顏壽春
[摘 ?要] “發(fā)展思維”是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的根本要求。六年級上冊第五單元“圓”內(nèi)涵豐富,承載著深厚的文化元素。通過這個單元的學(xué)習(xí),能有效促進學(xué)生“直觀想象、邏輯推理、抽象、建模、運算”等思維能力的培養(yǎng)。然而從后測可知,學(xué)生對這一單元的掌握普遍不理想,究其原因是“思想方法”和“求聯(lián)思維”沒有很好地落實。文章試從“整體設(shè)計,分散難點”“品味文化,感悟思想”“共性規(guī)整,模型求聯(lián)”“梳理融匯,提升能力”四個方面,探尋學(xué)生思維能力的培養(yǎng),進而促進學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。
[關(guān)鍵詞] 單元整體;數(shù)學(xué)文化;思想方法;思維發(fā)展
六年級上冊第五單元“圓”內(nèi)涵豐富,承載著深厚的文化元素,通過這個單元的學(xué)習(xí),不僅能加深學(xué)生對周圍事物的理解,激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,也為后續(xù)研究圓柱、圓錐相關(guān)知識奠定了基礎(chǔ)。探究圓的知識,還要用到“轉(zhuǎn)化、極限”等思想方法,能有效促進學(xué)生“直觀想象、邏輯推理、抽象、建模、運算”等能力的發(fā)展[1]。
一、整體設(shè)計、分散難點
由于“圓”是小學(xué)數(shù)學(xué)平面圖形中唯一一個曲線圖形,從直線圖形到曲線圖形,學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)進入了一個新的領(lǐng)域,研究問題的方式需要進行遷移與創(chuàng)新,再加上本單元概念多、公式雜、題目靈活多變,教師需從學(xué)生認知特點和規(guī)律出發(fā),“整體設(shè)計單元教學(xué),穩(wěn)扎穩(wěn)打有序推進”,以下便是本單元調(diào)整補充后的整體設(shè)計(表1)。
二、品味文化,感悟思想
在“數(shù)學(xué)文化”的大背景中進行數(shù)學(xué)教學(xué),能讓學(xué)生在追根溯源中明白知識的來龍去脈[2]。
本單元有三處承載了數(shù)學(xué)文化,一是《墨經(jīng)》中記載的“圓,一中同長也”,二是《周髀算經(jīng)》中的“圓出于方”和“周三徑一”,三是劉徽的割圓術(shù)。從文化的高度研究數(shù)學(xué)課堂,對這些數(shù)學(xué)史料進行再加工、再創(chuàng)造,還原知識形成的過程,把知識的科學(xué)性和文化性有機融合,可以讓數(shù)學(xué)與學(xué)生更加緊密聯(lián)結(jié)。
1. 對比操作,理解“一中同長”
在認識圓的特征時,按照概念形成的4個階段:“認識階段、分析階段、構(gòu)建階段、應(yīng)用階段”設(shè)計教學(xué)過程,能讓學(xué)生充分理解概念的本質(zhì)[2]。認識階段:從六千年前人類制造的史上第一個圓形輪子,引出“為何輪子都是圓的”?學(xué)生交流之后驗證,嘗試用直尺、線繩、圓規(guī)3種不同的方式畫圓,找到共同點。教師順勢引出2000多年前墨子的“圓,一中同長也”。分析階段:“一中”指一個中心,“同長”指圓上每一個點到中心的距離相等。構(gòu)建階段:結(jié)合圓的各部分名稱和特點,讓學(xué)生體會“一中同長”,再與正三角形、正方形、正五邊形等正多邊形比較,進一步理解“一中同長”,得出“邊的數(shù)量越多,中心點到頂點和邊的距離越來越接近,但始終不相等,直至變成一個圓,才有與中心點等距”的特征。應(yīng)用階段: 學(xué)生運用圓的特征解釋本課開始時提出的“輪子為什么是圓形的”,再討論“窖井蓋為什么是圓的”。
2. 猜想驗證,推理“周三徑一”
