基于多元智能的數(shù)學校本選修課程“四步”實施

【摘 要】 數(shù)學校本選修課程作為國家課程的拓展與補充，沒有高考壓力，在課程實施過程中內(nèi)部動機起著更為主導的作用，學生的多元優(yōu)勢智能得到更大程度的發(fā)揮.以《數(shù)學多棱鏡》第四章中“探秘經(jīng)典”單元—課時教學為例，通過“努力觸發(fā)燃點線”“精心打造共同體”“細致滋養(yǎng)生長點”“繽紛絢爛展示群”的“四步”課程實施，讓學生對“基本不等式”與“柯西不等式”的悠久歷史、相互關聯(lián)、幾何背景、代數(shù)詮釋、思想啟示進行深入探究，在此過程中學生的多元優(yōu)勢智能助推數(shù)理邏輯智能，推動學生的數(shù)學探究活動.

【關鍵詞】 校本選修;多元智能;“四步”實施;探秘經(jīng)典

1 問題緣起

數(shù)學校本選修課程作為國家課程的拓展與補充，其實施過程是以國家課程的實施為基本藍圖，但是又較之國家課程有學生更為廣闊的發(fā)揮發(fā)展空間，因為數(shù)學校本選修課程的實施更為自由靈活機動.國家課程以高考影響下的成績目標為導向，對于學生來講有很強的外部動機，而校本選修課程沒有高考的壓力，學生的表現(xiàn)更隨心而動，內(nèi)部動機起著更為主導的作用.在課程實施過程中，學生潛藏的多元智能得到更大程度的開發(fā)，用學生各種優(yōu)勢智能助推數(shù)理邏輯智能，引導學生用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維思考世界，用數(shù)學的語言描述世界.

2 多元智能理論基礎

霍華德加德納認為人的智能是一個復雜的綜合體，涵蓋語言智能、空間視覺智能、運動智能、音樂智能、數(shù)理邏輯智能、人際關系智能、自我認知智能、自然觀察者（博物學家）智能、存在智能.就智能的發(fā)展問題，加德納認為各種智能的發(fā)展存在不同的規(guī)律，但從整體而言主要有以下幾點：（1）對于某一個人來說，智能的發(fā)展是不平衡的.即每個人都有各自的智能強項和弱項.智能之間的不同組合表現(xiàn)出個體間的智能差異，即每個人都有自己的智能輪廓;（2）智能的發(fā)展受教育和文化環(huán)境的影響很大.通過教育培養(yǎng)可以提高人的智能，即人的多元智能發(fā)展水平的高低關鍵在于后天的開發(fā);（3）不同智能顯現(xiàn)出來的年齡存在明顯差異，應有意識捕捉不同智能發(fā)展的最佳時機;（4）不同智能之間存在相互影響，如“瓶頸效應”“補償效應”“催化效應”.

3 《數(shù)學多棱鏡》的“四步”課程實施

筆者基于多元智能理論開發(fā)的校本選修課程命名為《數(shù)學多棱鏡》，之所以命名為《數(shù)學多棱鏡》，是因為筆者將課程分為“數(shù)海覓蹤，學無止境，多思古今，棱角分明，鏡像萬千”五部分，每部分的課程各具特色.“數(shù)海覓蹤”側(cè)重對國家課程里的內(nèi)容二次挖掘;“學無止境”側(cè)重學生的奇思妙想;“多思古今”側(cè)重從數(shù)學史的角度探究高中數(shù)學中的某些內(nèi)容;“棱角分明”側(cè)重對經(jīng)典公式定理的來龍去脈進行探究;“鏡像萬千”側(cè)重數(shù)學與實際生活的緊密聯(lián)系.綜合基于多元智能的校本選修課程實施可以分為“四步”：點燃、構建、深潛、共享.下面筆者以第四章中“探秘經(jīng)典”的單元—課時教學為例，談談數(shù)學校本選修課程的“四步”實施.

