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    分類討論思想在高考解題中的應(yīng)用研究

    2022-05-30 23:30:12邵雪潔白偉
    數(shù)理化解題研究·高中版 2022年10期
    關(guān)鍵詞:分類討論高考題應(yīng)用

    邵雪潔 白偉

    摘要:本文以2018-2022年數(shù)學(xué)(理)全國Ⅰ卷為例,統(tǒng)計了歷年分類討論思想求解的試題題型與分?jǐn)?shù)占比,并逐一舉例說明.讓教師與學(xué)生充分認(rèn)識分類討論思想的重要性與深刻性,為高中的教學(xué)和學(xué)習(xí)提供可信參考與啟發(fā).

    關(guān)鍵詞:分類討論;思想;高考題;應(yīng)用

    中圖分類號:G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1008-0333(2022)28-0107-03

    收稿日期:2022-07-05

    作者簡介:邵雪潔(1993-),女,河南省信陽人,碩士,從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

    白偉(1983-),男,寧夏中寧人,碩士,教授,從事計算機技術(shù)與計算數(shù)學(xué)研究.

    基金項目:寧夏高等學(xué)校一流學(xué)科建設(shè)(教育學(xué)學(xué)科)資助項目(項目編號:NXYLXK2017B11).

    1 前言

    數(shù)學(xué)是一門高度抽象的學(xué)科,因此產(chǎn)生了數(shù)學(xué)獨特的思想與方法.在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,思想與方法尤為重要.2022年高考,數(shù)學(xué)試卷的難度再次成為社會熱點,很多學(xué)生抱怨高考題太難.這背后暴露的問題是沒有正確掌握高中數(shù)學(xué)思想與方法,知識學(xué)習(xí)與掌握流于表面,導(dǎo)致基礎(chǔ)不扎實,所以,教師在教學(xué)中要注重對學(xué)生思想方法的滲透,學(xué)生在學(xué)習(xí)中也要關(guān)注知識背后的數(shù)學(xué)思想方法.分類討論是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的一種基本且重要的思想方法,可以有效將問題進(jìn)行簡單化處理,大大降低解題的難度.近幾年高考中,分類討論思想涉及題目所占分?jǐn)?shù)比例居高不下.因此,本研究從高考題出發(fā),研究分類討論思想在數(shù)學(xué)解題中的重要作用,希望能為教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)提供一些啟發(fā).

    2 相關(guān)理論

    《數(shù)學(xué)辭?!返诹碇赋觯悍诸愑懻摲椒ㄊ且环N常用的研究方法,當(dāng)被研究的問題包含多種可能的情況,而人們不能對它一概而論的時候,就需要按照問題出現(xiàn)的所有可能情況進(jìn)行討論,綜合每種情況下相應(yīng)的結(jié)論,從而使問題得以解決的方法.

    分類討論思想的關(guān)鍵在于分類,分類是將研究對象的全體按照一定的邏輯分成不同的小集合.分類需要遵循同一性原則和合理性原則,保證分類結(jié)果的準(zhǔn)確性.同一性原則,即同一問題的分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一,不能交叉使用不同標(biāo)準(zhǔn),這樣才能避免分類結(jié)果的重疊或超出討論對象的整體范圍.從集合的角度來看,被分類的大集合可以由小集合合并組成,且小集合的交集是空集.合理性原則要求分類要有依據(jù),根據(jù)研究對象和問題進(jìn)行分類,而且要有利于問題的解決.當(dāng)進(jìn)行分類討論時,一般可以遵循以下步驟:確定討論對象的全體、對問題進(jìn)行合理分類、對不同子類分別進(jìn)行討論、將所有子類的結(jié)果進(jìn)行總結(jié)歸納.

    3 分類討論思想在高考解題中的應(yīng)用統(tǒng)計

    為了得到高考對于分類討論思想考查的一般規(guī)律,筆者選取了2018年到2022年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷(理科)的5套試題為例,對題目類型、分?jǐn)?shù)占比和考查知識點三個方面進(jìn)行分析,分析結(jié)論見表1.