在教學(xué)圓的周長時,教師讓學(xué)生自由猜想怎樣得到圓周長,圓周長怎樣計算,然后出示正方形里一個最大的圓,圓內(nèi)再畫一個正六邊形,讓學(xué)生直觀感受到“C正六邊形 3. 引導(dǎo)遷移,探究“化曲為直” 圓的面積公式推導(dǎo)中,“化曲為直”的思想是核心。首先,學(xué)生借助經(jīng)驗,發(fā)現(xiàn)“數(shù)方格”這一方法的不足,進而提出“怎樣將圓轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形”。在對平行四邊形等平面圖形推導(dǎo)過程的回憶后,學(xué)生領(lǐng)悟到用“新知轉(zhuǎn)化成舊知”的方法去遷移學(xué)習(xí)新知。圓和哪個熟悉圖形可以建立聯(lián)系?將目標聚焦到正方形上,接著引導(dǎo)學(xué)生猜想面積的倍數(shù)關(guān)系。第三環(huán)節(jié)是驗證猜想,通過小組合作,在剪一剪、拼一拼的動手操作中,把圓不斷地平均分,轉(zhuǎn)化成長方形來思考,學(xué)生親歷“轉(zhuǎn)化”的過程,進一步內(nèi)化了“化曲為直”的思想方法。 4. 精準演繹,支撐“極限思想” 圓的面積推導(dǎo)過程中,學(xué)生對于“平均分的份數(shù)(偶數(shù)份)越多,拼成的圖形越接近長方形”這樣的表述理解有困難,此時,教師要借圖形軟件助力精準演繹,為學(xué)生提供強有力的視覺支持,讓學(xué)生清楚地看到:把圓動態(tài)平均分成4份、8份、16份、32份……拼成的圖形就越接近平行四邊形。并將這個過程用數(shù)學(xué)語言進行精準表達,如:因為長方形的長是圓周長的一半,即πr,長方形的寬是圓的半徑,即r,長方形的面積等于長×寬=πr×r,所以,圓的面積=πr×r=πr2。這時教師要適時板書,幫助學(xué)生更清楚地理解轉(zhuǎn)化過程。 三、共性歸整,模型求聯(lián) 數(shù)學(xué)上的求聯(lián),是對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的諸多元素,通過主動建構(gòu)聯(lián)系,由已知熟悉的概念聯(lián)想到相關(guān)的概念,并根據(jù)一定的維度關(guān)系進行組合與排列,構(gòu)成一個穩(wěn)定的模塊儲存于學(xué)習(xí)者的認知庫里。本單元基于求聯(lián)的學(xué)習(xí)方式,能有效減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負擔(dān),促使“四基”整體提升。 1. 去偽存真,情境求聯(lián) 教師要設(shè)計題組讓學(xué)生在解決實際問題的分析、比較中更進一步加深對知識的理解。例如:“在一個半徑為5米的圓形花圃,圍一條寬為3米的環(huán)形石子路。這條環(huán)形路的面積是多少平方米?”“一個半圓形水池半徑是8米,直徑增加2米,水池面積增加了多少平方米?”“分針走一圈與時針走一圈,針尖掃過的面積相差多少平方厘米?”[3]把這3個實際的場景抽象之后,其實就是同一個數(shù)學(xué)模型——環(huán)形,只需要運用求環(huán)形面積的知識來解決這個問題就可以了。教師還可以布置課后作業(yè),讓學(xué)生自己設(shè)計同一模型下的不同情境題目,提高對題目結(jié)構(gòu)化的把握和分析歸納能力。 2. 等價轉(zhuǎn)換,相似求聯(lián) 相似求聯(lián),是指當(dāng)遇到一個不熟悉的問題時,會通過聯(lián)想將它變成一個自己熟悉的的問題,繼而使問題得到解決。這對學(xué)生來說是有一定難度的,因為相似求聯(lián)并沒有固定的策略與方法,它需要通過對具體問題的具體分析、深入剖析,精準提取已有知識體系中的相對應(yīng)概念,才能實現(xiàn)由陌生到熟悉的相似轉(zhuǎn)換。