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      怎樣用參數(shù)法解答與動(dòng)點(diǎn)、有關(guān)的問(wèn)題

      2022-05-30 10:48:04張立駿李志輝
      關(guān)鍵詞:動(dòng)點(diǎn)化簡(jiǎn)橢圓

      張立駿 李志輝

      運(yùn)用參數(shù)法求解與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題的步驟如下:

      1.根據(jù)曲線的方程、直線的方程引入?yún)?shù),設(shè)出其參數(shù)方程;

      2.將曲線、直線上的動(dòng)點(diǎn)用參數(shù)表示出來(lái);

      3.根據(jù)題意,將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程、公式中,求得目標(biāo)式;

      4.通過(guò)三角恒等變換化簡(jiǎn)目標(biāo)式,根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)或通過(guò)消參,求得問(wèn)題的答案.

      分析:根據(jù)橢圓的參數(shù)方程可設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)(αcosθ,bsinθ),便能根據(jù)直線的斜率公式分別求得A1P、A2P、A1Q、A2Q的斜率,建立關(guān)于θ的關(guān)系式,通過(guò)消參即可求出Q點(diǎn)的軌跡方程.

      又P點(diǎn)是橢圓E上的任意一點(diǎn),設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(acosθ,bsinθ).

      因?yàn)锳1Q⊥A1P,A2Q⊥A2P,

      運(yùn)用參數(shù)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,需用參數(shù)表示出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo),將其視為已知的點(diǎn),便可根據(jù)已知條件快速建立關(guān)于該點(diǎn)的關(guān)系式,再消去參數(shù)即可解題.

      例2.若點(diǎn)P在橢圓7x2+4y2=28上運(yùn)動(dòng),求點(diǎn)P到直線3x-2y-16=0的最大距離.

      則點(diǎn)P到直線3x-2y-16=0的距離為

      而-1≤cos(θ-φ)≤1,

      通過(guò)引入?yún)?shù),便將與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的圓錐曲線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題,利用三角函數(shù)中的基本公式進(jìn)行化簡(jiǎn),就能根據(jù)三角函數(shù)的有界性求得最值.這樣可以大大地簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程.

      可見引入?yún)?shù)解答與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題,不僅能轉(zhuǎn)換解題的思路,還能簡(jiǎn)化運(yùn)算,提升解題的效率.除了上述例題中涉及的動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題、距離問(wèn)題之外,與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的三角形周長(zhǎng)、面積問(wèn)題也都可采用參數(shù)法來(lái)求解.

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