優(yōu)化數(shù)學(xué)活動 促進(jìn)概念理解

朱瑩瑩

［摘 要］低學(xué)段的學(xué)生由于認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特點，在概念學(xué)習(xí)的過程中需要借助感性的材料，即通過有效的數(shù)學(xué)活動來理解概念。教師通過調(diào)整教學(xué)活動的目標(biāo)、方式、內(nèi)容，優(yōu)化數(shù)學(xué)活動，可有效幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，繼而促進(jìn)其對數(shù)學(xué)的深度思考。

［關(guān)鍵詞］實踐活動；數(shù)學(xué)概念；角

［中圖分類號］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2022）32-0033-04

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，“數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上。”“教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機(jī)會……”這給課堂教學(xué)提供了一個啟示：教師應(yīng)關(guān)注數(shù)學(xué)活動，以數(shù)學(xué)活動引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、實踐、交流，真正理解和掌握概念的本質(zhì)。

一、教材分析

在人教版中，“角”的內(nèi)容分兩次進(jìn)行學(xué)習(xí)，分別安排在二年級上冊和四年級上冊。二年級是初步認(rèn)識角，感知角的大小，會畫角（直角、銳角和鈍角）以及能用角的知識解決簡單的數(shù)學(xué)問題。四年級是對角的再認(rèn)識，在射線的基礎(chǔ)上建立角的概念，認(rèn)識平角和周角，會用量角器量角。

“角的初步認(rèn)識”這一單元的學(xué)習(xí)有三個目標(biāo)：（1）認(rèn)識角，知道角的特征和各部分名稱；（2）畫角，從一個點起，用尺子向不同的方向畫兩條筆直的線；（3）區(qū)分角的大小，能通過兩條邊張開的程度區(qū)分角的大小。這三個學(xué)習(xí)目標(biāo)都是在幫助學(xué)生建立角的概念：目標(biāo)（1）是從實例中抽象出角的特征，即角由一個頂點和兩條邊組成；目標(biāo)（2）既讓學(xué)生掌握畫角這項技能，又讓學(xué)生通過畫角感受角的產(chǎn)生過程；目標(biāo)（3）讓學(xué)生感悟角是兩條邊所夾的部分，角的大小與角兩條邊張開的程度有關(guān)。

二、后測分析

本學(xué)期，筆者所在學(xué)校的數(shù)學(xué)組以“角的初步認(rèn)識”開展教學(xué)研究。在一個班的教學(xué)完成后，就對這個班進(jìn)行后測，后測主要是為了了解學(xué)生對知識的掌握情況，從而為改進(jìn)教學(xué)提供依據(jù)。

1.調(diào)查內(nèi)容的測試與結(jié)果

數(shù)學(xué)組擬定4個題目進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如圖1所示。

2.調(diào)查結(jié)果的梳理與分析

（1）從調(diào)查結(jié)果來看，第1題回答得較理想，只有個別學(xué)生因為寫了錯別字被扣分。

（2）第2題，全班都能正確判斷哪個是角，但在判斷理由中，有9人認(rèn)為右圖的兩條直線沒有連接起來，因此它不是角。這說明學(xué)生是根據(jù)角的表象進(jìn)行判斷的，沒有進(jìn)一步抽象出角的特征。

（3）第3題，學(xué)生都能畫出角，但細(xì)看他們畫角的步驟，卻發(fā)現(xiàn)了很多問題，具體有2種情況。

第一，先畫一條線，再畫另一條線（如圖2）。

第二，先畫邊再畫頂點，而不是按射線延長的方向畫（如圖3）。

從畫角調(diào)查的結(jié)果來看，這個環(huán)節(jié)的目標(biāo)落實不到位。

（4）第4題，只有26名學(xué)生認(rèn)為角的大小與兩條邊張開的程度有關(guān)，有17名學(xué)生認(rèn)為角的大小和邊的長短有關(guān)，還有2名學(xué)生空著?？梢姡堑拇笮『褪裁从嘘P(guān)，學(xué)生體會不深刻，還需要改進(jìn)教學(xué)。

