從一道幾何最值問題看研究性學(xué)習(xí)

王廣輝

摘? 要：數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的典型特征是“變”，即通過改變數(shù)學(xué)問題對(duì)學(xué)生的思維方式和學(xué)習(xí)方式進(jìn)行訓(xùn)練。因此，在平時(shí)的教學(xué)中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生以研究者的身份，對(duì)于典型的數(shù)學(xué)問題從不同的角度拓展出諸多新的問題，舉一反三，開拓學(xué)生的思維，從而實(shí)現(xiàn)高效學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞：研究性學(xué)習(xí);最值問題;拓展思維

良好的數(shù)學(xué)思維方式和學(xué)習(xí)習(xí)慣是學(xué)好數(shù)學(xué)的核心因素。因此，教師在教學(xué)中要讓學(xué)生以研究數(shù)學(xué)的態(tài)度來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。對(duì)于典型的數(shù)學(xué)問題，在初步解決的基礎(chǔ)上，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)尋找一些相關(guān)的問題，并嘗試解決，這樣對(duì)于學(xué)生的高效學(xué)習(xí)大有裨益的。下面對(duì)一道典型的幾何最值問題進(jìn)行深入剖析，引導(dǎo)學(xué)生了解并掌握研究性學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法和技巧。

一、典例精析

題目? 如圖1，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠A =[60°，] 點(diǎn)P是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。如果點(diǎn)M，N分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，求PM + PN的最小值。

解析：此題源自人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)第85頁(yè)問題1。我們不難找到解決方案，即作出點(diǎn)M關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)M′（如圖2）。連接M′N，線段M′N的長(zhǎng)即為所求。由平行四邊形的性質(zhì)可知，M′N = AB = 4。所以PM + PN的最小值為4。

波利亞曾經(jīng)形象地指出，好問題同采蘑菇有些相像，它們都能成堆地生長(zhǎng)，找到一個(gè)后，你應(yīng)當(dāng)在周圍再找找，很可能附近就有好幾個(gè)。因此，我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生在上述問題解決的基礎(chǔ)上進(jìn)行思維發(fā)散，嘗試以此為基礎(chǔ)去解決更有挑戰(zhàn)性的問題。

二、問題初探

變式1：如果圖1中的點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，試求PM + PN的最小值。

解析：遵循慣性思維，我們自然會(huì)想到作出點(diǎn)M關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)M′，但由于點(diǎn)N是動(dòng)點(diǎn)，再連接M′N是無(wú)意義的。此時(shí)應(yīng)該作M′N⊥AD于點(diǎn)N，垂線段M′N的長(zhǎng)即為所求，即[23。]

【小結(jié)與歸納】從表面上看，由源問題過渡到變式1似乎是“舊瓶裝新酒”，但與源問題不同，變式1主要考查的是幾何性質(zhì)“垂線段最短”。接下來，我們進(jìn)一步拓展思維，思考如下問題：如果將變式1中的條件“點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)M是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)”（即點(diǎn)P，M，N均為動(dòng)點(diǎn)）呢？此時(shí)動(dòng)點(diǎn)問題依次由“一動(dòng)兩定（點(diǎn)）”過渡到“兩動(dòng)一定（點(diǎn)）”，最終過渡到“三動(dòng)（點(diǎn)）”，問題的難度層層遞進(jìn)。

三、拓展研究

變式2：如圖3，如果[AP=15，] 點(diǎn)M，N分別是邊AB，AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△PMN周長(zhǎng)的最小值。

解析：如圖4，分別作出點(diǎn)P關(guān)于AB，AD的對(duì)稱點(diǎn)P1，P2。連接P1P2，分別交AB，AD于點(diǎn)M，N，則△PMN的周長(zhǎng)的最小值即為線段P1P2的長(zhǎng)度。連接AP1，AP2。在△AP1P2中，AP1 = AP2 = AP，∠P1AP2 = 2∠DAB = 120°，容易求出線段P1P2的長(zhǎng)為[35，] 即△PMN的周長(zhǎng)的最小值為[35。]

【小結(jié)與歸納】以上問題把“將軍飲馬”問題分三類設(shè)計(jì)，問題層層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生探究，使學(xué)生的認(rèn)知在類比與轉(zhuǎn)化中不斷走向深入。

四、深度探究

變式3：如圖5，如果點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是邊AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。將△AMN沿MN所在直線翻折，得到△A′MN。連接A′C，求線段A′C的最小值。

解析：如圖6，由折疊可知A′M = AM = BM，因此點(diǎn)A′在以點(diǎn)M為圓心，半徑為2的半圓上。由三角形的三邊關(guān)系可知，A′C > MC - MA′。所以當(dāng)點(diǎn)M，A′，C三點(diǎn)在同一條線上時(shí)，線段A′C的長(zhǎng)度最短。作CE⊥MB交MB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。在Rt△BCE中，∠CBE = 60°，BC = 4，則BE = 2，[CE=23。] 所以在Rt△CEM中，[CM=27。] 因?yàn)锳′M = 2，所以A′C的長(zhǎng)度的最小值為[27-2。]

【小結(jié)與歸納】在變式3中，求最值所涉及的知識(shí)點(diǎn)主要是三角形三條邊之間的關(guān)系，即“三角形兩邊之和大于第三邊”。

五、結(jié)束語(yǔ)

我們看到，以上問題以菱形為載體，從不同的角度派生出諸多新的問題，設(shè)計(jì)精巧，從不同層面對(duì)學(xué)生的能力進(jìn)行考查，一步步拓展學(xué)生思維。

通過數(shù)學(xué)問題的變式，拓展學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生知道應(yīng)該怎樣進(jìn)行創(chuàng)造性地思考。在教學(xué)中，教師要經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生以研究者的身份對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行探索性地改變與思考。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2]G.波利亞. 怎樣解題[M]. 閻育蘇，譯. 北京：科學(xué)出版社，1982.