利用數(shù)學史促進教師教學的深度思考

崔婉婷 李江英 李少靈

摘? 要：數(shù)學史在小學數(shù)學教學中是促進學生學習數(shù)學文化、感受數(shù)學思想方法的重要載體之一。教師在研讀教材時要思考數(shù)學的本質，恰當融入數(shù)學史，培養(yǎng)學生的良好品格，促進學生數(shù)學思維的發(fā)展。

關鍵詞：小學數(shù)學；數(shù)學史；數(shù)學思維；教學深度

從遠古時期至今，數(shù)學一直伴隨著人們的生活。小小的數(shù)學知識背后有著歷史大背景。教師在研讀教材時要對教學知識點的深度和廣度進行思考，在教學設計中關注知識的來龍去脈，在有限的教學時間內帶給學生更多的啟迪。

一、研讀小知識，挖掘大背景

數(shù)學史源遠流長，但是數(shù)學史料并不一定會直觀展示在教材中，而是有賴于教師利用多種途徑去挖掘。教師深度挖掘數(shù)學知識背后豐富的數(shù)學史，是恰當融入數(shù)學史的前提，也是突破教學難點的有效途徑。在數(shù)學課堂上讓學生了解數(shù)學史，有利于學生更好地學習數(shù)學。

1. 利用顯性知識挖掘歷史背景

教師要善于從顯性數(shù)學知識中挖掘隱性的數(shù)學歷史背景。例如，在教學人教版《義務教育教科書·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“教材”）一年級上冊“0的認識”時，教材中通過呈現(xiàn)了“猴子吃桃”的情境圖引出對“0”的認識，并借助直尺上的“0”引導學生體會“0”還可以表示起點。在學習過程中，學生對“0”的學習顯得很迷茫。為了解答學生的疑惑，教師查閱零的發(fā)展史：1881年夏天，在古代印度西北部距離白沙瓦市約80公里的巴克沙利村莊里，一個佃戶在挖地時發(fā)現(xiàn)了書寫在樺樹皮上的手稿，上面記載了公元元年前后數(shù)個世紀的印度數(shù)學。當時的零用實心的點表示，后來逐漸演變成圓圈，圓圈表示的零最晚于9世紀就已在印度出現(xiàn)。它既表示“無”的概念，又表示位值制計數(shù)法中的空位。中國數(shù)字發(fā)展中，空位先用“□”表示，慢慢就用“○”取代了“□”，由此“0”產(chǎn)生了。

“0”的認識是比較抽象的，教師難以提供直觀、具體的數(shù)量與之建立聯(lián)系，而利用數(shù)學史能夠激發(fā)學生深入思考，可以采用多種形式把數(shù)學史融入課堂教學。例如，可以通過講故事深入淺出地嵌入式穿插教學，也可以將情境展示融入課堂教學，復原古代零的發(fā)展史，從而讓學生體驗和感知“0”的意義，再結合實際生活情境理解“0”，激活已有的生活經(jīng)驗和數(shù)學知識，讓學生經(jīng)歷與數(shù)學家類似的知識形成過程，掃清學習障礙。這樣在遵循學生認知特點的基礎上，拓寬視野，激發(fā)數(shù)學學習熱情，能增強學生對知識的深入思考與理解。

通過引入我國古代零的發(fā)展史，讓學生了解遠古代人們的智慧和國家的強大，能夠激發(fā)學生的愛國熱情，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，繼續(xù)深入探尋、開發(fā)和利用數(shù)學史資源。

2. 由“點”挖掘出“面”

教師要善于從教材給出的數(shù)學史中的一個“點”挖掘出整個“面”。例如，在教學教材五年級上冊“多邊形的面積”中“梯形的面積”時，教材第94頁提供的數(shù)學史料是：我國古代數(shù)學家劉徽利用“出入相補”原理計算平面圖形的面積?！俺鋈胂嘌a”原理是指把一個圖形分割、移補，而面積保持不變。教材展示的是利用這個原理可以推導出梯形的面積公式。用這樣鮮活的數(shù)學史引入，可以增強學生的民族自豪感和認同感，激發(fā)學習興趣。

在教學中，教師可以沿著數(shù)學家的足跡帶領學生探究梯形面積的計算，讓學生明白：利用“出入相補”原理把梯形轉化成為平行四邊形，在轉化的過程中雖然形狀變了，但是面積卻沒有改變。利用“出入相補”原理求出梯形的面積以后，學生深入思考三角形，甚至一些不規(guī)則圖形是否也可以利用這個原理去求它的面積，促進知識的正遷移，同時體驗轉化的數(shù)學思想方法。

“出入相補”原理這個數(shù)學史料不僅僅是放在例題學習后面的拓展知識中的一個“點”，教師要善于融合相關知識，引導學生把這個“點”放大到整個“面”，讓它貫穿于數(shù)學知識的學習，并把這種思想方法運用到今后的各科學習中。