三、教學(xué)思考

“角的初步認(rèn)識”這一單元屬于概念課，概念形成和概念同化是兩種基本的概念獲得方式。由于二年級學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)簡單、數(shù)學(xué)知識貧乏，因此他們一般通過概念形成的方式來學(xué)習(xí)，也就是借助具體的例子和各種數(shù)學(xué)活動，概括出概念的關(guān)鍵特征。通過教材分析及后測結(jié)果分析，我們認(rèn)為在教學(xué)時可以把數(shù)學(xué)活動做精做細(xì)。

1.讀懂并用好活動材料

小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念離不開活動材料的支持，尤其是角這個圖形。人教版教材中提供了剪刀、鐘面和三角尺，細(xì)細(xì)品味書中給出的幾種材料，三角尺是靜態(tài)的，剪刀和鐘面中的角是動態(tài)的，后兩種通過旋轉(zhuǎn)可以形成任意角，有利于學(xué)生感受角的大小和方向。這些材料的選擇，為角的概念的學(xué)習(xí)提供了有效的保障。

2.根據(jù)學(xué)情調(diào)整活動方式

例如，在畫角時，可以讓學(xué)生先思考：畫角時，要畫出角的什么特征？通過引導(dǎo)學(xué)生思考，關(guān)注活動重點，讓數(shù)學(xué)活動更有目的性。當(dāng)然，也可以讓學(xué)生先畫再思考，在反思、交流的過程中掌握畫角這一知識點。還可以由教師先示范，學(xué)生再模仿。雖然活動方式多樣，但教師需要根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，選擇合適的活動方式。

3.根據(jù)目標(biāo)修改活動內(nèi)容

例如，活動的內(nèi)容可以來源于學(xué)生出現(xiàn)的問題，針對學(xué)生出現(xiàn)的問題，教師可設(shè)計有效的數(shù)學(xué)活動，幫助學(xué)生解決問題。通過后測發(fā)現(xiàn)，體會角的大小是學(xué)生認(rèn)知的難點，在后續(xù)的教學(xué)中我們將根據(jù)教學(xué)目標(biāo)重新設(shè)計、修改活動內(nèi)容，以提高課堂教學(xué)效果。

四、教學(xué)實踐

基于對“角的初步認(rèn)識”的深入分析與思考，我們對原來的教學(xué)設(shè)計進(jìn)行修改，以期可以呈現(xiàn)更好的教學(xué)效果。

1.用好活動材料，認(rèn)識角

二年級學(xué)生正處于從以具體形象思維為主向抽象邏輯思維過渡的階段，因此，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)要重視活動材料的運用。

【調(diào)整前】

在教學(xué)中，教師先呈現(xiàn)剪刀、鐘面和三角尺三種材料，讓學(xué)生找一找角，隨著學(xué)生的回答，課件直接出現(xiàn)一個角。在后面概括這些角的共同特征時，學(xué)生認(rèn)為尖尖的部分就是角，而直接忽視了兩條邊的存在。為了增強(qiáng)材料的刺激性，我們在呈現(xiàn)方式上做了調(diào)整。

【調(diào)整后】

（教師利用課件出示一把慢慢張開的剪刀，形成一個銳角）

師：你能指出剪刀的一個角嗎？

（學(xué)生上來指其中的一個頂點，但沒有指出它的兩條邊）

師（在黑板上畫一個點）：角是這樣的，你同意嗎？怎么指才可以把剪刀中的角完整地指出來？

（學(xué)生再次指角，按“頂點→邊→邊”的順序指）

（教師利用課件出示一個鐘面，分針從12走到了4，形成一個鈍角。學(xué)生按“頂點→邊→邊”的順序指角）

師：這些圖形都被稱為角，那它們有什么共同特征呢？

在這個環(huán)節(jié)中，教師將剪刀、鐘面中的角動態(tài)呈現(xiàn)，使“角”從整體到分步呈現(xiàn)。雖然只是呈現(xiàn)方式的改變，但是卻增強(qiáng)了角的“頂點”和“邊”的刺激性，將學(xué)生的注意力吸引到角共同的關(guān)鍵屬性上來。

