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    一題兩空題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與命題途徑

    2022-05-28 14:02:53黃翠云
    關(guān)鍵詞:結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

    【摘 要】 “一題兩空”題的兩空得分模式有利于提高低水平考生的得分,有利于區(qū)分出高水平的考生,同時(shí)能夠更加精確地發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科考試的區(qū)分選拔功能.本文從“一題兩空”題的結(jié)構(gòu)、特點(diǎn)及命題實(shí)踐等三個(gè)方面談一下思考和認(rèn)識(shí).

    【關(guān)鍵詞】 一題兩空;結(jié)構(gòu)特點(diǎn);命題途徑

    “一題兩空”題是填空題的一種,是近年出現(xiàn)在高考或各地模擬試題中的一種新題型,相對(duì)于單空題,“一題兩空”題的兩空得分模式有利于提高低水平考生的得分,有利于區(qū)分出高水平的考生,同時(shí)能夠更加精確地發(fā)揮數(shù)學(xué)科考試的區(qū)分選拔功能,因而深受廣大師生的關(guān)注和歡迎.因此,重視對(duì)“一題兩空”題這一題型的研究很有必要.

    1 “一題兩空”題的結(jié)構(gòu)

    “一題兩空”題是將4個(gè)填空題中的一個(gè),由原來(lái)的一個(gè)空改為了兩個(gè)空,一般安排在填空題的壓軸或次壓軸題的位置. “一題兩空”題的分值仍為5分,兩個(gè)空一個(gè)2分一個(gè)3分,題后括號(hào)內(nèi)的注釋語(yǔ)為“第一空2分,第二空3分.”

    2 “一題兩空”題的特點(diǎn)

    “一題兩空”題設(shè)置的兩個(gè)空,一般前一個(gè)空較簡(jiǎn)單,后一個(gè)空要難于前一個(gè)空,無(wú)論是哪一個(gè)空答對(duì)都能得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù),不象單空題那樣答錯(cuò)即失去全部分?jǐn)?shù),因而“一題兩空”題相對(duì)于單空題有更高的得分率,增進(jìn)考生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的獲得感,也更精準(zhǔn)地測(cè)試和區(qū)分了不同層次考生的數(shù)學(xué)能力水平,增強(qiáng)考試的信度和效度.

    3 “一題兩空”題的命題途徑

    近期筆者多次參與了數(shù)學(xué)原創(chuàng)卷的命題和審題工作,在命題實(shí)踐中認(rèn)識(shí)到“一題兩空”題主要有下面幾種命題途徑.3.1 一題多答命題

    這一類型的“一題兩空”題就是設(shè)置同一個(gè)問題的不同結(jié)果分別填在兩個(gè)空中,其本質(zhì)是將單空題的一個(gè)空拆分為兩個(gè)空,但相比單空題將結(jié)果填在一個(gè)空中,增加了考生的得分機(jī)率.這在多空題的命題中極少出現(xiàn)的一種類型.

    例1 已知拋物線E:y2=8x的焦點(diǎn)為F,過F的直線l與E交于A,B兩點(diǎn),若AB=3FB,則l的方程為或? .(每條橫線上只寫一個(gè)可能結(jié)果)

    解析 依題意可知F(2,0),l的斜率k存在.

    設(shè)l的方程為y=k(x-2),分別過A,B兩點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線l′的垂線,垂足為M,N.

    設(shè)FB=t,則FA=2t,AB=3t.

    由拋物線的定義得|AM|=FA=2t,|BN|=FB=t.

    在直角梯形AMNB中,cos∠MAB=AM-BNAB=2t-t3t=13,從而tan∠MAB=22,即為l的斜率.而由對(duì)稱性可知,-22也是l的斜率,故l的方程為y=22(x-2)和y=-22(x-2),故填22x-y-42=0;22x+y-42=0.

    點(diǎn)評(píng) 本題填寫的其實(shí)是一個(gè)題的兩個(gè)不同結(jié)果,如果是單空題,漏寫一個(gè)結(jié)果就不能得分,而作為“一題兩空”題,一是暗示了題目的結(jié)論有兩個(gè)結(jié)果,二是即使只想到一個(gè)結(jié)果,填對(duì)的話也能至少得2分.

