指向數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的概念教學(xué)設(shè)計(jì)與反思

王科娜

［摘? 要］ 文章以分式概念教學(xué)為例，提出分式概念教學(xué)的路徑，并以此教學(xué)路徑（經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、經(jīng)歷類比、經(jīng)歷抽象）來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)抽象；核心素養(yǎng)；分式；概念教學(xué)

在概念教學(xué)中，通過設(shè)計(jì)合理的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷概念發(fā)現(xiàn)、類比、抽象的過程，有利于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的生成［1］. 筆者以分式概念教學(xué)設(shè)計(jì)為例，探尋培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的有效路徑，以構(gòu)建高效的數(shù)學(xué)課堂.

教學(xué)設(shè)計(jì)與剖析

（一）教學(xué)內(nèi)容剖析

本節(jié)課的主要內(nèi)容包括：分式的概念、分式有意義的條件、根據(jù)實(shí)際問題列出分式. 講清分式的概念是關(guān)鍵，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比思維的學(xué)習(xí)分式，從而得到研究分式的基本路徑，不斷培養(yǎng)學(xué)生類比推理的核心素養(yǎng). 在整式的四則運(yùn)算中，由于整式的除法的結(jié)果不一定是整式，由此得到分式的概念. 類比整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，獲得整式與分式統(tǒng)稱有理式的結(jié)論，能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的意識(shí)，使學(xué)生形成完整的研究思路與方法.

（二）教學(xué)目標(biāo)剖析

1. 掌握分式的概念，明白分式有意義的條件；

2. 能根據(jù)現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)量關(guān)系列出分式；

3. 由分?jǐn)?shù)的研究?jī)?nèi)容及路徑獲得分式研究的內(nèi)容及路徑.

第一個(gè)教學(xué)目標(biāo)完成的標(biāo)志：能判別一個(gè)代數(shù)式是分式還是整式，理清分式與分?jǐn)?shù)的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，理清分式與整式的相互聯(lián)系；在分式有意義的情況下，能確定參數(shù)的取值范圍.

第二個(gè)教學(xué)目標(biāo)完成的標(biāo)志：能分析現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)量關(guān)系，從而列出分式.

第三個(gè)教學(xué)目標(biāo)完成的標(biāo)志：回顧分?jǐn)?shù)的研究思路，獲得研究分式的基本流程是定義—性質(zhì)—運(yùn)算.

（三）教學(xué)難點(diǎn)剖析

學(xué)生在此之前學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)可以為本課學(xué)習(xí)的儲(chǔ)備. 如：整式及其運(yùn)算，分?jǐn)?shù)及其運(yùn)算等. 如果只是理解分式的概念并不難，難的是理解分式與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系和區(qū)別、分式與整式的聯(lián)系和區(qū)別. 所以設(shè)計(jì)合理的數(shù)學(xué)活動(dòng)，經(jīng)過類比分?jǐn)?shù)、類比整式，獲得分式研究思路，這是突破教學(xué)難點(diǎn)的方法，也有利于提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

（四）整體教學(xué)思路

首先，讓學(xué)生回顧分?jǐn)?shù)的實(shí)質(zhì)是整數(shù)相除的商，當(dāng)兩個(gè)整數(shù)不能整除時(shí)，結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示. 其次，讓學(xué)生回顧整式的除法運(yùn)算，當(dāng)兩個(gè)整式相除，當(dāng)相除的結(jié)果不是整式時(shí)，怎么辦呢？于是有了分式. 在研究分?jǐn)?shù)時(shí)，先確定研究對(duì)象，再探索性質(zhì)，最后研究運(yùn)算法則，類比分?jǐn)?shù)確定分式的研究也是這樣. 根據(jù)數(shù)系的擴(kuò)充過程，從整數(shù)、分?jǐn)?shù)到有理數(shù)，類比代數(shù)式的擴(kuò)充從整式、分式到有理式.最后，讓學(xué)生厘清兩者的區(qū)別與聯(lián)系，即整式與分式、分?jǐn)?shù)與分式.

（五）教學(xué)基本流程

1. 從分?jǐn)?shù)到分式，類比發(fā)現(xiàn)

問題1：任意取兩個(gè)整數(shù)，計(jì)算它們的和、差、積、商. 其結(jié)果都是整數(shù)嗎？

生：兩個(gè)整數(shù)的和、差、積一定是整數(shù)，但是商不一定是整數(shù). 如3與-4的和為-1，差為7，積為-12，但是商為-.