    3.1 題目類型

    從表1的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知,高考對于分類討論思想考查的題目類型涵蓋了所有高考試題類型.填空和選擇大概率會涉及兩道題目,分值約10分.解答題中的考查基本設(shè)置在最后兩道綜合性較強的題目中和兩道選考題中,每套題目都有涉及,分值在25分左右.由此不難發(fā)現(xiàn),對于分類討論思想的考查較為集中地分布在綜合性較強的難題之中.

    3.2 分?jǐn)?shù)占比分析

    從表1的統(tǒng)計數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn),2018-2022年高考題中關(guān)于分類討論思想考查的分?jǐn)?shù)占比均在20%-30%之間,每年分?jǐn)?shù)占比相對穩(wěn)定.從占比數(shù)值上來看,分類討論思想的應(yīng)用在高考考查中占有較大的比重,且居高不下,所以分類討論思想的教學(xué)和學(xué)習(xí)應(yīng)該受到教師和學(xué)生的特別重視.

    3.3 考查內(nèi)容分析

    縱觀5套高考題,關(guān)于分類討論思想的考查涉及內(nèi)容很廣,幾乎涵蓋了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全部內(nèi)容,主要包括概率問題、代數(shù)問題、函數(shù)問題、絕對值問題、幾何問題、數(shù)列問題等.分類討論思想運用范圍的廣泛性也決定了它在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要地位.

    4 具體案例分析

    4.1 函數(shù)問題

    函數(shù)問題是高考考查的難點問題,分類討論思想與函數(shù)問題的結(jié)合也是屢見不鮮,而且常常是壓軸題目.函數(shù)單調(diào)性的討論、含參數(shù)問題、不等式恒成立問題、交點問題等都是常見的考查形式.在函數(shù)問題中如何進(jìn)行分類討論,以2021年高考全國Ⅰ卷(理)第20題為例.

    例1設(shè)函數(shù)f(x)=ln(a-x),已知x=0是函數(shù)y=xf(x)的極值點.

    (1)求a;

    (2)設(shè)函數(shù)g(x)=x+f(x)xf(x),證明:g(x)<1.

    分析(1)第(1)問需要求出含參數(shù)a的函數(shù)y=xf(x)=xln(a-x)的導(dǎo)函數(shù),將x=0代入導(dǎo)函數(shù)中,可由極值點得到對應(yīng)導(dǎo)函數(shù)值為零,可求出a=1.注意接下來還要驗證當(dāng)a=1時,x=0是函數(shù)y的極值點.

    (2)由題意可得xf(x)≠0,所以自變量范圍是x<1且x≠0,將自變量分為0xf(x),為了方便求導(dǎo)函數(shù),令1-x=t,可構(gòu)造新的函數(shù)求極值,同樣需要討論新函數(shù)單調(diào)性,可以得出新函數(shù)滿足q(t)>q(1)=0,即可證明g(x)<1.

    4.2 去絕對值問題

    絕對值問題經(jīng)常在高考選考題的不等式選講部分進(jìn)行考查,考查的方式多是用絕對值定義函數(shù)問題.絕對值由于其自身的定義,在進(jìn)行去絕對值時要進(jìn)行分類討論.如果學(xué)生能夠進(jìn)行正確的分類并將絕對值去掉,那么由絕對值定義的函數(shù)將會轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),然后根據(jù)函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行作答即可.下面以2020年高考全國Ⅰ卷(理)第23題為例進(jìn)行分析.

    例2已知函數(shù)f(x)=3x+1-2x-1.

    (1)畫出y=f(x)的圖象;

    (2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集;

    分析(1)要畫出函數(shù)f(x)的圖象,需要判斷絕對值內(nèi)的正負(fù),將絕對值去掉.可將自變量的取值分成三類進(jìn)行討論,即(-,-13],(-13,1]和

    (1,+).函數(shù)表達(dá)式就可以變成無絕對值的分段函數(shù),然后根據(jù)分段函數(shù)解析式,畫出函數(shù)f(x)圖象即可.

