用向量法解答兩類立體幾何問題的思路

徐亞云

立體幾何是高中數(shù)學(xué)中的重要模塊，常見的立體幾何問題有求空間角的大小，求空間距離，判斷點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，求空間幾何體的體積、表面積等.立體幾何問題側(cè)重于考查同學(xué)們的空間想象能力和推理分析能力.然而，有些同學(xué)這兩個(gè)方面的能力較弱，很難順利求得問題的答案，此時(shí)可巧妙運(yùn)用向量法，使問題快速得解.本文重點(diǎn)談一談如何巧用向量法解答兩類立體幾何問題.

一、求空間角的大小

例1.如圖1所示，PA垂直于矩形ABCD，AB、PC的中點(diǎn)分別是點(diǎn)M、N，若AD=AP=1，求平面PCD和平面ABCD所成的角.

解：以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB、AD、AP軸為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖1所示，

因?yàn)镻A⊥面ABCD，

設(shè)矩形ABCD的邊長(zhǎng)BC=b，

在建立空間直角坐標(biāo)系后，可分別求得平面PCD和平面ABCD的法向量，根據(jù)向量的數(shù)量積公式求得兩個(gè)法向量的夾角的余弦值，再根據(jù)圖形判斷平面PCD和平面ABCD所成的角是鈍角還是銳角，便可求得二面角的大小.

例2.如圖2所示，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線交于點(diǎn)O，DE⊥平面ABCD.

（1）證明：AC⊥BE;

（2）已知∠ADC=120°，DE=2，點(diǎn)F在BE上，且OF∥DE，求直線AF與平面BCE所成角的大小.

解：（1）略.

（2）∵DE⊥平面ABCD，OF∥DE，

∴OF⊥平面ABCD，

二、求空間距離

例3.如圖3所示，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)都為1，BC的中點(diǎn)為M，側(cè)棱CC₁上有一個(gè)點(diǎn)N且CN=2C₁N，求點(diǎn)B₁到平面AMN的距離.

解：以M為原點(diǎn)，以AM，MC為x，y軸方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖3所示，

例4.如圖4所示，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)均為1，O是A₁C₁和B₁D₁的交點(diǎn)，則點(diǎn)O到平面ABC₁D₁的距離為________.

解：連接OA，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，如圖4所示，

令x=1，則y=0、z=1，

用向量法解題的思路較為簡(jiǎn)單，通常只要建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，便可通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得問題的答案.

通過上述分析可以發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用向量法解答空間角度與空間距離問題比較便捷，但運(yùn)算量較大.在采用常規(guī)方法解答空間角度與空間距離問題受阻時(shí)，可轉(zhuǎn)換解題的思路，從向量角度入手，將問題轉(zhuǎn)化為向量問題來求解，這樣有利于提升解題的效率.