空間幾何體體積的幾種求法

喬玉潔　劉錦

求空間幾何體的體積問(wèn)題側(cè)重于考查球、棱柱、棱錐、棱臺(tái)、圓柱、圓臺(tái)、圓錐的結(jié)構(gòu)特征和體積公式. 此類問(wèn)題對(duì)同學(xué)們的觀察和空間想象能力有較高的要求.解答此類問(wèn)題，需仔細(xì)觀察空間幾何體，明確其結(jié)構(gòu)特征，對(duì)其進(jìn)行合理的拆分、轉(zhuǎn)化，選擇合適的體積公式進(jìn)行求解.下面重點(diǎn)探討一下三種求空間幾何體體積的方法.

一、公式法

例1.（2021年浙江卷）某幾何體的三視圖如圖1所示，則該幾何體的體積是（ ???）.

分析：根據(jù)三視圖可得如圖2所示的四棱柱，根據(jù)棱柱的體積公式：V=ShS是柱體的底面積、h是柱體的高）可求得四棱柱的體積.

故本題選A.

例2.（2021全國(guó)甲卷文科，第19題）已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面AA₁B₁B為正方形，如圖3.AB=BC=2，E，F(xiàn)分別為AC和CC₁的中點(diǎn)，BF⊥A₁B₁，求三棱錐F-EBC的體積;

解：如圖4所示，連接AF，

∵AB⊥BB₁，BC⊥AB，BB₁∩BC=B，

∴AB⊥BF，

∴AB²+BC²=AC²

∴AB⊥BC，△ABC為等腰直角三角形，

公式法是求空間幾何體體積的基本方法.在利用公式法求空間幾何體的體積時(shí)，需先判斷幾何體的類型，再結(jié)合已知條件確定體積公式中的幾何量.在求錐體、柱體、臺(tái)體的體積時(shí)，需結(jié)合已知條件找準(zhǔn)底面，并求出高和底面的面積;在計(jì)算球的體積時(shí)，需找準(zhǔn)球的球心，確定球的半徑.

二、等積法

等積法包括等面積法和等體積法.等面積法是通過(guò)改變平面圖形的底和高，利用等面積的原理來(lái)求面積的方法;等體積法是通過(guò)改變幾何體的底面和頂點(diǎn)，利用等體積的原理來(lái)求體積的方法.運(yùn)用等積法求空間幾何體的體積，需先根據(jù)題意選擇易于求得面積的底面和高，通過(guò)轉(zhuǎn)換幾何體的底面和頂點(diǎn)，求得問(wèn)題的答案.

例3.（2020年海南卷）如圖5，已知正方體ABCD- A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，M，N分別為BB₁，AB的中點(diǎn)，則三棱錐A-NMD₁的體積為________.

分析：由題意畫出圖形.仔細(xì)觀察圖形的特點(diǎn)，可發(fā)現(xiàn)三棱錐A-NMD₁的底面△ANM和高容易求得，于是采用等積法，轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)和底面，通過(guò)求底面△ANM的面積和D₁到△ANM的距離，來(lái)求三棱錐A-NMD₁的體積.

解：∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，M、N分別為BB₁、AB的中點(diǎn)，

例4.（2020年全國(guó)III文科，第16題）已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為________.

解：易知半徑最大的球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時(shí)的軸截面如圖6所示，

可得BC=2，AB=AC=3，且點(diǎn)M為BC邊上的中點(diǎn)，

設(shè)內(nèi)切圓的圓心為O，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，

∴S_△ABC=S_△AOB+S_△BOC+S_△AOC

本題可轉(zhuǎn)化為圓錐內(nèi)切球的問(wèn)題.確定截面后，便可采用等積法，將求△ABC的面積轉(zhuǎn)換為求△AOB、△BOC、△AOC的面積，根據(jù)圓錐的體積公式進(jìn)行求解.等積法實(shí)質(zhì)上是根據(jù)等量代換的原理，將所求的面積、體積進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換.

三、割補(bǔ)法

對(duì)于一些簡(jiǎn)單的空間幾何體，如棱柱、圓臺(tái)、棱錐、球等，可以直接套用幾何體的體積公式進(jìn)行求解. 對(duì)于一些較為復(fù)雜且不規(guī)則的空間幾何體，通常需采用割補(bǔ)法，通過(guò)分割與補(bǔ)形，將原幾何體構(gòu)造成較易計(jì)算體積的、規(guī)則的空間幾何體，以便根據(jù)簡(jiǎn)單空間幾何體的體積公式進(jìn)行求解.

例5.正三棱柱ABC-A_1B1C1的各棱長(zhǎng)均為1，D為AA₁的中點(diǎn)，則四面體A₁BCD的體積是（ ???）.

解：繪制如圖7所示的圖形，

∵ABC-A₁B₁C₁為正三棱柱，

∴底面ABC為正三角形，側(cè)面BB₁C₁C為正方形，

故本題選D.

四面體A₁BCD底面上的高比較難求，需轉(zhuǎn)換思路，將四面體A₁BCD補(bǔ)成正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，把不規(guī)則的四面體補(bǔ)形為規(guī)則的正三棱柱，然后將正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積減去四棱錐A₁-BB₁C₁C和三棱錐D-ABC的體積，就得到了四面體A₁BCD的體積.

例6.已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為（ ???）.

解：繪制如圖8所示的圖形，

∵PA=PB=PC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，

∴三棱錐P-ABC為正三棱錐，

∴頂點(diǎn)P在底面的射影O₁為底面三角形的中心，連接BO₁交AC于G，

∴AC⊥BG，

又PO₁⊥AC，PO₁∩BG=O₁，

∴AC⊥平面PBG，∴PB⊥AC，

∵E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∴EF∥PB，

又∵∠CEF=90°，即EF⊥CE，

∴PB⊥CE，PB⊥平面PAC，

∴正三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，

∴本題選D.

總之，只有將解答空間幾何體的體積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的、規(guī)則的空間幾何體的體積問(wèn)題，才能使問(wèn)題快速得解.這就要求我們熟悉常見空間幾何體的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)、體積公式，靈活運(yùn)用等積法、割補(bǔ)法，將問(wèn)題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，然后選擇與之相應(yīng)的空間幾何體體積學(xué)公式進(jìn)行求解.