2.改變活動方式，畫好角

【調(diào)整前】

師：畫一個角，我們要把角的哪些東西畫出來？

生1：兩條直的邊和一個頂點。

師：誰來說一說畫角的步驟。

生2：先畫頂點，再畫兩條邊。

師：請按照這個步驟試著畫一畫。

（學(xué)生按步驟畫角）

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師要做的是如何引發(fā)學(xué)生的思考，讓學(xué)生通過自己的探索解決問題。如果教師先示范再讓學(xué)生模仿，那學(xué)生便只是按部就班地畫角，至于為什么這么畫，學(xué)生一點也不理解?；谶@樣的認(rèn)識，我們對活動進(jìn)行了調(diào)整。

【調(diào)整后】

師：畫一個角，我們要把角的哪些東西畫出來？

生（齊）：兩條直的邊，一個頂點。

（學(xué)生嘗試畫角）

師：老師收集了兩份作業(yè)，我們先讓這兩名同學(xué)介紹自己是如何畫角的。

生1：我是先畫頂點，再從上到下畫出一條邊，接著從左到右畫出另一條邊。

生2：我是先畫頂點，再從頂點出發(fā)畫兩條邊。

師：兩名同學(xué)的畫法不同，你喜歡誰的？

生3：我喜歡生2的，因為他是從一個頂點出發(fā)畫出兩條邊的。

師（小結(jié)）：生1、生2都畫出了角的特征——一個頂點和兩條邊。畫角時，我們不僅要畫出其特征，而且還要注意畫法——從一點開始向不同的方向引出兩條直直的線。

活動方式從“教師示范”到“學(xué)生嘗試”的調(diào)整，讓課堂更開放，讓學(xué)生更活躍。通過“要把角的哪些東西畫出來”這個問題的引導(dǎo)，將學(xué)生的思維聚焦到畫角時要畫出角的特征，這樣的畫角嘗試更有目標(biāo)性。

3.調(diào)整活動內(nèi)容，辨角的大小

受生活以及教材中積累的比長短、比面積、比體積等經(jīng)驗的遷移影響，有的學(xué)生認(rèn)為兩條邊所夾部分“面”的大小就是角的大小，也有學(xué)生用兩條邊的終點連線的長短來判斷角的大小?；谶@些情況，教師可以設(shè)計豐富的體驗活動，引導(dǎo)學(xué)生體會角的大小。

【調(diào)整前】

師：這里有一個角（圖略），如果要讓這個角變大或變小，該怎么做呢？

生（齊）：把兩條邊拉開，角就變大；把兩條邊拉攏，角就變小。

師：把兩條邊拉開，哪里變大了？

生1（指角）：角張開的“嘴巴”變大了。

（總結(jié)：角的大小與兩條邊張開的程度有關(guān)）

師（出示兩個不同的角，圖略）：剛才我們探究了怎樣讓角變大變小，現(xiàn)在我們來看看怎么比這兩個角的大小。

生2：先將兩個頂點疊合，再將其中一條邊疊合，最后看另一條邊的情況。

師（按照學(xué)生說的操作）：同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了嗎？雖然一個角的兩條邊長一些，但是張開的程度卻沒有另一個角的大。因此，角的大小與兩條邊的長短無關(guān)。

調(diào)整前，教師出示的兩個角除了邊的長短不一樣，角的大小也不一樣。變量多了，學(xué)生關(guān)注的點就不集中。因此，學(xué)生對“角的大小與兩條邊的長短無關(guān)”的體會不深刻。

