解答排列組合問(wèn)題的幾種措施

柏鵬鵬

排列組合是每年高考數(shù)學(xué)必考的內(nèi)容之一.排列組合問(wèn)題側(cè)重于考查分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理. 解答此類問(wèn)題，需仔細(xì)審題，辨別問(wèn)題的類型，然后選用合適的計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解.本文主要介紹幾種求解排列組合問(wèn)題的常用措施.

一、優(yōu)先法

大部分的排列組合問(wèn)題都會(huì)涉及有特殊要求的元素或位置，此時(shí)需采用優(yōu)先法求解.采用優(yōu)先法解題，可以從兩個(gè)角度入手：（1）特殊元素.先排列特殊元素的順序，再排列其他元素的順序;（2）特殊位置.先將滿足要求的元素安排在特殊位置上，再將其他元素安排在剩下的位置上.

例1. 1名歌手和4名觀眾排成一排照相，若歌手不排在兩端，則一共有多少種排法.

分析：本題中的歌手為特殊元素，兩端的位置為特殊位置，需采用優(yōu)先法求解.可從特殊元素、特殊位置兩個(gè)角度進(jìn)行考慮.

當(dāng)有多個(gè)特殊元素或位置時(shí)，往往要分步逐一安排每個(gè)特殊的元素或位置，最后根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求解.

二、捆綁法

指定某些元素必須排在一起的問(wèn)題稱為相鄰問(wèn)題.當(dāng)遇到相鄰問(wèn)題時(shí)，常需采用捆綁法求解.把相鄰的若干元素捆綁在一起作為一個(gè)整體或者一個(gè)大元素進(jìn)行排列，便可保證相鄰的元素不會(huì)分開.采用捆綁法解答排列組合問(wèn)題，需分步進(jìn)行，首先排列捆綁起來(lái)的大元素以及沒(méi)有被捆綁的元素的排列順序，然后排列捆綁起來(lái)的幾個(gè)元素的順序，最后運(yùn)用分步計(jì)數(shù)原理求解.

例2.（1）7個(gè)人排成一排，其中甲、乙必須相鄰的排法有多少種？

（2）7個(gè)人排成一排，其中甲、乙中間相隔2人的排法有多少種？

運(yùn)用捆綁法解題時(shí)，要注意排列大元素內(nèi)部的幾個(gè)元素的順序，這是很多同學(xué)容易忽略或忘記的一個(gè)步驟.

三、間接法

對(duì)于含“至多”或“至少”字眼的排列組合問(wèn)題，采用直接法求解，往往需要進(jìn)行很復(fù)雜的討論，且會(huì)出現(xiàn)遺漏或重復(fù)計(jì)數(shù)的情況.此時(shí)從問(wèn)題的反面入手，采用間接法求解比較便捷.先求出所有的排列數(shù)，再排除不符合條件的排列數(shù)即可解題.這樣往往會(huì)收到意想不到的效果.

例3.某校開設(shè)3門A類選修課，4門B類選修課.某同學(xué)一共選了3門選修課，若要求從兩類課程中各至少選擇一門，則一共有多少種選法？

此題中含有“至少”的字眼，用直接法求解，要考慮的情況太多，需運(yùn)用間接法，先不考慮任何限制條件，從7門選修課中任選3門，求出所有的情況數(shù)，再考慮不符合條件的情況：所選的3門選修課均為A類或B類，排除不滿足要求的情況數(shù)，即可快速解題.

上述三種方法都是解答排列組合問(wèn)題的常用方法，但是其適用條件均不同.優(yōu)先法適用于解答含有特殊元素和位置的題目，捆綁法適用于求解元素相鄰的題目，間接法適用于解答從正面求解困難的題目.對(duì)于排列組合問(wèn)題，同學(xué)們要多總結(jié)歸納，提煉方法，這樣才能在解題時(shí)做到游刃有余.