從解析幾何角度看一類距離問題

【摘 要】 從將軍飲馬問題出發(fā)，以解析幾何的視角討論了定直線上一動點(diǎn)到直線外兩定點(diǎn)的距離之和、差、比、積問題，給出了具體的計算思路與過程.

【關(guān)鍵詞】 距離運(yùn)算;解析幾何;思路過程

1 從平面幾何角度提出問題

將軍飲馬問題有著悠久的歷史，它是平面幾何中的一個重要幾何模型，與其相關(guān)的內(nèi)容是各類考試考查的熱點(diǎn)，文[1]、文[2]對該問題及其推廣作了深入的探討，該問題的數(shù)學(xué)表述如下：

問題 已知l為平面內(nèi)一定直線，A，B為l同側(cè)的兩個定點(diǎn)，試在l上找到一個點(diǎn)P，使得PA+PB最小.

以下解法是大家所熟悉的：如圖1，作A點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′，連接線段A′B與直線l交于點(diǎn)P，則P點(diǎn)即為要找的點(diǎn)，理由是如果在l上任取其他一點(diǎn)P′，則

P′A+P′B=P′A′+P′B>A′B=PA′+PB=PA+PB，得證.

上述問題為一個動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)的距離之和問題，這與解析幾何中橢圓的定義有些相似，結(jié)合原圖象及橢圓的定義可知，相當(dāng)于要在以A，B為焦點(diǎn)的橢圓系中找出一個橢圓，該橢圓與直線l要有交點(diǎn)（這樣的橢圓有無數(shù)個），同時該交點(diǎn)到A，B的距離之和要最小，根據(jù)分析作出圖2，結(jié)合圖象可知，當(dāng)直線l與橢圓相切時，該切點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)P，理由如下：

根據(jù)橢圓的定義得PA+PB=CA+CB=2CA，P′A+P′B=DA+DB=2DA，顯然CA<DA，得證.

至此我們找到了另一種通過作圖來確定點(diǎn)P位置的方法，但該法無法求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而無法求得最終答案.為了解決這個問題，我們把通過定點(diǎn)A，B的直線作為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖3所示.

我們將在圖3的基礎(chǔ)之上來求解點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)一步，我們嘗試從解析幾何的角度解決幾個延伸出來的問題.

2 從解析幾何視角解決問題

后文2.1-2.3均假設(shè)A（-c，0），B（c，0），l：y=kx+m，這里c，k，m均為常數(shù)且k≠0.

2.1 橢圓視角下的距離之和問題

問題1 已知l為平面內(nèi)一定直線，A，B為l同側(cè)的兩個定點(diǎn)，點(diǎn)P為直線l上一動點(diǎn)，試求PA+PB的范圍，并確定點(diǎn)P的具體位置.

解 如圖4，不妨設(shè)P（x0，y0），橢圓方程為x2a2+y2b2=1，根據(jù)前面分析知PA+PB取最小值時直線l與橢圓切于點(diǎn)P，

則方程組y=kx+m，x0xa2+y0yb2=1表示同一條直線l，比較系數(shù)得

x0=-ka2m，y0=b2m. （1）

另一方面，我們有y0=kx0+m，a2-b2=c2. （2）

聯(lián)立（1）（2）得P-k（m2+c2）m（1+k2），m2-c2k2m（1+k2）.此時（PA+PB）min=2m2+c21+k2;而當(dāng)P趨于無窮遠(yuǎn)時，PA+PB趨于無窮大.綜上得（PA+PB）∈2m2+c21+k2，+∞.

2.2 雙曲線視角下的距離之差問題

問題2 已知l為平面內(nèi)一定直線，A，B為l同側(cè)的兩個定點(diǎn)，點(diǎn)P為直線l上一動點(diǎn)，試求PA-PB的范圍，并確定點(diǎn)P的具體位置.