追問：當(dāng)兩個(gè)整數(shù)相除的結(jié)果不是整數(shù)時(shí)，結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示，你能說一下-的意義嗎？

生：-是指把-3分成4份，每一份是多少？

設(shè)計(jì)意圖 通過兩個(gè)整數(shù)的四則運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)的本質(zhì)屬性，為后面研究分式提供范例. 同時(shí)，看到數(shù)系拓展的發(fā)生過程，即從分?jǐn)?shù)到分式是從特殊到一般的過程.

問題2：如果用s（單位：km）表示路程，用v（單位：km/h）表示速度，如何表示行駛時(shí)間呢？

追問：任意兩個(gè)整式的和、差、積、商一定是整式嗎？

師生活動(dòng)：當(dāng)用s表示路程，用v表示速度，時(shí)間可用來表示. 兩個(gè)整式的和、差、積都是整式，如x+（x2-1）=x2+x-1，x-（x2-1）=x-x2+1，x（x2-1）=x3-x，而兩個(gè)整式的商x÷（x2-1）的結(jié)果卻不是整式.

追問：類比分?jǐn)?shù)，如何表示x÷（x2-1）的商呢？

師生活動(dòng)：類比兩個(gè)整數(shù)相除，結(jié)果不是整數(shù)時(shí)，可用分?jǐn)?shù)表示，那么兩個(gè)整式相除，結(jié)果不是整式時(shí)，也可以用分?jǐn)?shù)的形式表示，即x÷（x2-1）=.

設(shè)計(jì)意圖 用類比整數(shù)相除的方法，引導(dǎo)學(xué)生研究整式相除的運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)需要引入新的式子表示兩個(gè)整式不能整除的結(jié)果，從而引入分式.

問題3：（1）有兩塊田，第一塊x公頃，年產(chǎn)棉花m千克；第二塊田y公頃，年產(chǎn)棉花n千克；這兩塊田平均每公頃的棉花年產(chǎn)量是______.

（2）一輛汽車以80千米/時(shí)的速度行駛，從A城到B城需t小時(shí)，如果該車的速度增加v千米/時(shí)，那么從A城到B城需要______小時(shí).

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生分析題中的數(shù)量關(guān)系，列出兩個(gè)分式，分別是，，同時(shí)指出這是一類新代數(shù)式，本章主要研究這一類代數(shù)式的性質(zhì)、運(yùn)算及應(yīng)用.

設(shè)計(jì)意圖 引入兩個(gè)生活事例，讓學(xué)生感受到生活中存在用分式這種代數(shù)式表示的事例，并指出本章的研究主題及其主要內(nèi)容.

2. 類比發(fā)現(xiàn)，抽象分式概念

問題4：回顧在小學(xué)階段學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)的有關(guān)知識(shí)，類比分?jǐn)?shù)的研究思路，說說此類新的代數(shù)式應(yīng)該如何研究？

師生活動(dòng)：立足教師引導(dǎo)，師生一起回憶分?jǐn)?shù)的意義和基本性質(zhì)，分?jǐn)?shù)的通分約分及運(yùn)算，從而總結(jié)研究分?jǐn)?shù)的基本思路是先學(xué)定義、再學(xué)性質(zhì)、最后學(xué)運(yùn)算. 以此為路徑，師生共同提出研究分式也應(yīng)該按先定義、再性質(zhì)、最后運(yùn)算的思路.

設(shè)計(jì)意圖 師生共同回憶分?jǐn)?shù)是為了獲取數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而生成研究分式的基本路徑. 同時(shí)，也確立了這一課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，即分式的定義、分式的性質(zhì)以及分式的運(yùn)算.

問題5：請(qǐng)比較這類新代數(shù)式與分?jǐn)?shù)、整式的異同，說明這類新代數(shù)式的特征.

師生活動(dòng)：教師讓學(xué)生觀察新的代數(shù)式：，，，，發(fā)現(xiàn)它們都是兩個(gè)整式相除的商，如果用兩個(gè)A，B表示兩個(gè)整式，那么這類代數(shù)式可以表示為（且B中含有字母）.

追問：類比整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，那么整式與分式可以統(tǒng)稱為什么呢？

生：有理式.