3.1 點燃：努力觸發(fā)燃點線

在一般的數(shù)學學習中，學生的數(shù)學學習往往是被教師提出的問題或任務驅(qū)動，而筆者追求的校本選修課程在實施過程中，希望由學生自主自發(fā)地發(fā)現(xiàn)問題.提出一個問題往往比解決一個問題更重要，因為解決問題也許僅是一個技能而已，而提出新的問題、新的可能性或者從新的角度去看舊的問題，卻需要有創(chuàng)造性的想象力，而且標志著科學的真正進步.在“探秘經(jīng)典”課程實施的起始階段，筆者意圖讓學生自己尋找感興趣并且想探究的問題.數(shù)學中有很多經(jīng)典的公式、定理、不等式與性質(zhì)等，所謂的“經(jīng)典”，可以從不同角度詮釋，學生心目中的“經(jīng)典”有他們自己的詮釋.教師設計問卷調(diào)查學生心目中的“經(jīng)典”，統(tǒng)計結(jié)果表明學生對“經(jīng)典不等式”感興趣，因此筆者就將“經(jīng)典”定位在不等式的研究上.進而筆者讓學生選擇心目的“經(jīng)典不等式”，很多學生都選擇“基本不等式”和“柯西不等式”，于是讓學生自己制定研究計劃，點燃探究火花，觸發(fā)思維燃點線.學生通過討論達成共識，制定了以下的研究計劃，盡可能全面揭示“基本不等式”與“柯西不等式”的經(jīng)典之處.

學生對于制定這樣的探究計劃給出了自己的理由：首先這兩個不等式之所以經(jīng)典因其具有深厚的歷史底蘊，其次它們的經(jīng)典之處表現(xiàn)為“經(jīng)典”與“經(jīng)典”之間往往存在千絲萬縷的聯(lián)系，再次它們的經(jīng)典之處應該體現(xiàn)為具有非常好的“數(shù)形結(jié)合”屬性，最后它們的經(jīng)典之處在于蘊含在其中的思想方法具有推廣價值與意義.燃點線的觸發(fā)與研究計劃的制定是一個調(diào)動學生自我認知智能與人際關系智能的過程，當然數(shù)理邏輯智能依然占據(jù)主導地位，而其他智能對數(shù)理邏輯智能的輔助與助推作用也顯得尤為關鍵.3.2 構建：精心打造共同體

從高考的角度看，數(shù)學需要獨立思考，因此在國家課程的實施過程中，教師更多地是鼓勵學生對問題進行獨立思考和自主探究.但從辯證角度看，事物總有兩方面，如果片面地強調(diào)獨立思考，容易閉門造車或出現(xiàn)“當局者迷”的情況，從某種程度上限制了學生多元智能發(fā)展的空間.作為國家課程補充的校本選修課程沒有高考壓力，可以充分發(fā)揮數(shù)學學習共同體的強大功能.精心打造的學習共同體要體現(xiàn)“同組異質(zhì)”.從智能角度講就是同組的學生盡量擁有不同的優(yōu)勢智能，這樣的學習共同體具有兩種基本功能：（1）社會強化：建立學習共同體是滿足學習者的自尊和歸屬感需要的重要途徑，這里的自尊與歸屬感也體現(xiàn)在智能的自尊與歸屬感;（2）信息交流：學習者與輔導者進行交流，同時又與同伴進行交流和合作，共同建構知識、分享知識、智能互補.

在“探秘經(jīng)典”實施過程中，學習共同體內(nèi)部均進行了不同程度的分工，綜合起來基本都是按照學生的智能優(yōu)勢進行分工.擁有語言優(yōu)勢智能的學生側(cè)重挖掘與查詢歷史淵源，擁有自然觀察者優(yōu)勢智能的學生側(cè)重研究兩者的關聯(lián)，擁有空間視覺智能優(yōu)勢的學生側(cè)重研究幾何解釋，擁有數(shù)理邏輯優(yōu)勢智能的學生側(cè)重研究代數(shù)詮釋，擁有自我認知優(yōu)勢智能的學生側(cè)重研究思想啟示，而擁有人際關系優(yōu)勢智能的學生負責綜合各類研究，與眾人磨合，形成展示成果，最終進行匯報的人員可以是擁有數(shù)理邏輯優(yōu)勢智能與語言優(yōu)勢智能的“組合”.

