沿繩方向加速度問題的深入思考

摘要：本文由一道聯(lián)考題的爭議引出沿繩方向加速度問題，再通過數(shù)學(xué)方法分析得出沿繩方向加速度的關(guān)系，最后結(jié)合高中物理教學(xué)實際，舉例并歸納出沿繩方向加速度的關(guān)系.對培養(yǎng)師生物理學(xué)科核心素養(yǎng)中的“科學(xué)探究”有一定的指導(dǎo)意義.

關(guān)鍵詞：繩連接模型；速度；加速度；是否相等

中圖分類號：G632文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2022）28-0116-03

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：鄧偉（1976.1-），男，特級教師，中學(xué)高級教師，從事高中物理教學(xué)研究.

高中階段與繩連接有關(guān)的速度、加速度問題極為常見.處理繩牽連模型中速度分解問題時，教師經(jīng)常用到的結(jié)論：沿繩方向的速度大小相等.但又引出另外一個值得我們深思的問題：沿繩方向的加速度大小是否相等？

1 一道聯(lián)考題的思考

在一次區(qū)域聯(lián)考中，筆者遇到一個很有爭議的題目，題目如下：

例1如圖1所示，將質(zhì)量為2m的重物懸掛在輕繩的一端，輕繩的另一端系一質(zhì)量為m的環(huán)，環(huán)套在豎直固定的光滑直桿上，光滑定滑輪與直桿的距離為d.現(xiàn)將環(huán)從與定滑輪等高的A處由靜止釋放，當(dāng)環(huán)沿直桿下滑距離也為d時（圖中B處），下列說法正確的是（重力加速度為g）（）.

A．環(huán)剛釋放時輕繩中的張力等于2mg

B．環(huán)到達B處時，重物上升的高度為（2-1）d

C．環(huán)在B處的速度與重物上升的速度大小之比為22

D．環(huán)減少的機械能大于重物增加的機械能圖1

原參考答案：B.

解析環(huán)剛開始釋放后，重物由靜止開始加速上升，故重物有向上的加速度，根據(jù)牛頓第二定律有F-2mg=2ma，得F>2mg，故A項錯誤；

有教師認為：環(huán)剛開始釋放時，環(huán)的加速度為g，通過沿繩方向加速度相等，得到重物在環(huán)釋放瞬間加速度為0，則繩的張力F=2mg，故A正確.那究竟哪種說法是正確的呢？

2 沿繩方向加速度關(guān)系與速度關(guān)系是否相同

假設(shè)沿繩方向加速度與速度的關(guān)系是一致的，以例1為例，設(shè)環(huán)到B點的加速度向下為aB，此時繩與桿的夾角為θ，若我們類比速度之間的關(guān)系，可以得到重物加速度a物=aBcosθ.再用特例進行反證：如果環(huán)下落到B點前，在外力作用下已保持勻速下落，在B點對環(huán)分析，有aB=0，從加速度關(guān)系可得，重物上升加速度a物=aB=0，說明重物也是勻速上升.但從速度關(guān)聯(lián)的角度，當(dāng)環(huán)勻速下落時，因為兩者速度滿足v物=vBcosθ，當(dāng)環(huán)下落過程中，角度θ越來越小，利用余弦函數(shù)得出重物上升速度是越來越大的，說明重物的加速度豎直向上不為0.兩個結(jié)論產(chǎn)生了矛盾，說明假設(shè)不成立：沿著繩方向加速度關(guān)系與沿繩方向速度關(guān)系不一定相同.

3 沿繩方向加速度關(guān)系的推導(dǎo)

同樣借助例1，用數(shù)學(xué)方法來推導(dǎo)：

假設(shè)環(huán)下落到B點，環(huán)的速度為v，將v沿繩和垂直繩方向分解，得到兩個分速度v1、v2，此時繩與豎直方向夾角為θ，如圖2所示.利用速度關(guān)聯(lián)，重物上升速度也是v1，滿足v=v1cosθ.由于環(huán)和重物都是做豎直方向上的直線運動，故加速度也必然是豎直方向，利用加速度定義式a=dvdt得，環(huán)的加速度a=dvdt=dv1cosθdt.環(huán)下落過程中，重物的上升速度v1和繩子與桿的夾角θ都在發(fā)生變化，所以v1和θ都可以看成是關(guān)于t的函數(shù).利用求導(dǎo)公式ftgt′=f? ′tgt-ftg′tg2t和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式

fg（t）′=f ′g（t）·g′（t）得：

a=dvdt=dv1cosθdt=cosθ·dv1dt-cosθ′·v1cos2θ=1cosθ·dv1dt+sinθcos2θ·dθdt·v1①

其中，重物上升加速度：a1=dv1dt②

角速度dθdt=-ω=-v2r③

（其中r為此時環(huán)到滑輪與繩的接觸點（后面簡稱接觸點）之間的繩長、v2是環(huán)沿著接觸點轉(zhuǎn)動的線速度，角度θ隨時間增加而減小，所以有負號），重物上升速度v1=v2tanθ④

將②③④式代入①式得：

a=1cosθ·a1-1cosθ·v22r⑤

將⑤式變形可得：acosθ=a1+（-v22r）⑥

⑥式的含義：a1是重物上升的加速度，也可以理解為左端繩子伸長的加速度，acosθ是環(huán)的加速度沿著繩方向的分量，v22r是環(huán)到該位置時，環(huán)繞著接觸點轉(zhuǎn)動的向心加速度.