教師在研讀教材時了解數(shù)學史產(chǎn)生和發(fā)展的大背景，能夠豐富教師的專業(yè)知識儲備，幫助教師更好地理解教材內容，適時、適當?shù)貙?shù)學史融入教學，充分發(fā)揮數(shù)學史的教育價值，提升教師教學的深度思考，促進教師對數(shù)學史文化的認識，提升其數(shù)學專業(yè)素養(yǎng)。

二、觀察生活現(xiàn)象，思考數(shù)學本質

在備課過程中，教師要深入思考，依照教材上的單元內容搜尋相應的數(shù)學史料，設計讓學生經(jīng)歷數(shù)學家探究、發(fā)現(xiàn)知識的過程，有助于學生了解數(shù)學知識的歷史淵源，激發(fā)學習熱情，提高學習效果。

例如，生活中可能性的現(xiàn)象處處可見，人們一般用拋硬幣的方法來決定事件的概率。在教學教材五年級上冊“可能性”時，教師要研讀教材、深度思考和理解教材，查閱文獻，巧妙設計教學，讓學生重走數(shù)學知識的建構過程，引導學生通過試驗掌握技能、技巧，認真觀察試驗現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)知識本質。在課堂教學中，教師可以把全班學生隨機分為8個小組。每個小組成員每人拋10次硬幣，記錄數(shù)據(jù)填入小組表格中。小組完成試驗后，記錄員將本組的總計填入班級總表中進行合計。教師提醒學生注意思考：硬幣正面朝上的次數(shù)與總次數(shù)之間有什么關系？通過試驗發(fā)現(xiàn)：當拋硬幣次數(shù)較少時，正面朝上的可能性并不一定就是總次數(shù)的[12，] 數(shù)據(jù)具有隨機性。但是，當我們把全班各小組所拋次數(shù)合計后，便能發(fā)現(xiàn)隨著拋硬幣的次數(shù)增加，正面朝上及反面朝上正面朝上和反面朝上的次數(shù)會逐漸接近，也就是出現(xiàn)可能性相等，這與歷史上一些數(shù)學家拋硬幣的試驗結果是相同的，具體如表1所示。

通過研讀數(shù)學史，教師巧妙地將數(shù)學史融入教學活動中，引導學生沿著歷史的足跡研究數(shù)學，讓學生不知不覺地將自己當作數(shù)學家一樣做實驗，發(fā)現(xiàn)知識，理解算理，體驗再創(chuàng)造的快樂，同時培養(yǎng)了學生團結協(xié)作、合作共贏的意識，鼓勵學生向數(shù)學家學習，感悟堅持不懈的努力才會越來越接近成功的道理。

數(shù)學與人類的生產(chǎn)勞動緊密相連。生活中處處有數(shù)學，如人體的構造、大自然中樹葉和花瓣的組成，一切美的造型都與黃金分割相關。古代人巧用大自然中日出、日落的周而復始和滴漏壺現(xiàn)象，巧妙制造出日晷、銅漏壺等記錄時間的工具。數(shù)的產(chǎn)生、發(fā)展過程，神奇的斐波那契數(shù)列等無不體現(xiàn)了古人的智慧、數(shù)學的神奇和偉大。在教學中，教師要以數(shù)學教學為主軸，同時考慮學生的認知規(guī)律，深度思考如何將數(shù)學史材料適當?shù)厝谌虢虒W，使之助力于課堂教學，拓寬學生視野，培養(yǎng)學生全方位的認知能力。

三、閱讀數(shù)學史，感受數(shù)學思想

在小學數(shù)學教學中，數(shù)學史是學生學習數(shù)學文化、感受數(shù)學思想的重要載體之一。在數(shù)學史輔助教學的過程中，由于教材內容和學生接受能力的不同，教師需要對數(shù)學史材料進行必要的加工。荷蘭數(shù)學家弗賴登塔爾的“再創(chuàng)造”思想正好可以說明此類問題。

在重視培養(yǎng)學生學習能力和發(fā)展思維的數(shù)學課堂上，教師從分析教學的需要入手，深入研究教材、靈活處理教材，通過考查知識點的歷史發(fā)展、教學目標，以及學生的認知特點和知識水平來構建具體的課堂教學，再選擇合適的時機，恰到好處地引入數(shù)學史知識，將有利于學生全面理解數(shù)學知識，拓展思維，舉一反三，提升學生的遷移能力，提高課程教學效果。這對教師的教學提出了更高的要求。教師需要深入閱讀并思考才能更好地設計課堂教學。在教學實踐的過程中，教師的反思和批判能力也能得到提升。

