聚合·回歸·發(fā)散：數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)的實(shí)踐路徑

蔡林斐

［摘 ?要］ 復(fù)習(xí)課要啟發(fā)學(xué)生的“聚合”“回歸”與“發(fā)散”思維進(jìn)行整體復(fù)習(xí)。關(guān)注知識間的關(guān)聯(lián)，準(zhǔn)確把握其生長點(diǎn)，注重思維的發(fā)散，達(dá)成概念的本質(zhì)回歸。向?qū)W生滲透事物間互相聯(lián)系、互相依存的辯證思想，適當(dāng)進(jìn)行拓展與延伸，讓知識的內(nèi)涵與外延得到充分的解讀與展示。培養(yǎng)學(xué)生有序思考、歸納整理的能力，推動學(xué)生在原有基礎(chǔ)上進(jìn)一步發(fā)展，在真實(shí)學(xué)習(xí)中進(jìn)一步成長。

［關(guān)鍵詞］ 單元復(fù)習(xí)；教學(xué)設(shè)計(jì)；策略探究

復(fù)習(xí)課，不能簡單粗暴地套用新授課的模式，如果這樣，勢必讓學(xué)生索然無味；如果瘋狂刷題，也只能事倍功半。多年的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)證明，復(fù)習(xí)課，除了注重知識的梳理，關(guān)注各知識點(diǎn)間的關(guān)聯(lián)，還要準(zhǔn)確把握其生長點(diǎn)，進(jìn)行綜合性的鞏固訓(xùn)練，適當(dāng)進(jìn)行拓展與延伸，讓知識的內(nèi)涵與外延得到充分的解讀與展示，達(dá)成知識的本質(zhì)回歸。

一、聚合，厘清知識關(guān)聯(lián)

“知識聚合”在這里包含兩個層面：第一是“知識點(diǎn)的聚合”，從內(nèi)容層面梳理一節(jié)課、一單元甚至一整冊的知識，厘清各知識點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)性和系統(tǒng)性；二是“數(shù)學(xué)方法聚合”，不僅僅是聚合某一個知識點(diǎn)的數(shù)學(xué)方法，更需要學(xué)會以數(shù)學(xué)思想方法為線索架構(gòu)知識體系。基于以上分析與思考，“面積”復(fù)習(xí)課的教學(xué)實(shí)踐可以借助思維導(dǎo)圖的形式進(jìn)行知識的聚合，來厘清知識間的關(guān)聯(lián)。

（一）回憶式摘錄，重現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)

就像電影里的閃回，用較短的時間將單元內(nèi)容在頭腦中回顧一遍，然后以摘記的形式呈現(xiàn)出來?；貞浀倪^程就是一次知識的整理過程，這時候講得再多、再生動、再細(xì)致也是徒勞的，教師必須舍得“浪費(fèi)”時間。像“面積”單元的復(fù)習(xí)，面積和面積單位，長方形和正方形面積的計(jì)算，面積單位間的進(jìn)率……一個個知識點(diǎn)都會在學(xué)生頭腦中一一重現(xiàn)。這種機(jī)械式呈現(xiàn)，看似將知識碎片化了，但一旦經(jīng)過大腦的作用，就會自動在一個個孤立的堡壘之間產(chǎn)生千絲萬縷的聯(lián)系。如講到長方形和正方形的面積計(jì)算，當(dāng)長方形的寬延長到與它的長一樣時，就變成了正方形，所以說正方形實(shí)際上就是特殊的長方形。這個時候，教師只要給予學(xué)生充分的鼓勵，給予學(xué)生更多的思考時間和表現(xiàn)機(jī)會，就能很好地建構(gòu)起數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)。

（二）表格式對比，厘清知識關(guān)聯(lián)

制表梳理不失為一種較好的復(fù)習(xí)方法。從周長和面積的意義、計(jì)算公式、單位名稱，到相鄰單位間的進(jìn)率，再到兩者的聯(lián)系，項(xiàng)項(xiàng)點(diǎn)點(diǎn)，清晰羅列，精準(zhǔn)比較，使學(xué)生對于長方形、正方形的周長與面積的異同點(diǎn)、關(guān)聯(lián)點(diǎn)一目了然（如表1）。通過自制表格對所要復(fù)習(xí)的內(nèi)容已有所了解，課堂上學(xué)生急于表達(dá)自己復(fù)習(xí)時的收獲和困惑。這個時候，教師可順?biāo)浦?，將時間交給學(xué)生，讓他們?nèi)フ故窘涣鳌?/p>