3.3 深潛：細致滋養(yǎng)生長點

針對學生制定的研究計劃和共同體分工，筆者為學生的研究活動滋養(yǎng)幾個生長點，讓學生的數(shù)學思維、素養(yǎng)伴隨著多元智能經(jīng)歷頓悟、破土而出.3.3.1 經(jīng)典之“中西方數(shù)學發(fā)展的比較”

中西方數(shù)學文化有著各具特色的發(fā)展歷史與特征，我國古代數(shù)學擁有璀璨的文化，值得學生去追溯，比較中西方關于兩個經(jīng)典不等式的研究特色與區(qū)別.

（1）基本不等式西方對于基本不等式的研究比較早，公元前6世紀，畢達哥拉斯學派已經(jīng)知道算術中項、幾何中項以及調(diào)和中項，畢氏學派的哲學家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項，并把幾何中項小于等于算術中項叫做基本不等式.歐幾里得在《幾何原本》中給出了兩條已知線段之間的幾何中項的作圖方法，如圖1所示，以AB為直徑作半圓ADB，則CD即為AC和CB之間的幾何中項.歐幾里得之后，芝諾多魯斯在《論等周圖形》中給出命題：在邊數(shù)相同、周長相等的所有多邊形中，等邊且等角的多邊形的面積最大.在四邊形中便可以得到基本不等式.

我國對于基本不等式的研究最經(jīng)典的首推“趙爽弦圖”（如圖2所示），趙爽是公元3世紀三國時期東吳的數(shù)學家，趙爽弦圖的經(jīng)典之處在于他用截、割、拼、補來證明代數(shù)式之間的恒等關系勾股定理，而“基本不等式”也蘊含于趙爽弦圖中，趙爽在給《周髀算經(jīng)》作注時寫道：“以圖考之，倍弦實，滿外大方，而多黃實，即勾股差實.以差實減之，開其余，得外大方.大方之面，即勾股并也.”由此可以讓學生探究得到基本不等式.

（2）柯西不等式

也許學生會認為“柯西不等式”顧名思義是由柯西首次提出的，但是如果引導學生再細細查找蛛絲馬跡，便可發(fā)現(xiàn)兩個值得斟酌的問題.其一，從歷史角度講，柯西不等式應該稱為“柯西-布尼亞克夫斯基-施瓦茨不等式”，其原因值得學生追溯;其二，從我國歷史角度講，趙爽弦圖的變形圖（比如將趙爽弦圖中的正方形換成平行四邊形等）中也可以得到柯西不等式.

我國古代數(shù)學的風格是以形證數(shù)，數(shù)量關系與空間形式往往是形影不離地并肩發(fā)展著，十七世紀笛卡爾解析幾何的發(fā)展正是我國這種傳統(tǒng)思想和方法在幾百年停頓后的重現(xiàn)和繼續(xù).不妨可以對學生進行“立德樹人”的愛國主義教育：我國文化傳承于儒家中庸之道，一向比較低調(diào)含蓄，而且由于年代久遠，我國的很多數(shù)學研究成果未必能夠完整保存下來，所以有待于我們繼續(xù)去考證與發(fā)現(xiàn)我國古代璀璨的數(shù)學文化寶庫.

3.3.2 經(jīng)典之“兩者間關聯(lián)程度的摸索”

數(shù)學的發(fā)展告訴我們，不同的數(shù)學知識之間存在千絲萬縷的聯(lián)系，也正是這種聯(lián)系推動數(shù)學不斷的發(fā)展，學生相信“基本不等式”與“柯西不等式”兩大經(jīng)典不等式之間也存在必然的聯(lián)系.學生發(fā)現(xiàn)，對于二維柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，如果取c=d=1時，二維柯西不等式就是二維基本不等式a2+b2≥2ab;而對于三維柯西不等式（a21+a22+a23）（b21+b22+b23）≥（a1b1+a2b2+a3b3）2，如果取b1=b2=b3=1，三維柯西不等式就是基本不等式的變形a21+a22+a23≥a1a2+a2a3+a3a1;如果繼續(xù)將柯西不等式推廣到n維，依然可以找到與基本不等式之間的關聯(lián).