例如，在教學教材四年級下冊“簡便運算”時，為了培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和舉一反三的能力，教師在備課中可以把著名數(shù)學家高斯的故事融入課堂教學。通過實踐讓學生體驗計算“1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 = ？”如果將這個連加算式一個一個地運算，既難以確保正確率，又費時、費力。教師可以引導學生換一種思維，換一種角度，巧妙搭配，分組計算。由于1 + 100 = 101，2 + 99 = 101，3 + 98 = 101，…，49 + 52 = 101，50 + 51 = 101，這樣等于101的組合一共有50組，答案就是101 × 50 = 5 050。這樣的思路簡明易懂，正是數(shù)學王子高斯解決1連加到100的簡算方法。教師深度思考、有效安排教學過程，先讓學生自由、獨立計算，通過實際操作活動，發(fā)現(xiàn)自己的算法既煩瑣，又容易出錯，不容易得出正確答案。而通過探究，領悟到高斯的巧算思維，能快速、準確地知道結果，又學習、感悟了等差數(shù)列求和的相關知識，巧妙搭建了相關知識之間的橋梁。此時，教師可以恰當引導，教育學生今后在遇到新問題時，都應該先思考、類比之前學過、做過的相關習題和解決方法，綜合思考后找到最佳方案，采取最優(yōu)方法解決問題。由此可見，教師深入理解教材、思考教學環(huán)節(jié)，把數(shù)學史融入課堂教學是有必要的。

四、品讀數(shù)學家故事，培養(yǎng)優(yōu)秀品質

1. 借鑒數(shù)學家故事，培養(yǎng)良好品格

榜樣對人有很大的影響。數(shù)學史中眾多鮮活、生動的數(shù)學家故事，能夠啟迪和促使學生形成良好的品格。在課堂教學中，教師應當根據(jù)教學內容適時融入相關的數(shù)學家故事。

例如，在教學教材六年級上冊“圓”時，教師可以讓學生經(jīng)歷用“割圓術”探究圓周率的過程，感受數(shù)學家孜孜不倦的探究精神。中國古代數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中就有“周三徑一”的說法，即圓的周長約是它直徑的3倍，這個數(shù)值在很長一段時間里被用來進行圓的有關計算。但是，劉徽認為用“周三徑一”計算出來的周長，實際上并不是圓的周長，而是圓內接正六邊形的周長，其數(shù)值要比實際的圓周長小很多。于是劉徽決定繼續(xù)分割，做成一個圓內接正十二邊形、正二十四邊形……按照這樣的思路，劉徽把圓內接正多邊形的周長一直算到了正3 072邊形，并因此而求得了圓周率為3.141 5和3.141 6這兩個近似數(shù)值，最后還指出“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”。

正因為劉徽不滿足于已有的結論，才會孜孜不倦地進行探索。要進行如此精密的計算，在當時是一項極為細致而艱巨的腦力勞動，而且還需要日復一日地重復這種狀態(tài)，一個人要是沒有頑強的毅力，是完成不了這項工作的。教師利用數(shù)學史引入數(shù)學家故事，不僅可以為學生指明道路，而且對學生樹立遠大理想也起到了促進作用。數(shù)學家嚴謹治學的態(tài)度，堅持不懈、勇于探索的精神，能夠讓學生感到震撼，激勵學生攻堅克難、奮發(fā)圖強。

2. 對比探索成果，發(fā)展數(shù)學思維

數(shù)學史上有很多數(shù)學問題吸引了一位又一位數(shù)學家研究并完善。例如，教材五年級下冊“因數(shù)與倍數(shù)”時，教師可以以教學“哥德巴赫猜想”的發(fā)展為例培養(yǎng)學生的數(shù)學思維：早在1742年，德國數(shù)學家哥德巴赫就提出了這一著名的猜想“任何一個大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個質數(shù)之和”。當時很多數(shù)學家用舉例驗證的方法，發(fā)現(xiàn)結果都是正確的，但卻無法證明。直到1920年，挪威數(shù)學家布朗利用篩法證明了每一個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個質因數(shù)不超過9個的數(shù)之和，簡稱“9 + 9”；1948年匈牙利數(shù)學家蘭恩易開辟了另一種新方法，證明了“1 + 6”；1966年，我國數(shù)學家陳景潤證明了“1 + 2”，轟動了全世界，它與“哥德巴赫猜想”的“1 + 1”只有一步之遙。如今“互聯(lián)網(wǎng) + 數(shù)論”的新時代，哥德巴赫猜想的最終證明還有待我們繼續(xù)去探索。

教師要查閱相關文獻，研讀數(shù)學史，通過今昔對比，了解到數(shù)學家不滿足現(xiàn)有知識結論，多途徑、多角度、多樣化的解決策略，在分析問題時追求數(shù)學知識嚴密性的精神，數(shù)學發(fā)展才能攻克一個又一個難關。教師在“哥德巴赫猜想”發(fā)展史的研究中，發(fā)展數(shù)學思維并逐漸得出精密科學結論，同時滲透邏輯推理的思想，感受今昔對比，探尋未來，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力。

由此可見，教師研讀教材，挖掘數(shù)學知識背后的大背景，利用數(shù)學史深度思考、合理進行教學設計，對教師的專業(yè)發(fā)展起到了促進作用，對于激發(fā)學生數(shù)學學習的熱情、培養(yǎng)創(chuàng)新人才也有明顯的效果。

參考文獻：

［1］蔡天新. 數(shù)學的故事［M］. 北京：中信出版集團，2018.

［2］徐品方. 數(shù)學趣史［M］. 北京：科學出版社，2018.