綜上分析，我們可以得出結(jié)論：環(huán)的加速度沿繩的分量等于重物上升加速度（左端繩子伸長的加速度）與環(huán)繞點轉(zhuǎn)動的向心加速度矢量和.

4 高中范圍內(nèi)，哪些情況物體沿繩方向加速度相等

4.1 繩兩側(cè)的物體速度方向與連接的繩平行，都做直線運動，不存在繞點轉(zhuǎn)動.

例2如圖3所示，A、B兩小球由繞過輕質(zhì)定滑輪的輕繩相連，A放在固定的光滑斜面上，B、C兩小球在豎直方向上通過勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連，C球放在水平地面上.現(xiàn)用手控制住A，并使輕繩剛剛拉直但無拉力作用，并保證滑輪左側(cè)輕繩豎直、右側(cè)輕繩與斜面平行.已知A的質(zhì)量為4m，B、C的質(zhì)量均為m，重力加速度為g，輕繩與滑輪之間的摩擦不計.開始時整個系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)；釋放A后，A沿斜面下滑至速度最大時，C恰好離開地面.求：斜面的傾角α；圖3

解析：由題意可知，當(dāng)A沿斜面下滑至速度最大時，C恰好離開地面，C的加速度為0；AB加速度時刻相等，此時為零.將ABC作為一個整體：

由牛頓第二定律得4mgsinα-2mg=0，

則sinα=12，α=30°.

4.2 物體做圓周運動存在繞點轉(zhuǎn)動的情況，但速度為0

物體即使存在繞點轉(zhuǎn)動的情況，如果速度為0，向心加速度也為0，所以沿繩方向的加速度仍然相同，這些情況一般出現(xiàn)在開始運動時或運動結(jié)束時.

例3（2018江蘇卷）如圖4所示，釘子A、B相距5l，處于同一高度．細線的一端系有質(zhì)量為M的小物塊，另一端繞過A固定于B．質(zhì)量為m的小球固定在細線上C點，B、C間的線長為3l．用手豎直向下拉住小球，使小球和物塊都靜止，此時BC與水平方向的夾角為53°.松手后，小球運動到與A、B相同高度時的速度恰好為零，然后向下運動．忽略一切摩擦，重力加速度為g，取sin53°=0.8，cos53°=0.6.求：圖4（3）小球向下運動到最低點時，物塊M所受的拉力大小T.

答案：（3）T=8mMg5（m+M）（T=4855mg或T=811Mg）

解答第（3）時，要注意運動過程分析，弄清小球加速度和物塊加速度之間的關(guān)系，因小球下落過程做的是圓周運動，當(dāng)小球運動到最低點時速度剛好為零，所以小球沿AC方向的加速度（切向加速度）與物塊豎直向下加速度大小相等.第（3）問解答過程如下：根據(jù)機械能守恒定律，小球回到起始點，速度為0.M、m沿繩子方向加速度相等，設(shè)此時AC方向的加速度大小為a，重物受到的拉力為T，對M用牛頓運動定律Mg-T=Ma.對m用牛頓運動定律T-mgcos53°=ma.聯(lián)立兩式解得T=8mMg5（m+M）（T=4855mg或T=811Mg）

對例1分析，也屬于第二類情況，由于初速度為0，所以沿繩方向加速度相同，由于初始位置的繩子與環(huán)的加速度方向垂直，故重物上升加速度為0，此時繩子的拉力等于物體受到的重力，故A選項為正確答案.

5 綜述

通過對沿繩方向加速度問題的深入思考，可以得如下結(jié)論：連接體沿繩方向加速度的關(guān)系與速度間的關(guān)系不一定相同.我們既要考慮平動的加速度，也要考慮轉(zhuǎn)動時的向心加速度.在高中物理繩牽連模型中，下列兩種情況的加速度與速度關(guān)系是相同的：第一，繩兩側(cè)的物體速度方向與連接的繩子平行，都做直線運動，不存在繞點轉(zhuǎn)動的情況；第二，物體做圓周運動存在繞點轉(zhuǎn)動時，但速度為0的情況.

參考文獻：

［1］張赟.這里的加速度不滿足矢量運算嗎？ ——談繩牽連物體運動模型中物體和小車的速度和加速度［J］.物理教師，2010，31（2）：29-30.

［2］ 徐海鵬.分解法解決繩牽連模型中加速度問題的嘗試［J］.物理通報，2012（3）：57-58.

［3］ 孫翔.三種方法破解繩牽連模型中的加速度問題［J］.物理通報，2015（6）：67-70.