一道課后習(xí)題的多解與反思

摘要：不同底數(shù)不同真數(shù)的對(duì)數(shù)比較大小問(wèn)題，有沒(méi)有規(guī)律可循？通過(guò)利用教材課后習(xí)題，挖掘隱藏在其背后的解題方法、數(shù)學(xué)思想，從特殊命題拓展出一般性的命題，順利解決了對(duì)數(shù)比較大小問(wèn)題，學(xué)生在活動(dòng)過(guò)程中培養(yǎng)了四基四能，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：對(duì)數(shù)；比較大?。粩?shù)學(xué)運(yùn)算；核心素養(yǎng)

中圖分類(lèi)號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）28-0067-04

收稿日期：2022-07-05

作者簡(jiǎn)介：俞文銳（1979.8-），男，福建省福清人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度立項(xiàng)課題“信息技術(shù)環(huán)境下教學(xué)預(yù)設(shè)與生成的實(shí)踐研究”（項(xiàng)目編號(hào)：FJJKXB20-826）.

對(duì)數(shù)比較大小問(wèn)題是每年高考的熱點(diǎn)題型，題型雜方法多，重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想，以及數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)，那么對(duì)于底數(shù)不同、真數(shù)也不同的對(duì)數(shù)比較大小，究竟要應(yīng)用什么方法予以解決呢？本文以人教A版必修第一冊(cè)一道習(xí)題為例對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行探究.

1 試題呈現(xiàn)

例1（人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)P141拓廣探索第13題）比較log23，log34，log45的大小

2 解法探究

我們先比較log34，log45的大小.

解法1（運(yùn)用作差法+基本不等式比較大?。?/p>

log34-log45

=ln4ln3-ln5ln4

=（ln4）2-ln3·ln5ln3·ln4

≥（ln4）2-ln3+ln522ln3·ln4

=（ln4）2-（ln15）2ln3·ln4>0.

評(píng)析通過(guò)作差和換底公式，出現(xiàn)了ln3·ln5的結(jié)構(gòu)，再利用基本不等式和對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)將它轉(zhuǎn)化為（ln15）2，從而順利解決問(wèn)題.作差法結(jié)合基本不等式比較大小，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，思維難度低.

解法2（運(yùn)用換底公式+糖水不等式比較大?。﹍og34=ln4ln3>ln4+ln43ln3+ln43=ln163ln4>ln5ln4=log45.

評(píng)析糖水不等式：若a>b>0，m>0，則有a+mb+mba（人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)P43綜合運(yùn)用第10題），充分挖掘教材習(xí)題的作用，將不同底、不同真數(shù)的對(duì)數(shù)比較大小問(wèn)題輕松予以解決.

解法3（運(yùn)用析整顯微法+指數(shù)式比較大?。?/p>

log34=1+log343=1+x，

log45=1+log454=1+y，

所以31+x=4，41+y=5.

則3x=43，4y=54.

所以3x-4y=112>0.

即3x>4y.

兩邊取對(duì)數(shù)得xln3>yln4，

變形得xy>ln4ln3>1，

所以x>y.

即log34>log45.

評(píng)析通過(guò)對(duì)數(shù)運(yùn)算將log34，log45析出非零整數(shù)1，顯示出非負(fù)小數(shù)x=log343和y=log454，因此只要比較x和y的大小， 接著利用對(duì)數(shù)式與指數(shù)式互化比較大小.

解法4（運(yùn)用析整顯微法+圖象法比較大?。?/p>

因?yàn)閘og34=1+log343，log45=1+log454，所以只要比較log343與log454的大小，利用對(duì)數(shù)函數(shù)y=log3x與y=log4x的圖象位置關(guān)系（如圖1），可得log343>log454.

評(píng)析直接利用函數(shù)圖象無(wú)法比較log34，log45的大小，但是通過(guò)析整顯微法顯示出非負(fù)小數(shù)

log343和log454，卻可以利用對(duì)數(shù)函數(shù)圖象比較大小.

解法5（運(yùn)用析整顯微法+放縮法比較大?。?/p>

因?yàn)閘og34=1+log343，log45=1+log454，

又因?yàn)閘og343>log443>log454，

所以log34>log45.

評(píng)析通過(guò)析整顯微法將比較log34和log45的大小問(wèn)題，轉(zhuǎn)換為比較log343與log454的大小，接著利用放縮法比較大小.

解法6（運(yùn)用減數(shù)法+分析法比較大?。?/p>

要比較log34與log45的大小，只要比較log34-1與log45-1的大小，只要比較ln4ln3-1與ln5ln4-1的大小，只要比較ln4-ln3ln3與ln5-ln4ln4的大小，只要比較ln43ln3與ln54ln4的大小.

因?yàn)?3>54，

所以ln43>ln54.

又因?yàn)閘n3ln54ln4.

所以log34>log45.

評(píng)析通過(guò)減數(shù)法將比較log34與log45的大小問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為比較log34-1與log45-1的大小，再通過(guò)分析法發(fā)現(xiàn)，只要比較ln43ln3與ln54ln4的大小即可.

解法7（構(gòu)造函數(shù)比較大?。?/p>

設(shè)函數(shù) f（x）=logx（x+1）（x>1） ，即

f（x）=ln（x+1）lnx（x>1）.