解 如圖5，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊可知：P′A-P′B<AB=2c，去絕對值得-2c<P′A-P′B<2c，注意到當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時有PA-PB=-2c，因此（PA-PB）min=-2c，此時P-mk，0，那么它的上界是否就是2c呢？

如圖6，仿照前文思路知我們要在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線系中找出一條雙曲線，該雙曲線與直線l要有交點(diǎn)（這樣的雙曲線有無數(shù)條），同時該交點(diǎn)到A，B的距離之差PA-PB=DE要最大，這要求右頂點(diǎn)E盡可能地靠近右焦點(diǎn)B（雙曲線開口盡可能的?。?，觀察圖象知，當(dāng)直線l平行于雙曲線的其中一條漸近線時，點(diǎn)P位于直線l右上方無窮遠(yuǎn)處， 此時lPA∥lPB，滿足條件的雙曲線開口最小，且點(diǎn)E與點(diǎn)B的距離最近，在這種極限情況下有PA-PB=AC=ABcos∠BAC，注意到tan∠BAC=k，于是ABcos∠BAC=2c×11+k2=2c1+k2（小于2c）.注意到上面極限的情況取不到等號，因此PA-PB∈-2c，2c1+k2.2.3 阿氏圓視角下的距離之比問題

問題3 已知l為平面內(nèi)一定直線，A，B為l同側(cè)的兩個定點(diǎn)，點(diǎn)P為直線l上一動點(diǎn)，試求PAPB的范圍，并確定點(diǎn)P的具體位置.

在解決該問題前，先介紹以下兩個結(jié)論：

結(jié)論1 如圖7，平面內(nèi)到兩定點(diǎn)A，B的距離值之比為定值k（k≠1）的點(diǎn)P形成的軌跡為一個圓，該圓G即著名的阿波羅尼斯圓.特別的，CACB=k（這里C為圓與直線AB的交點(diǎn)），其中A，B互為該圓的反演點(diǎn)，滿足 GC2=GA×GB.

結(jié)論2 如圖8，A，B兩點(diǎn)為其對應(yīng)的阿波羅尼斯圓G的反演點(diǎn)，那么通過A，B兩點(diǎn)的所有圓系G′均與圓G正交，即SG⊥SG′（這里S為兩圓交點(diǎn)）.

結(jié)論1的證明在各期刊與書籍上已屢見不鮮，本文從略，結(jié)論2的證明如下：

根據(jù)結(jié)論1知GC2=GA×GB，又GS=GC，從而GS2=GA×GB，由于S也在圓G′上，故GS為圓G′的一條切線段，即SG⊥SG′，得證.

回到問題3，該題相當(dāng)于要在以A，B作為反演點(diǎn)的阿氏圓系G中找出一個圓，該圓要與直線l有交點(diǎn)（這樣的圓有無數(shù)個），同時該交點(diǎn)到A，B的距離之比PAPB要最?。ㄗ畲螅鞒鰣D9、圖10可知：當(dāng)圓G與直線l相切時，切點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)P，理由如下：

在圖9中，PAPB=CACB，P′AP′B=C′AC′B，根據(jù)圖象知CACB<C′AC′B，因此切點(diǎn)P滿足PAPB為最小值;同理，在圖10中的切點(diǎn)P滿足PAPB為最大值.

到此為止，PAPB范圍兩端的點(diǎn)P的位置都已經(jīng)確定，但如何求出坐標(biāo)呢？以PAPB取最小值的情況為例，

如圖11，根據(jù)結(jié)論2知，PG為通過A，B的圓系G′的切線段，即PG⊥PG′，又PG⊥直線l，故圓心G′在直線l上;另一方面，圓心G′顯然又落在線段AB的中垂線y軸上，由此我們得到一個以直線l與y軸的交點(diǎn)G′為圓心，G′A為半徑的圓，我們要找的點(diǎn)P即圓G′與直線l的交點(diǎn).

將上述找點(diǎn)過程整理并簡化：如圖12，以直線l與y軸的交點(diǎn)G′為圓心，G′A為半徑作圓，則直線l與圓G′的兩個交點(diǎn)P1，P2就是使得PAPB取到最小、最大值的兩個點(diǎn)，注意到G′的坐標(biāo)為（0，m），A的坐標(biāo)為（-c，0），且G′A=G′P1=G′P2，則

（0+c）2+（m-0）2=1+k2xP1-0=1+k20-xP2.

解得xP1=-m2+c21+k2，xP2=m2+c21+k2，將其代回直線方程得到P1，P2縱坐標(biāo)，最后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即得距離之比的范圍.