通過交流，學(xué)生明白，關(guān)于意義的區(qū)別在于，周長是講長度的，面積是講大小的。面積的單位名稱要在長度單位名稱前加上“平方”兩字。相鄰單位的進(jìn)率是10與100的區(qū)別，正方形就是特殊的長方形。當(dāng)然，交流的形式可以不拘一格?？梢韵仍谛〗M內(nèi)展開，因?yàn)閷W(xué)生在小組內(nèi)的交流是最無拘無束的，最能將其真實(shí)的想法展示出來。然后，以小組匯報(bào)的形式，集中展示典型思想，其他學(xué)生可以從中得到及時的提醒和啟發(fā)。學(xué)生在傾聽的同時，也作合理的補(bǔ)充，真正實(shí)現(xiàn)“學(xué)學(xué)相長、共同提高”，這其實(shí)就是課堂上的一道亮麗風(fēng)景。

（三）導(dǎo)圖式勾勒，形成合理認(rèn)知

繪制思維導(dǎo)圖的過程是使知識點(diǎn)形成知識網(wǎng)絡(luò)的過程。教師要在復(fù)習(xí)課前就布置學(xué)生結(jié)合內(nèi)容繪制思維導(dǎo)圖，讓他們自己先梳理知識結(jié)構(gòu)，雖然制作思維導(dǎo)圖不是件容易的事，是個循序漸進(jìn)的過程，特別對于三年級的小學(xué)生來說，思維導(dǎo)圖只是整理知識點(diǎn)的一種手段，他們繪制的思維導(dǎo)圖可能很幼稚、不完整，甚至有錯誤，但是在繪制思維導(dǎo)圖的過程中，他們經(jīng)歷了一場暴風(fēng)驟雨式的頭腦反思與洗禮。在“面積復(fù)習(xí)”這一課中，學(xué)生根據(jù)自己的整理，繪制出輻射圖、括號圖、樹狀圖、魚骨圖等形式的思維導(dǎo)圖（圖2），圖文并茂，條分縷析，真是可圈可點(diǎn)。從圖中可以看出，有學(xué)生繪制思維導(dǎo)圖的形式雖然不同，但都是殊途同歸。這個時候，教師要安排一次交流，讓其他學(xué)生指出思維導(dǎo)圖的優(yōu)缺點(diǎn)后，留出足夠的時間讓學(xué)生進(jìn)行自我反思，尋找課前自己繪制的思維導(dǎo)圖中的不足，做進(jìn)一步的調(diào)整與修改。這樣的復(fù)習(xí)課，有效進(jìn)行了學(xué)科融合，在建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)、形成知識體系的同時，鍛煉了學(xué)生的口語交際能力，培養(yǎng)了他們欣賞美和表達(dá)美的情感。開放的課堂，趣味性強(qiáng)，既生動又活潑，學(xué)生樂在其中，復(fù)習(xí)的有效性不言而喻。

二、回歸，夯實(shí)本質(zhì)概念

學(xué)生已經(jīng)基本弄清各知識點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，也已經(jīng)明白復(fù)習(xí)課不僅是一個單元的整體復(fù)習(xí)，還是一個知識點(diǎn)的系統(tǒng)復(fù)習(xí)，也是相關(guān)聯(lián)知識間的整合復(fù)習(xí)。學(xué)生經(jīng)歷了知識的聚合、思維的發(fā)散之后，更要關(guān)注知識點(diǎn)的鞏固，讓數(shù)學(xué)魅力得到充分發(fā)揮，以實(shí)現(xiàn)知識的本質(zhì)回歸。

（一）暴露缺陷，填補(bǔ)知識漏洞

課堂進(jìn)入練習(xí)環(huán)節(jié)，目的是想通過適當(dāng)?shù)木毩?xí)加強(qiáng)學(xué)生對知識的鞏固。設(shè)計(jì)練習(xí)題時，教師既要考慮知識的廣度和深度，也要考慮習(xí)題的梯度，讓所有學(xué)生都能夠暴露知識的缺陷，便于及時彌補(bǔ)知識漏洞。有這樣三道題目：

1. 比較大小

7平方米○75平方分米

20000平方厘米○20平方米

3平方千米○3公頃

800米○800平方厘米

2. 用一張長2分米、寬18厘米的白紙，剪邊長為3厘米的小正方形，最多能剪幾個？

①36個 ? ②40個

③12個 ? ④120個

3. A、B兩個花壇（圖3），花壇中間有條石子路，這兩個花壇的周長哪個長？

由于題目涉及的知識范圍較廣，思維含量較高，學(xué)生必須“用自己的頭腦去分析”。習(xí)題的設(shè)計(jì)相對而言比較優(yōu)秀，具有較高的層次性和啟發(fā)性。課堂上，教師首先要求學(xué)生獨(dú)立思考自主完成相應(yīng)的練習(xí)，接著在全班范圍內(nèi)訂正答案。學(xué)生自行訂正后，暴露出本單元的知識掌握缺陷之處，便于接下來的條分縷析，加強(qiáng)針對性的練習(xí)，來填補(bǔ)這一知識的漏洞。