所以f ′（x）=xlnx-（x+1）ln（x+1）x（x+1）（lnx）2.

而函數(shù) g（x）=xlnx 在 （1，+） 上單調(diào)遞增，

所以g（x）-g（x+1）<0， 即f ′（x）<0.

所以f（x） 在 （1，+） 上單調(diào)遞減.

所以f（3）>f（4）.

即 log34>log45.

評(píng)析通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小，也是我們常用的一種策略，解題教學(xué)中要給予充分的關(guān)注.

3 解題反思

本題中兩個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)具有規(guī)律性，我們可以將它推廣到一般性結(jié)論.

性質(zhì)1當(dāng)a>1 時(shí)，loga（a+1）>log（a+1）（a+2）.

證明由解法7已知結(jié)論成立可知命題成立.

性質(zhì)2當(dāng)11 時(shí)， logab>logambm，

證明因?yàn)閘ogab-logambm=logab-1-logambm-1=logaba-logamba

=1logbaa-1logbaam，

因?yàn)?

所以1logbaa>1logbaam.

所以logab>logambm .

性質(zhì)3設(shè)b>a>1，n>0，m≥1， 則有

logam+n（bm+n）

證明因?yàn)閎a=bmam>bm+nam+n>1，

所以lnba>lnbm+nam+n>0.

則lnb-lna>ln（bm+n）-ln（am+n）.

又因?yàn)?

所以lnb-lnalna>ln（bm+n）-ln（am+n）ln（am+n）.

即lnblna-1>ln（bm+n）ln（am+n）-1.

即lnblna>ln（bm+n）ln（am+n）.

因此logam+n（bm+n）

性質(zhì)4若10，則

logab>log（a+n）（b+n）

證明性質(zhì)3中當(dāng)m=1時(shí)，可得性質(zhì)4.

利用性質(zhì)1、性質(zhì)3、性質(zhì)4我們可以輕松獲得log23>log34>log45，對(duì)于底數(shù)、真數(shù)呈現(xiàn)以上規(guī)律的對(duì)數(shù)我們可以快速比較大小，那么對(duì)于任意的底數(shù)不同、真數(shù)也不同的對(duì)數(shù)比較大小問(wèn)題，我們能否獲得一般性的結(jié)論呢.通過(guò)引例的證明方法，我們可以得到以下幾條性質(zhì).

性質(zhì)5①若11，xa≥yb，則logax>logby;

②若1

證明logax-logby=logax-1-logby-1

=logaxa-logbyb

=logbxalogba-logbyb

>logbxa-logbyb≥0，

所以①成立.

性質(zhì)6①設(shè) 11，xaN≥ybN，則logax>logby;

②設(shè) 1

證明logax-logby=logax-N-logby-N

=logaxaN-logbybN

=logbxaNlogba-logbybN

>logbxaN-logbybN≥0，

所以①成立.

性質(zhì)7若b>a>1，x，y>0則

（1）logax

logby

（2）logax>logbylogax>logbayxlogby>logbayx.

證明令m=logax，n=logby，則am=x，bn=y.可得bn=yxam，故有 bn-m=yxabm.

logax0bn-m>1

yxabm>1bam

logax

所以logax

同理可得logax

4 高考真題鏈接

例2（2013 年全國(guó)Ⅱ卷第8題） 設(shè)a=log36，b=log510，c=log714， 則（）.

A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

解析根據(jù)性質(zhì)5，因?yàn)?<3<5，63>1，63≥105，所以log36>log510；又因?yàn)?<5<7，105>1，105≥127，所以log510>log712，所以a>b>c.

例3（2020年全國(guó)Ⅲ卷理科第12 題）已知55 <84，134<83. 設(shè) a=log53，b=log85，c=log138， 比較a，b，c的大小.

解法1a-b=ln3ln5-ln5ln8=ln3·ln8-（ln5）2ln5·ln8， 因?yàn)?ln3·ln8

由已知可得

5ln5<4ln8，4ln13<5ln8，

b-c=ln5ln8-ln8ln13，

因?yàn)閘n5ln8<45， ln8ln13>45， 所以 b

所以 a

解法2根據(jù)性質(zhì)5，若1<5<8，35<1，35≤58，則log53

根據(jù)性質(zhì)6可知，比較log85，log138的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較log85，log13885的大?。ɑ蛘弑容^log138，log13885的大?。?，根據(jù)性質(zhì)5，58<85138=6465<1，所以log85

所以log85

所以a

比較大小問(wèn)題是經(jīng)典的題型，教材中蘊(yùn)含有多種解題方法，如作差法、構(gòu)造法、單調(diào)性法、基本不等式法、不等式性質(zhì)法、分析法、中間量法、圖象法等，充分挖掘教材中的解題方法，通過(guò)一題多解教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力，同時(shí)也讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到不同知識(shí)之間的緊密聯(lián)系.通過(guò)對(duì)習(xí)題的拓展，學(xué)生依據(jù)從特殊到一般的推理，從特殊的命題log34>log45出發(fā)，得到一般性的命題：若b>a>1，n>0，m≥1， 則有l(wèi)ogam+n（bm+n）

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2020年修訂版）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.