    3.2 并列分答命題

    這一類型的“一題兩空”題就是在同樣題設(shè)條件下,設(shè)置有同樣解題思路和過程,解答不同結(jié)論要求的問題,兩空分答,將解答結(jié)果分別填在兩個(gè)空中.這在“一題兩空”題的命題中較少出現(xiàn)的一種類型.

    例2 某校體育節(jié)10名旗手的身高分別為:175.0,178.0,176.0,180.0,179.0,175.0,176.0,178.0,180.0,179.0,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為;第80百分位數(shù)為.

    解析 把10個(gè)樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序,可得175.0,175.0,176.0,176.0,178.0,178.0,179.0,179.0,180.0,180.0,所以中位數(shù)為178.0+178.02=178.0.

    由80%×10=8,可知樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為179.0+180.02=179.5.

    點(diǎn)評(píng) 該題在同一個(gè)統(tǒng)計(jì)背景下命制,考查樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和第80百分位數(shù)是并列的兩個(gè)結(jié)論,作答后分別填空即可.

    例3 平面四邊形ABCD中,AB⊥BC,AB=3,AD=BC=4,CD=41,將△DAC沿AC折起到△PAC的位置,使得平面PAC⊥平面ABC,則此時(shí)三棱錐P-ABC的體積為;三棱錐P-ABC的外接球的表面積為.

    解析 由AB⊥BC,AB=3,BC=4,解得AC=5.

    又AD=4,CD=41,所以AC2+AD2=CD2,即AC⊥AD.如圖1,故折起后,PA⊥AC.

    又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,所以PA⊥平面ABC,PC為外接球的直徑.

    所以三棱錐P-ABC的體積為13·S△ABC·PA=13×12×3×4×4=8.

    外接球的表面積為4π·4122=41π.

    點(diǎn)評(píng) 本題是以四邊形的折疊為背景命制并列結(jié)論的立體幾何問題,旨在考查空間的直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系,也考查二面角的概念及運(yùn)算,考查運(yùn)算求解能力,空間想象能力和邏輯推理能力.3.3 拓展同答命題

    這一類型的“一題兩空”題就是設(shè)置同樣題設(shè)背景,兩個(gè)空是特殊與一般的關(guān)系,第二空是第一空的推廣與拓展.解答時(shí)按第二空的一般情形進(jìn)行作答,得到結(jié)論后取第二空中的特殊情況即得到第一空的答案.

    例4 一塊三棱錐形狀的余料P-ABC,其三條側(cè)棱PA,PB,PC兩兩垂直.現(xiàn)需將其切割成直三棱柱,使得直三棱柱的側(cè)棱與原三棱錐的一條側(cè)棱平行或重合.若PA=4,PB=4,PC=4,則切割得到的直三棱柱的最大體積為? ;不失一般性,若PA=a,PB=b,PC=c,則切割得到的直三棱柱的最大體積為? .(結(jié)果用a,b,c表示,其中a,b,c為正實(shí)數(shù),第一空2分,第二空3分)

    解析 先考慮頂點(diǎn)位置,如圖2,若直三棱柱EJG-PKI上底面的頂點(diǎn)J沒有落在棱AB上,總可以將EJ延長(zhǎng)交棱AB于點(diǎn)F,

    過點(diǎn)F作PA的平行線交PB于點(diǎn)H,得到新的三棱柱EFG-PHI,新三棱柱EFG-PHI的體積比原三棱柱EJG-PKI的體積大,其他上底面頂點(diǎn)同理.若要直三棱柱的體積最大,則上底面三個(gè)頂點(diǎn)均落在相應(yīng)的棱上.

    因?yàn)榈酌鍱FG∥底面PBC,所以△EFG∽△PBC.

    設(shè)EFPB=x,則EGPC=x,EPPA=1-x,0<x<1.

    于是EF=bx,EG=cx,EP=a(1-x),故三棱柱EFG-PHI的體積為V=12bx·cx·a1-x=abc2(-x3+x2).

    設(shè)f(x)=-x3+x2,0<x<1,則f′(x)=-3x2+2x=x(2-3x).

    由f′(x)>0,得0<x<23;由f′(x)<0,得x<0或x>23,

    故f(x)在0,23上單調(diào)遞增,在23,1上單調(diào)遞減,

    所以當(dāng)x=23時(shí),f(x)取得最大值,且最大值為f23=427.