（二）條分縷析，提升思維品質(zhì)

一節(jié)課最精彩的部分必定來源于學(xué)生。質(zhì)疑提問、生生互動，這一條路必須堅(jiān)持走下去，做到真正地把時間還給學(xué)生，把課堂還給學(xué)生。對于上文三道題目的訓(xùn)練所暴露出來的知識缺陷，筆者組織學(xué)生進(jìn)行深入的探討與分析，尋找錯誤原因并對癥下藥。第1題中學(xué)生暴露的主要問題是單位之間的換算是乘以進(jìn)率還是除以進(jìn)率弄不清，第4小題出現(xiàn)大于號也大有人在。這是把長度單位與面積單位混為一談了。第2題則簡單地認(rèn)為20×18÷（3×3）=40（個），這種計(jì)算，從理論層面來講，是完全正確的，殊不知實(shí)際裁剪時，長邊只能剪6次，寬剪6次剛好，正確答案應(yīng)該選①36個。錯誤原因是脫離了生活實(shí)際。第3題很多學(xué)生認(rèn)為，A花壇的周長大于B花壇，只要動手用筆畫一畫，正確答案是顯而易見的。兩個圖形的周長都是長加寬再加石子路的長度，是一樣長的。錯誤原因還是沒有把長方形周長和面積的概念弄清楚。學(xué)生明白，這個過程中，一定要用“表達(dá)”的方式發(fā)表自己對習(xí)題的審題與分析、解題的方法與思路、解題的過程與體會，不人云亦云，要能夠“用自己的語言去支撐自己的分析”，并逐漸地樹立起自主學(xué)習(xí)的意識和思維品質(zhì)。

（三）綜合運(yùn)用， 獲得知識技能

抽象的數(shù)學(xué)知識光靠口頭描述，部分學(xué)生會難以接受，更難以進(jìn)一步地深入和拓寬知識面。這里拓寬的不僅有學(xué)習(xí)技能的空間，還有實(shí)踐運(yùn)用的空間。為了更好地彌補(bǔ)知識的漏洞，夯實(shí)本質(zhì)概念，教師要加強(qiáng)對這些知識的綜合訓(xùn)練。

1. 仔細(xì)推敲，認(rèn)真辨析。

（1）一個正方形，邊長是4分米，它的周長與面積相等。（ ? ?）

（2）面積相等的一個長方形和一個正方形，它們的周長一定相等。（ ? ）

2.小芳家準(zhǔn)備將客廳地面鋪上地板，有兩種規(guī)格的地板可供選擇，第一種長90厘米，寬10厘米，第二種長120厘米，寬20厘米，已知客廳長8米，寬4米5分米，請你幫忙算算各需多少塊？

3. 第一個正方形的邊長比第二個正方形的邊長長3厘米，第一個正方形的面積比第二個正方形的面積大57平方厘米，求每個正方形的面積。

習(xí)題的設(shè)計(jì)相對而言比較優(yōu)秀，針對性強(qiáng)，具有較高的層次性和啟發(fā)性。第1題辨析，是針對學(xué)生把周長和面積概念混淆設(shè)計(jì)的；第2題是針對學(xué)生脫離生活實(shí)際設(shè)計(jì)的；第3題就是一道集綜合性和挑戰(zhàn)性于一體的題目，讓學(xué)有余力的學(xué)生挑戰(zhàn)一下。通過綜合訓(xùn)練，學(xué)生在獲得各種認(rèn)知策略、發(fā)展反思、元認(rèn)知等能力的同時，認(rèn)知水平不斷攀升，知識體系牢固建構(gòu)，知識技能不斷獲得，解決問題也得心應(yīng)手。

三、發(fā)散，展示數(shù)學(xué)魅力

在思維上，數(shù)學(xué)知識的整理與復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)應(yīng)該體現(xiàn)“發(fā)散”，把數(shù)學(xué)核心知識置于多維度的問題情境之中，并以其為中心進(jìn)行拓展、發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生形成多角度的思維，并建立知識間的多元聯(lián)系，做到形散神不散。常用的綜合訓(xùn)練是對學(xué)生進(jìn)行“發(fā)散”思維訓(xùn)練的重要形式。

（一）橫向擴(kuò)散，培養(yǎng)思維的廣闊性

橫向擴(kuò)散就是指由一道題目橫向發(fā)散出一類題目，粗看面目很相似，細(xì)細(xì)思考卻別有洞天。學(xué)生通過學(xué)一道題，獲得解一類題的本領(lǐng)，呈現(xiàn)“一把鑰匙開多把鎖”的大好局面，能幫助自己認(rèn)清知識間的關(guān)系，培養(yǎng)思維的廣闊性，加深對知識的理解。