注 上述三個問題中，直線l的斜率k=0與k不存在的情況比較簡單，留給讀者思考;另外，當(dāng)A，B為l異側(cè)的兩個定點(diǎn)時，只需根據(jù)對稱性將其中一個點(diǎn)對稱到l另一邊，即轉(zhuǎn)化為了上述三個問題中的情形，本文不再展開.2.4 卡西尼卵形線視角下的距離之積問題

問題4 已知l為平面內(nèi)一定直線，A，B為l同側(cè)的兩個定點(diǎn)，點(diǎn)P為直線l上一動點(diǎn)，

試求PA×PB的范圍，并確定點(diǎn)P的具體位置.

分析 顯然PA×PB的值可以趨于無窮大，故只需考慮PA×PB的最小值，我們知道，平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)的距離之積為定值的點(diǎn)形成的軌跡為卡西尼卵形線，仿照前文的思路，結(jié)合圖象知，當(dāng)直線l與卡西尼卵形線相切時，該切點(diǎn)即為滿足最小值的點(diǎn)P，如圖13所示.但是，雖然點(diǎn)P的位置確定了，但由于卡西尼卵形線的方程比較復(fù)雜，沒有一般的切線方程表達(dá)式，因此計算過程將十分繁瑣，經(jīng)過思考筆者重新建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系（如圖14），試圖通過簡化點(diǎn)P的坐標(biāo)（讓yP=0）來計算得到結(jié)果.

解 如圖14，通過建系使得直線l為x軸，A（-a，b），B（a，c）（讓A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相反，簡化運(yùn)算），設(shè)l上的動點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（x，0），則

PA×PB=（x+a）2+b2×（x-a）2+c2=x4+（b2+c2-2a2）x2+2a（c2-b2）x+（a2+b2）（a2+c2）.

令f（x）=x4+（b2+c2-2a2）x2+2a（c2-b2）x+（a2+b2）（a2+c2），則

f′（x）=4x3+2（b2+c2-2a2）x+2a（c2-b2）

=4[x3+b2+c2-2a22x+a（c2-b2）2].

令f′（x）=0，即x3+b2+c2-2a22x+a（c2-b2）2=0.

令p=b2+c2-2a22，q=a（c2-b2）2，根據(jù)卡丹三次方程求根公式得上述方程的零點(diǎn)，也即原函數(shù)的極值點(diǎn)（實(shí)根）：x1=3-q2+p327+q24，x2=3-q2-p327+q24，經(jīng)驗(yàn)證后代回原函數(shù)求出最小值即可.3 從整體觀點(diǎn)看待幾何的關(guān)聯(lián)

初中平面幾何中的將軍飲馬模型、圓冪定理、托勒密定理等著名模型或定理，若能合理地應(yīng)用到高中解析幾何（立體幾何）的解題之中，則可巧妙地減少計算量，節(jié)約大量的運(yùn)算時間，關(guān)于這方面的研究已有很多;反過來，從解析幾何的角度看待平面幾何問題，目前則仍以通過建系來解決各類平面幾何難題為主，只有部分競賽生對其有較深了解與體會.從數(shù)學(xué)史的發(fā)展角度來看，平面幾何的建立與完善遠(yuǎn)早于解析幾何，而解析幾何的發(fā)展與平面幾何緊密相連，它是在平面幾何的基礎(chǔ)上逐漸成熟的.實(shí)際上，若能從解析幾何的角度重新審視歷史長河中的經(jīng)典平面幾何問題，則可讓初高中之間的幾何知識有一個雙向的流動與運(yùn)用，這是一種高觀點(diǎn)下研學(xué)的有益嘗試，這種嘗試與合理運(yùn)用高等數(shù)學(xué)知識，巧妙架構(gòu)初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的橋梁并居高臨下看待高考題有著異曲同工之妙.

參考文獻(xiàn)

[1] 徐宏.變的是形式 不變的是本質(zhì)——例談一類幾何最值問題＼[J＼].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2017（06）：53-56.

[2] 扈保洪.“將軍飲馬”型問題的一種推廣＼[J＼].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2016（06）：51-53.

作者簡介 樓思遠(yuǎn)（1989—），男，浙江義烏人，中學(xué)高級教師，全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽優(yōu)秀教練員;主要研究數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)競賽;發(fā)表論文20余篇.