    從而體積最大值為2abc27.

    若a=b=c=4,則最大體積為12827.

    點(diǎn)評(píng) 本題將三棱錐切割成直三棱柱,通過這一變換,設(shè)出變量,構(gòu)造函數(shù)模型,利用導(dǎo)數(shù)求得體積最大值.3.4 遞進(jìn)逐答命題

    這一類型的“一題兩空”題就是設(shè)置同樣題設(shè)條件,有密切聯(lián)系的兩個(gè)空,第二空的解答需要借助第一個(gè)空的結(jié)果才能完成,第一空是基礎(chǔ)和關(guān)鍵,這樣第一空解答完成且結(jié)果正確的情況下,第二空才能順勢(shì)作答獲取正確的結(jié)果.這是在“一題兩空”題的命題中出現(xiàn)最多的一種類型.

    例5 已知函數(shù)f(x)=xex-ax2,若曲線y=f(x)在點(diǎn)(-1,f(-1))處的切線與直線2x-y-6=0平行,則實(shí)數(shù)a=;函數(shù)g(x)=f(x)+ax2的極值點(diǎn)為. (第一空2分,第二空3分)

    解析 因?yàn)閒(x)=xex-ax2,所以f′(x)=ex+xex-2ax=(x+1)ex-2ax,所以f′(-1)=2a.

    由題意,得2a=2,所以a=1.

    g(x)=xex,則g′(x)=(x+1)ex.

    令g′(x)<0,得x<-1;令g′(x)>0,得x>-1.

    故函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-1),單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,+∞).

    又g′(-1)=0,所以函數(shù)g(x)的極小值點(diǎn)為x=-1,無(wú)極大值點(diǎn).

    故填:1,x=-1.

    點(diǎn)評(píng) 本題遞進(jìn)型兩空命制,考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、極值點(diǎn)的概念及導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,考查導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用.該題若第一空做不出來(lái)或解答錯(cuò)誤,就會(huì)影響到第二空的解答和結(jié)果的正確與否.

    例6 已知函數(shù)y=x2-2x-1的圖象與直線y=m(m∈R)有四個(gè)交點(diǎn),且這四個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a,b,c,d且滿足a<b<c<d,則a+b+c+d=;2(d-a)+(c-b)的最大值為.(第一空2分,第二空3分)

    解析 在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=|x2-2x-1|與直線y=m的圖象,如圖3.

    由圖象并結(jié)合函數(shù)y=x2-2x-1,易知a+d2=b+c2=1,所以a+d=b+c=2,故a+b+c+d=4.

    由題意,知a,d是方程x2-2x-1=m的兩根,b,c是方程x2-2x-1=-m的兩根,由一元二次方程的求根公式易得d-a=22+m,c-b=22-m,且0<m<2,

    所以2(d-a)+(c-b)=2(22+m+2-m),0<m<2.

    設(shè)φ(m)=2(22+m+2-m),0<m<2.

    由φ′(m)=22-m-2+m4-m2=0,解得m=65.

    當(dāng)0<m<65時(shí),φ′(m)>0,當(dāng)65<m<2時(shí),φ′(m)<0,

    所以函數(shù)φ(m)在0,65上單調(diào)遞增,在65,2上單調(diào)遞減,所以當(dāng)m=65時(shí),φ(m)取得最大值,且最大值為φ65=45,故2(d-a)+(c-b)的最大值為45.

    故填:4,45.

    點(diǎn)評(píng) 本題以函數(shù)圖象相交為背景命制的遞進(jìn)型試題,綜合考查函數(shù)圖象、函數(shù)與方程的關(guān)系,一元二次方程的求根公式、構(gòu)造函數(shù)、求導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用等知識(shí).3.5 異問各答命題

    這一類型的“一題兩空”題相當(dāng)于設(shè)置同樣題設(shè)條件的兩道小填空題,兩空之間沒有什么直接聯(lián)系,互不干擾,各自成題,是對(duì)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)或某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的多個(gè)角度的考查,即使有一空答不出來(lái),照樣可以完成另一空的作答.