數(shù)學之間的關聯(lián)不僅僅體現(xiàn)在兩個經(jīng)典不等式橫向之間，也體現(xiàn)在兩個經(jīng)典不等式與不同知識內(nèi)容之間.兩個經(jīng)典不等式原本屬于代數(shù)領域研究的內(nèi)容，但是它們與其他代數(shù)領域的內(nèi)容、幾何領域的內(nèi)容都存在關聯(lián)，因此就有了以下兩個“經(jīng)典”：幾何背景與代數(shù)觀點.3.3.3 經(jīng)典之“多角度幾何背景的探究”

基本不等式與柯西不等式具有豐富的幾何背景，單從我國古代數(shù)學看，兩個不等式都可以與優(yōu)美幾何圖形緊密相連.隨著幾何學的深入學習，學生知道向量、復數(shù)都有幾何詮釋，還有完美體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的解析幾何，因此兩個經(jīng)典不等式與向量、復數(shù)、解析幾何都有深刻的關聯(lián).比如圖3所示，設平面直角坐標系中兩點A（a1，a2），B（b1，b2），則a=OA=（a1，a2），b=OB=（b1，b2），OD是O到直線BD的垂線段，OB是O到直線BD的斜線段，二維柯西不等式的一種幾何背景是：定點O到直線BD的垂線段OD比斜線段OB更短＼[1＼].3.3.4 經(jīng)典之“統(tǒng)一性代數(shù)觀點的整合”

從代數(shù)觀點看兩個經(jīng)典不等式也可以是多角度的整合，可以從不等式作差的角度、復數(shù)集內(nèi)的三角不等式角度、方程的角度、函數(shù)的角度，而不等式、方程、函數(shù)三者之間又存在重要關聯(lián)，這也是高中數(shù)學著重要研究和考查的內(nèi)容之一，顯示出數(shù)學內(nèi)部的和諧美與統(tǒng)一美.比如基本不等式與對勾函數(shù)的緊密聯(lián)系，而柯西不等式與某一個一元二次方程的判別式存在關聯(lián)，而且可以推廣到n維柯西不等式，從代數(shù)觀點，柯西不等式源于平方式非負的性質(zhì)，這與幾何中距離非負相對應.3.3.5 經(jīng)典之“合理化思想方法的推廣”

既然兩個經(jīng)典不等式有著如此悠久的歷史，有著如此默契的關聯(lián)，有著如此豐富的幾何背景，有著如此深刻的代數(shù)詮釋，那么我們不僅能夠運用這兩個經(jīng)典不等式解決很多的問題，而且能夠?qū)⑻N含其中的思想方法在解決問題上進行推廣應用，比如構造平面圖形解決問題，構造空間圖形解決問題，構造解析幾何圖形解決問題，構造函數(shù)解決問題，構造復數(shù)解決問題，構造向量解決問題等.3.4 共享：繽紛絢爛展示群

展示是校本選修課程實施的一個重要環(huán)節(jié)，經(jīng)過學習共同體對兩個經(jīng)典不等式的“深潛”，均有所斬獲，通過學習共同體的書面匯報，筆者發(fā)現(xiàn)，由于不同的學習共同體的主導優(yōu)勢智能有所不同，因此探究側(cè)重點也會有所不同，探究的深淺程度也有所不同.筆者根據(jù)不同學習共同體的優(yōu)勢與特點幫助他們選擇合適的展示點，由此形成繽紛絢爛的展示群.

通過展示，學生的多元智能得到可視化的體現(xiàn)，讓共同體內(nèi)的每一位學生的自我價值都得到體現(xiàn);通過展示，學習共同體內(nèi)部遺留的問題可以得到不同視角的釋疑，讓學習共同體走出固步自封的象牙塔，產(chǎn)生豁然開朗的頓悟;通過展示，會閃耀出教師意想不到的亮點，讓學生們驚嘆于“原來如此”，折服于同伴的智慧，充分印證了學生驚人的想象力與敏銳的觀察力;通過展示，匯聚成學生的過程作品集，這是學生多元智能相互推動的成果，記錄團隊精誠合作的歷程，形成學生深度學習的智慧結(jié)晶.

參考文獻

[1] 李尚志.柯西不等式之幾何白話版＼[J＼].高中數(shù)學教與學，2021（07）：41-43.

作者簡介 俞昕（1977—），女，浙江湖州人，正高級教師，碩士;主要研究數(shù)學文化、數(shù)學校本課程、多元智能等;有多篇論文發(fā)表.