認為，必要的測量經(jīng)歷有利于學生形成量感，從而進一步培養(yǎng)估測能力，這種能力最終指向學生應用意識的培養(yǎng)。"例如，測出一個正方形的邊長是3厘米，依據(jù)正方形的面積公式，求得該正方形的面積是9平方厘米。實質上，此時的運算具有一定的物理意義，合理地解決了現(xiàn)實應用中難以直接測量面積的問題。因此，量感最終指向抽象思維的應用意識的培養(yǎng)，以及應用價值的感悟。

（三）問題表征方面的區(qū)別

問題表征方面，數(shù)感是數(shù)量關系問題中數(shù)及運算的表征"強調如何通過合理的運算求得標準的數(shù)值結果，是數(shù)量感在運算規(guī)律方面的體現(xiàn);量感可作為數(shù)量關系問題中判斷是否合乎情理的原則，強調如何通過物理意義構建合理的算式（運算步驟'是數(shù)量感在邏輯判斷方面的體現(xiàn)。

數(shù)感表現(xiàn)為借助數(shù)、計數(shù)單位、進制等抽象的概念，結合運算法則，合理地輸出結果（仍為數(shù)'也就是，將問題歸結為“怎么算”。量感表現(xiàn)為通過對量的物理意義的理解，構建實際物理含義與算式之間的對應關系，從而確定合理的運算步驟（選取哪些量進行怎樣的運算'也就是，將問題歸結為“算什么”。例如，對“物體運動距離是10米，運動時間是2秒，以及其他已知量，求物體運動速度”的問題，借助量感的經(jīng)驗性及轉換性，構建“速度等于距離除以時間”的運算邏輯，以此列出速度的計算公式^即用10米除以2秒。此時的運算步驟是符合客觀現(xiàn)實的，通過量綱檢驗可以驗證其合理性。在此基礎上，借助數(shù)感，將后續(xù)問題表征為距離的數(shù)值與時間的數(shù)值如何做除法，即10除以2如何依據(jù)法則求得運算結果。此時，關注的是利用乘法口訣進行數(shù)值求解，而不考慮計算的實際意義。直觀地看，量感與數(shù)感的區(qū)別便在于單位是否參與運算，量感強調單位必須參與運算，而數(shù)感則不然。

（四）發(fā)展方向方面的區(qū)別

在發(fā)展方向上，數(shù)感最終指向數(shù)的感知能力以及運算速度與準確度的提升，強調數(shù)量感中合理估算部分的發(fā)展;量感最終指向對物理量認知的逐步理性化、辨析化，以及測量與估測準確性的提升，強調數(shù)量感中客觀實在維度辨析部分的發(fā)展。

數(shù)感的發(fā)展方向有以下兩個維度：一是數(shù)的關系，如互質關系、最大公約數(shù)關系、平方關系等認知的發(fā)展，在基本活動經(jīng)驗的基礎上形成快速而準確的感知能力%二是數(shù)的運算，如四則運算等在快速、準確方面的發(fā)展。數(shù)感好的學生對數(shù)的關系及數(shù)的運算具有敏銳感。例如，給出數(shù)字169，可以快速反應它是13的平方數(shù);給出數(shù)字12和15，可以迅速反應二者的最大公約數(shù)為3;提問“3X5等于多少”，能夠借助乘法口訣快速回答15，而非進行5！5！5=15的計算。

量感的發(fā)展方向也存在兩個維度：一是提升測量與估測的能力%二是提升理解與選擇度量單位的能力，進而準確感知物理量的維度與大小。量感好的學生對客觀事物的物理屬性具有敏銳感。例如，可以快速判斷一個桌面具有長度、面積、體積、重量等物理屬性，可以合理進行測量，通過“數(shù)字+單位”的方式表達感知結果，并理解長度、面積、體積之間的關系。

四、結語

數(shù)感與量感是由數(shù)量感分化而來的兩個概念。在教材內容安排以及教學活動設計中，二者往往同時出現(xiàn)：數(shù)感為量感提供理性支持，增加量感的科學性與嚴謹性;量感為數(shù)感提供可靠的抽象來源，為深人理解數(shù)及其關系提供良好的支撐點。但是，數(shù)感與量感也有所區(qū)別，混淆二者的概念對培養(yǎng)學生的數(shù)感與量感是不利的。結合2022年版課標，教師需要準確把握數(shù)感與量感的共性與區(qū)別，在教學過程中對癥下藥，并逐步深化二者的融合，最終助力學生數(shù)感與量感清晰且有深度的發(fā)展，從而助力學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展。

（吳立寶，天津師范大學教育學部，教授，博士生導師。主要研究方向：教師教育與數(shù)學教育。高博豪，天津師范大學教育學部。主要研究方向：數(shù)學教育。郭銜，北京師范大學數(shù)學科學學院，副教授，博士生導師。主要研究方向：數(shù)學教育。）