我們通過課后的訪談得知，很多學(xué)生是因為感覺角的兩條邊拉攏后占的“面積”小了，所以才覺得角小了。這說明學(xué)生的“明白”并不是真的明白。在教學(xué)中，我們也需要多問“為什么”“你是怎么想的”，以了解學(xué)生是否真的明白了。

為了讓學(xué)生深刻地理解“角的大小與兩條邊張開的程度有關(guān)，與兩條邊的長短無關(guān)”，我們對活動內(nèi)容進(jìn)行了調(diào)整。

【調(diào)整后】

師（出示一個角，圖略）：如果想讓這個角變大，該怎么做呢？

生（齊）：把兩條邊拉開，角就變大。

師：哪里變大了？

生（齊）：角的張口變大了。

師：如果想讓這個角變小，哪里變小了？

生（齊）：角的張口變小了。

師（小結(jié)）：看來，角的大小是指角兩邊張口的大小。張口變大，角就會變大，張口變小，角就會變小。請同學(xué)們拿出活動角擺出一個角。

師（展示學(xué)生擺出的角，如圖4所示）：這兩個角都是直角，比一比誰大？

生1：我認(rèn)為左邊的角大，因為它的兩條邊長。

生2：我認(rèn)為一樣大，因為它們的張口一樣大。

師：怎么證明這兩個角的張口一樣大？

生2（一邊操作，一邊說）：將兩個角的頂點疊合，再將兩個角的其中的一條邊疊合，兩個角的另一條邊也是疊合的情況，說明它們的張口一樣大。

師（將右邊的角放在投影儀上）：把這個角放大，現(xiàn)在再和左邊的角比一比，誰大？

生4：還是一樣大，雖然它的邊變長了，但是張口大小沒變。

師：如果想讓右邊的角比左邊的大，該怎么做呢？

（學(xué)生改變右邊的活動角，如圖5所示）

在第一次比角中，教師給出的材料是兩個一樣大的直角，只是邊的長短不同。在引導(dǎo)比角的過程中，學(xué)生只需要關(guān)注一個變量——邊的長短，突出了角的大小和邊的長短無關(guān)。在第二次比角中，教師給出的兩個角排除了學(xué)生因為角所占“面積”的大小判斷角的大小的可能性。兩次比角活動，使學(xué)生真正理解“角的大小與兩條邊張開的程度有關(guān)，與兩條邊的長短無關(guān)”。

五、效果檢測

在調(diào)整教學(xué)設(shè)計后，我們選取了學(xué)習(xí)水平差不多的班級進(jìn)行教學(xué)，并開展了后測。

從后測的數(shù)據(jù)可以看出，調(diào)整后的教學(xué)效果比調(diào)整前的好，尤其是畫角的活動，兩次數(shù)據(jù)相差很大。這些數(shù)據(jù)告訴我們，數(shù)學(xué)課要關(guān)注數(shù)學(xué)活動，要向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機(jī)會，使學(xué)生經(jīng)歷、感受知識的形成過程。

綜上所述，在開展數(shù)學(xué)活動時，為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、活躍學(xué)生的學(xué)習(xí)思維，教師可以在活動目標(biāo)、活動方式、活動內(nèi)容等方面進(jìn)行調(diào)整，從而提高課堂效率。這種調(diào)整值得教師借鑒，因為它確確實實讓學(xué)生學(xué)得更扎實！

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 中華人民共和國教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：實驗稿[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2001.

[2] 人民教育出版社，課程教材研究所，小學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.義務(wù)教育教科書教師教學(xué)用書：數(shù)學(xué)二年級上冊[M].北京：人民教育出版社，2020.

[3] 草才翰，章建躍 .數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].3版.北京：北京師范大學(xué)出版社，2017.

[4] 史寧中.核心問題：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的基本概念與運算法則[M].北京：高等教育出版社，2013.

（責(zé)編 覃小慧）