    (2)將不等式進(jìn)行移項后,用函數(shù)h(x)表示出f(x)-f(x+1),即h(x)=3x+1-3x+4+2x-2x-1,然后仿照第(1)問進(jìn)行分類討論去絕對值后,在每一類情況下令hx>0求出解集,最后將所有結(jié)果進(jìn)行歸納綜合,即可得出f(x)>f(x+1)解集.

    4.3 解析幾何問題

    幾何問題也是高中階段的重難點問題,是高考中的重要考查內(nèi)容,常常以解答題的形式出現(xiàn).直線斜率的存在問題、參數(shù)問題、圖形的位置關(guān)系等都是比較復(fù)雜的問題.這類問題通常需要應(yīng)用分類討論思想將復(fù)雜的問題簡單化.下面以2022年高考全國Ⅰ卷(理)第20題進(jìn)行舉例分析.

    例3已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點,對稱軸為x軸、y軸,且過A(0,-2),B(32,-1)兩點.

    (1)求E的方程;

    (2)設(shè)過點P(1,-2)的直線交E于M,N兩點,過點M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T,點H滿足MT=TH.證明:直線HN過定點;

    分析(1)第(1)問只需設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1,然后將A,B兩點坐標(biāo)代入橢圓方程中,求出a2和b2的值即可.

    (2)第(2)問的問題比較復(fù)雜,但是涉及直線方程,首先要對直線斜率是否存在進(jìn)行討論.先討論直線l斜率不存的情況,則過點P的直線方程是x=1,聯(lián)立橢圓方程,可以得到點M,N的坐標(biāo),易求直線AB方程為y=23x-2,可求出點T坐標(biāo),根據(jù)MT=TH求出點H坐標(biāo),那么就可以求出直線HN的方程:y=(2+263)x-2,過點(0,-2).

    第二步討論直線斜率存的情況,可以設(shè)直線方程

    為y+2=k(x-1),聯(lián)立橢圓方程求交點M(x1,y1)和N(x2,y2),可得x1+x2=6k(2+k)3k2+4,x1x2=3k(4+k)3k2+4,且T(3y12+3,y1),H(3y1+6-x1,y1),從而可求得直線HN的直線解析式,將(0,-2)代入驗證成立,最終得出結(jié)論:直線HN過定點(0,-2).

    4.4 概率問題

    概率問題在高考中屬于必考題,很多題目的求解需要學(xué)生對問題進(jìn)行分類,例如在排列組合、比賽問題、涂色問題中,都需要學(xué)生能夠把握特殊元素或者特殊位置進(jìn)行分類討論.一般來說難度不大,偶爾也會有相對復(fù)雜的問題,但是無論何種難度的概率問題,學(xué)生能夠把握問題的本質(zhì)進(jìn)行分類是正確解決問題的前提和關(guān)鍵.下面以2018年高考全國Ⅰ卷(理)第15題為例進(jìn)行闡述.

    例4從2位女生,4位男生中選3個人參加科技比賽,且至少有1位女生入選,則不同的選法共有種.

    分析本題考查實際情境中組合問題的概率求解,設(shè)置生活中的問題情景,考查學(xué)生的實際問題求解能力.學(xué)生只需將題目中的問題分成兩類進(jìn)行討論,即一位女生參加和兩位女生參加,然后分別求出概率,將兩種情況的概率相加即可.

    5 總結(jié)

    本文通過對高考題的研究,發(fā)現(xiàn)高考特別重視對學(xué)生分類討論思想的考查.這其實不難理解,高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點是內(nèi)容多、難度大,而分類討論思想能夠簡化研究對象,幫助發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力,所以有關(guān)分類討論思想的命題在高考中長期占有著重要地位.因此,分類討論思想方法的掌握無疑是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成功的關(guān)鍵.教師在平時的教學(xué)中要以知識為載體,注重分類討論思想方法的培養(yǎng),從而提高學(xué)生問題解決的能力.

    參考文獻(xiàn):

    [1]《數(shù)學(xué)辭?!肪庉嬑瘑T會.數(shù)學(xué)辭海(第六卷)[M].上海:上海教育出版社,1998.

    [2] 葉立軍.數(shù)學(xué)方法論[M].杭州:浙江大學(xué)出版社,2008.

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