用20厘米長的鐵絲可以圍成幾種不同的長方形（長和寬均為整數(shù)），計(jì)算圍成長方形的周長和面積，填入表2。然后觀察表中的數(shù)據(jù)，說說你都知道了什么？

通過進(jìn)行排列分析，可以得到五種情況，發(fā)現(xiàn)不管長與寬怎么變化，周長都不會改變，但隨著長與寬的長度差距逐漸減少，面積則逐漸變大，正方形的面積比長方形的面積都大。由此橫向擴(kuò)散至“一張邊長是10厘米的正方形紙中，沿邊緣剪去一個長6厘米、寬4厘米的長方形。剩下部分的面積是多少？剩下部分的周長呢？”的剪紙問題和鋪地板問題，都可以用這種排列的方法解決。運(yùn)用排列的方法，可以訓(xùn)練學(xué)生思維的系統(tǒng)性，培養(yǎng)學(xué)生全盤考慮問題的能力。這樣的訓(xùn)練越多，學(xué)生的思維就會變得越縝密，分析問題的能力也會不斷提升，這對培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性大有裨益。

（二）逆向求異，培養(yǎng)思維的靈活性

逆向求異是指一道習(xí)題，由于不同學(xué)生所審視的方向各有不同，因此解題思路也就不同。這是一種訓(xùn)練力度較大的思維活動，開放的條件，開放的結(jié)論，必定通過開放的思維方式來解決問題。學(xué)生練了太多的順向思維的習(xí)題，碰到逆向思維的習(xí)題就束手無策，顯得思維的靈活性不夠。求長方形的周長和面積，往往要先知道長方形的長和寬是多少，然后按照公式代入計(jì)算即可。這種順向思維的問題是比較容易解決的。然而，有這樣兩道題目，如右上。

1. 在方格紙上畫幾個長方形或正方形，使它們的周長都相等，然后比較一下它們的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么？

2. 畫出面積是24平方厘米的長方形（長寬是整厘米數(shù)），并計(jì)算出這些長方形的周長。

這兩道題目已知周長和面積，長與寬都是開放的，只有在厘清它們的內(nèi)在聯(lián)系后，方能理順彼此的關(guān)系，找到科學(xué)的解決辦法。在復(fù)習(xí)課習(xí)題教學(xué)中，教師要抓住一切有利時機(jī)，經(jīng)常有意識地啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生在所學(xué)的知識范圍內(nèi)思考不同的解題思路，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。

（三）縱向挖掘，培養(yǎng)思維的深刻性

縱向挖掘，就是由一道基礎(chǔ)題，不斷增加條件，習(xí)題的難度跟著一步步加大。對于這些縱向挖掘的習(xí)題而言，其復(fù)雜程度可想而知。這就需要教師對固有條件進(jìn)行綜合剖析，找準(zhǔn)變量與不變的量，進(jìn)行變式訓(xùn)練。

1. 學(xué)校操場原來長50米，寬20米，這個操場面積多少平方米？

2. 學(xué)校操場原來長50米，寬20米，擴(kuò)建后長增加50米，這個操場面積增加多少平方米？

3. 學(xué)校操場原來長50米，寬20米，擴(kuò)建后長增加50米，寬增加20米，這個操場面積增加多少平方米？

課堂上，學(xué)生讀題后提問：這三道題，有什么不一樣？通過讀題，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，第2題只有一個變量，第3題有兩個變量?？吹贸鰜恚傻?題演變出的2、3兩題頗具挑戰(zhàn)性。這類“變式”訓(xùn)練，極易激發(fā)學(xué)生參與挑戰(zhàn)的欲望，讓他們在比較中尋找解決問題的方法，在挑戰(zhàn)中享受學(xué)習(xí)的樂趣。通過一題多探、一題深探的課堂實(shí)踐，實(shí)現(xiàn)了真正意義上培養(yǎng)學(xué)生探究能力和實(shí)踐創(chuàng)新能力以及思維的深刻性。

總而言之，鞏固舊知，又獲得新知，在不斷循環(huán)的過程中，學(xué)生的認(rèn)知水平得到螺旋上升。教學(xué)中，教師善于啟發(fā)學(xué)生的多維思維進(jìn)行整體復(fù)習(xí)，向?qū)W生滲透事物間互相聯(lián)系、互相依存的辯證思想，不僅有利于加深對面積單元知識的鞏固，還有利于培養(yǎng)學(xué)生有序思考、歸納整理的能力，推動學(xué)生在原有基礎(chǔ)上進(jìn)一步發(fā)展，在真實(shí)學(xué)習(xí)中進(jìn)一步成長！