    例7 如圖4,已知線段AB的長(zhǎng)度為10,AB上的兩個(gè)定點(diǎn)C,D滿足AC=BD=1.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著AB向點(diǎn)D移動(dòng),到達(dá)點(diǎn)D后停止移動(dòng).在點(diǎn)P移動(dòng)過程中作如下操作:先以點(diǎn)P為圓心,PA,PB的長(zhǎng)為半徑分別作兩個(gè)圓心角均為60°的扇形,再將兩個(gè)扇形分別圍成兩個(gè)圓錐的側(cè)面.若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)移動(dòng)3秒,左、右兩個(gè)扇形的周長(zhǎng)之比為 ;若設(shè)點(diǎn)P的移動(dòng)時(shí)間為t(秒),兩個(gè)圓錐的底面面積之和為S,則S的最小值為 .(第一個(gè)空2分,第二個(gè)空3分)圖4

    解析 先解答第一空:當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)移動(dòng)3秒,此時(shí)PA=4,PB=6.

    所以左側(cè)扇形的弧長(zhǎng)為π3×4=4π3,所以左側(cè)扇形的周長(zhǎng)為4+4+4π3=8+4π3.

    右側(cè)扇形的弧長(zhǎng)為π3×6=2π,所以右側(cè)扇形的周長(zhǎng)為6+6+2π=12+2π.

    所以左、右兩個(gè)扇形的周長(zhǎng)之比為8+4π312+2π=13(24+4π)12+2π=23.

    再解答第二空:先用關(guān)于t的式子表示出兩個(gè)扇形的半徑,根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng)求出兩個(gè)圓錐底面圓的半徑,最后列出兩個(gè)圓錐底面積之和關(guān)于t的二次函數(shù)關(guān)系式,求得最小值.

    因?yàn)锳B=10,AC=BD=1,所以CD=10-1-1=8.

    因?yàn)镻C=t(0≤t≤8),所以PA=t+1,PB=8-t+1=9-t.

    設(shè)圍成的左、右兩個(gè)圓錐底面圓的半徑分別為r,R,則2πr=π3(t+1),2πR=π3(9-t),解得r=t+16,R=9-t6,所以S=πt+162+π9-t62=π36(t2+2t+1)+π36(t2-18t+81)=π18(t2-8t+41).

    所以當(dāng)t=4∈[0,8]時(shí),S有最小值,且最小值為25π18.

    點(diǎn)評(píng) 試題以點(diǎn)的移動(dòng)為背景,考查扇形的周長(zhǎng)、面積公式,圓錐的側(cè)面展開圖,圓錐的側(cè)面積公式、二次函數(shù)的最值等知識(shí)的應(yīng)用.兩空的解答各自獨(dú)立、互不影響.

    4 結(jié)束語(yǔ)

    4.1 數(shù)學(xué)多空題的引入,無(wú)疑對(duì)數(shù)學(xué)高考卷堅(jiān)持基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的考查要求,科學(xué)把握試題的區(qū)分度,全面體現(xiàn)數(shù)學(xué)科高考的選拔性功能等方面,都發(fā)揮積極、良好的導(dǎo)向作用.作為數(shù)學(xué)教師,無(wú)論是新高考地區(qū)還是非新高考地區(qū)、無(wú)論是起始年級(jí)還是畢業(yè)年級(jí)的,都應(yīng)深入地研究這一新題型在指導(dǎo)數(shù)學(xué)教與學(xué)所潛在的結(jié)構(gòu)、功能和類型特點(diǎn),以發(fā)揮這一新題型更大的教學(xué)效益[1].

    4.2 參與多空題的命題實(shí)踐,既能提高數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng),促進(jìn)專業(yè)發(fā)展,又能使教師很好地把握題型特點(diǎn)和規(guī)律,更能有的放矢地指導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)備考.因此,數(shù)學(xué)教師應(yīng)多做一些命題實(shí)踐工作,不斷提高個(gè)人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、專業(yè)發(fā)展和命題水平[1].

    參考文獻(xiàn)

    [1] 李寒.多選題的結(jié)構(gòu)、特點(diǎn)及命題途徑樜談[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志,2021(03):56-59.

    作者簡(jiǎn)介 黃翠云(1980—),女,山東青島人,中學(xué)一級(jí)教師;曾獲得即墨區(qū)教育教學(xué)優(yōu)勝個(gè)人,即墨區(qū)三八紅旗手,獲青島市優(yōu)質(zhì)課比賽二等獎(jiǎng);主要研究中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué);有多篇論文發(fā)表.

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