教師要設(shè)計相似題組對比練習(xí),讓學(xué)習(xí)者看到此類圖形會自然進行聯(lián)想。 如圖1、圖2,外面圓的周長與里面小圓的周長之和相比較,哪一個長? 如圖3,從點A到點B,沿著大圓走和沿著中、小圓走的路程相同嗎? 如圖4,比較大圓周長、小圓周長之和、長方形周長的大小。 以上3例其實是等價題組,都是外圓周長等于直徑上所有相切圓周長之和。再如下圖(圖5)所示,在相同的正方形內(nèi)畫圓,每個正方形內(nèi)的圓形面積總和都是相等的。教師精心設(shè)計題組對比練習(xí),引導(dǎo)學(xué)生通過猜測、驗證,得出相等結(jié)論,有利于培養(yǎng)等價聯(lián)想能力。 3. 旋轉(zhuǎn)平移,構(gòu)圖求聯(lián) 構(gòu)圖求聯(lián),意指在分解組合圖形時,看清由哪幾個基本圖形組合起來的,或是從哪一個基本圖形里去掉哪一個或幾個基本圖形得到的,或借助旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)、平移、分割、拼補、添輔助線等方法化難為易,從而找出解答的方法。 如圖6:已知圖中陰影部分面積,求圓環(huán)面積。 如圖7,大圓半徑為小圓的直徑,已知圖中陰影部分面積為S1,空白部分面積為S2,那么這兩個部分的面積之比是多少? 如圖8,3個圓的半徑都是10cm,3個圓兩兩相交于圓心,求陰影部分的面積和。 4. 對比想象,動態(tài)求聯(lián) 動態(tài)求聯(lián),意指讓靜態(tài)的圖形通過想象、畫圖等方式聯(lián)系起來,形成習(xí)題模塊,尋求解法上的共通點,形成同一解決策略,感受習(xí)題模塊“萬變不離其宗”的內(nèi)在魅力,同時在變化中,發(fā)展空間觀念,感受數(shù)學(xué)之美[4]。如以下3例通過化靜為動的想象和對比,就能發(fā)現(xiàn)屬于同一模塊的知識,都是以系繩處為定點圓心,小動物活動的范圍就是以定點到小動物之間的距離為半徑的數(shù)個面積之和,同時注意有序思考,不遺漏不重復(fù)。 例1 ?草場上有一個長20米,寬10米的關(guān)閉著的牛圈,圈的一角用長30米的繩子拴著一只牛,這只牛的活動范圍有多大? 例2 ?一只小狗被拴在一個邊長為3米的等邊三角形建筑物的墻角上,繩子長是4米,求小狗所能到的地方的總面積。 例3 ?一個邊長為4米的正五邊形的建筑物的一個頂點處拴著一只小狗,四周都是空地。繩長剛好夠小狗走到建筑物外墻邊的任一位置。小狗的活動范圍是多少平方米? 四、梳理融匯,提升能力 在對圓形特征、圓周長與面積的探究中,學(xué)生頭腦中已初步形成了新的認知結(jié)構(gòu)網(wǎng),這個認知網(wǎng)絡(luò)初具雛形,但它還不夠合理、準確、牢固,如果要讓學(xué)生在面臨各種情況時,準確地從認知網(wǎng)中提取出想要的信息和策略并順利解決這些問題,還需要教師的引導(dǎo)與幫助,形成提綱挈領(lǐng)的思維鏈,讓學(xué)生領(lǐng)悟到解決某一類問題的基本方法和基本策略, 從而真正意義上實現(xiàn)減負提質(zhì),高效學(xué)習(xí)。 1. 順逆互推,打造邏輯力 逆向思維的培養(yǎng)能激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣,這個單元的逆向思維的運用主要體現(xiàn)在對計算公式的逆向運用上。例如,已知圓的周長,求圓的面積,必先求出圓的半徑,就需要逆向使用計算公式C=2πr。再如,已知半圓的周長,求半圓的面積,對逆向思維能力的要求就更高了。此時,列方程解答,可以減小逆向思維的難度,順利解出這類逆向思維的題。對于逆向思維能力較強的人,可以直接由計算公式C=2πr,得到r=C÷2π或r=C÷(2×π),根據(jù)半圓周長=πr+2r,得到r=半圓周長÷(2+π)。 2. 深挖關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)習(xí)力 圓周長、面積的變化規(guī)律,就是因為半徑這一要素引發(fā)的,教師還要提醒學(xué)生注意,判斷面積的變化時,要關(guān)注半徑的平方。