問題6：之前學(xué)過的整式與這里學(xué)習(xí)的分式有何區(qū)別與聯(lián)系呢？分?jǐn)?shù)與分式呢？

師生活動(dòng)：通過是整式，而是分式，說明了整式與分式的區(qū)別在于整式的分母中沒有字母，而分式的分母中有字母，二者的聯(lián)系就是分式是整式的除法運(yùn)算. 通過是分?jǐn)?shù)，而是分式，這也充分說明分?jǐn)?shù)是分式的特殊化形式，分式是分?jǐn)?shù)的一般化形式.

問題7：下列式子中的字母為何值時(shí)，分式有意義？

；；.

問題8.當(dāng)a取何值時(shí)，分式的值為零？

3. 回顧反思，小結(jié)提升

（1）分式是如何定義的？要使分式有意義，必須滿足什么條件？（2）說說你眼中的整式與分式. （3）我們是如何發(fā)現(xiàn)分式，認(rèn)識(shí)分式的呢？（4）對(duì)于分式，在接下來的學(xué)習(xí)中，應(yīng)該研究分式的什么內(nèi)容呢？

教學(xué)反思

（一）經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)的過程

在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題并提出問題是組織活動(dòng)的目的之一［2］. 在整數(shù)的四則運(yùn)算中，整數(shù)的加、減、乘三種運(yùn)算的結(jié)果都是整數(shù)，而除法運(yùn)算的結(jié)果并不是整數(shù)，于是引入了分?jǐn)?shù)的概念. 分?jǐn)?shù)在現(xiàn)實(shí)生活中也有一定的現(xiàn)實(shí)意義，即均分物品與度量的需要. 借助現(xiàn)實(shí)情境，把現(xiàn)實(shí)情境一般化處理后，獲得了整式的四則運(yùn)算，學(xué)生發(fā)現(xiàn)在整式的運(yùn)算中，整式的加、減、乘三則運(yùn)算的結(jié)果都是整式，而相除的結(jié)果不一定是整式，必須引入一類新類型的代數(shù)式，于是分式自然生成，分式是從數(shù)到式的抽象，是代數(shù)運(yùn)算發(fā)展的必然結(jié)果.

（二）經(jīng)歷類比的過程

新的代數(shù)式——分式被發(fā)現(xiàn)后，為了能合理地進(jìn)行分式運(yùn)算，解決生活中的問題，師生共同回顧研究分?jǐn)?shù)的歷程，學(xué)生忽然發(fā)現(xiàn)，原來分式的研究路徑與分?jǐn)?shù)有很多相通的地方. 即首先給研究對(duì)象下定義，接著探索研究對(duì)象的基本性質(zhì)，然后制定研究對(duì)象的計(jì)算準(zhǔn)則，最后把學(xué)到的知識(shí)應(yīng)用在現(xiàn)實(shí)中解決問題. 這也從整體的視角建構(gòu)了學(xué)生研究的思路，對(duì)于學(xué)生系統(tǒng)化學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、豐富學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)具有重要的作用.

（三）經(jīng)歷抽象的過程

在整式的四則運(yùn)算中發(fā)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，即分?jǐn)?shù)是兩個(gè)整數(shù)相除的表現(xiàn)形式. 通過類比的方法獲得了分式的本質(zhì)屬性，即兩個(gè)整式相除所得的商，且讓學(xué)生在現(xiàn)實(shí)事例中發(fā)現(xiàn)分式的存在.學(xué)生給分式下定義時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)整式的商就是分式，筆者通過舉例的形式，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)分式的分母中必須有字母這一關(guān)鍵條件. 在符號(hào)化的過程中，筆者讓學(xué)生把分式與分?jǐn)?shù)比較，把分式與整式比較，從而發(fā)現(xiàn)將分?jǐn)?shù)一般化得到分式，分式是兩個(gè)整式相除的表現(xiàn)形式. 最后，通過兩個(gè)例題，進(jìn)一步鞏固了分式的概念、分式的分母不能為0、分式的值為0的條件等知識(shí). 讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念抽象的過程，使學(xué)生積累了數(shù)學(xué)概念形成的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 周孝輝. 基于問題驅(qū)動(dòng) 凸顯生本課堂——以“分式”教學(xué)為例［J］. 中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2021（05）：26-29.

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