而圓形與其他圖形的關(guān)系,關(guān)鍵是要找半徑與其他圖形長、寬或高、底的聯(lián)系,通過轉(zhuǎn)化將兩個或三個圖形打通,計算出面積或周長,同時鼓勵學(xué)生嘗試將關(guān)系網(wǎng)進行梳理整合,形成思維導(dǎo)圖或大綱、表格(表2),最后全班交流,形成規(guī)范合理、科學(xué)有序的關(guān)系網(wǎng),逐漸培養(yǎng)學(xué)生的整理能力,提升自主學(xué)習(xí)能力。 3. 提綱挈領(lǐng),形成思維鏈 與上面提到的關(guān)系推理一樣,本單元公式眾多,若不加以及時整理,學(xué)習(xí)效率會大打折扣。 此時,教師可以布置任務(wù):本單元用到了哪些公式?你能將這些公式分類整理成表格嗎?(表3)值得注意的是,當(dāng)下思維導(dǎo)圖非常盛行,但是對于數(shù)學(xué)學(xué)科的整理,表格有其先天的優(yōu)勢,它便于橫向比較、縱向遞進,有利于進一步理解和掌握知識之間的內(nèi)在聯(lián)系與特征。 4. 找尋訣竅,提高運算力 有研究表明,近十幾年來,中小學(xué)生的計算能力較之以往的同齡學(xué)生大為下滑,原因主要是由于新課程對于計算技能要求降低了,由此帶來的問題就是在“圓”單元的計算中,尤其是計算面積時,學(xué)生耗時耗力且錯誤頻發(fā)。例如學(xué)生在完成關(guān)于圓環(huán)的作業(yè)時,時間花費是以往同量作業(yè)的至少兩倍,且計算無差錯的屈指可數(shù)。此時,教師是選擇較簡單的數(shù)據(jù)降低計算難度還是惡補計算以提高正確率?顯然都不是最佳選擇。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生分析問題、發(fā)現(xiàn)問題并解決問題,即記住常用π值結(jié)果:1π到9π、16π、25π、36π、64π、96π,以及常用平方數(shù)結(jié)果:11到19的平方數(shù),這樣就能減輕計算量,提升計算正確率。 借助“圓”單元的整體教學(xué)實踐,筆者深感數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)不應(yīng)拘泥于一課一題,應(yīng)以“發(fā)展思維”為目的,以培養(yǎng)“核心素養(yǎng)”為終極目標,盡力挖掘數(shù)學(xué)本身承載的“文化元素”“思想方法”,基于學(xué)生立場大視域、高角度地對教材、教學(xué)方式進行調(diào)整與變革,在每一節(jié)“求聯(lián)求通”的課堂教學(xué)中,讓學(xué)生實現(xiàn)知識體系的自主建構(gòu),在充滿人文關(guān)懷的探索中,提升自身的核心素養(yǎng)。 參考文獻: [1] ?中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2011年版)[M]. 北京:北京師范大學(xué)出版社,2012. [2] ?董毅. 數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)文化[M]. 合肥:安徽大學(xué)出版社,2012. [3] ?潘旭東. 思維發(fā)展:數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的基點[J]. 小學(xué)數(shù)學(xué)教育,2017(Z1):9-11. [4] ?陳建珍. 求聯(lián),讓練習(xí)設(shè)計從“形式”走向“實質(zhì)”——以“圓的面積”練習(xí)設(shè)計為例[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版(數(shù)學(xué)),2018(Z1):92-94.