一題兩空題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與命題途徑

【摘 要】 “一題兩空”題的兩空得分模式有利于提高低水平考生的得分，有利于區(qū)分出高水平的考生，同時(shí)能夠更加精確地發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科考試的區(qū)分選拔功能.本文從“一題兩空”題的結(jié)構(gòu)、特點(diǎn)及命題實(shí)踐等三個(gè)方面談一下思考和認(rèn)識(shí).

【關(guān)鍵詞】 一題兩空;結(jié)構(gòu)特點(diǎn);命題途徑

“一題兩空”題是填空題的一種，是近年出現(xiàn)在高考或各地模擬試題中的一種新題型，相對(duì)于單空題，“一題兩空”題的兩空得分模式有利于提高低水平考生的得分，有利于區(qū)分出高水平的考生，同時(shí)能夠更加精確地發(fā)揮數(shù)學(xué)科考試的區(qū)分選拔功能，因而深受廣大師生的關(guān)注和歡迎.因此，重視對(duì)“一題兩空”題這一題型的研究很有必要.

1 “一題兩空”題的結(jié)構(gòu)

“一題兩空”題是將4個(gè)填空題中的一個(gè)，由原來(lái)的一個(gè)空改為了兩個(gè)空，一般安排在填空題的壓軸或次壓軸題的位置. “一題兩空”題的分值仍為5分，兩個(gè)空一個(gè)2分一個(gè)3分，題后括號(hào)內(nèi)的注釋語(yǔ)為“第一空2分，第二空3分.”

2 “一題兩空”題的特點(diǎn)

“一題兩空”題設(shè)置的兩個(gè)空，一般前一個(gè)空較簡(jiǎn)單，后一個(gè)空要難于前一個(gè)空，無(wú)論是哪一個(gè)空答對(duì)都能得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù)，不象單空題那樣答錯(cuò)即失去全部分?jǐn)?shù)，因而“一題兩空”題相對(duì)于單空題有更高的得分率，增進(jìn)考生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的獲得感，也更精準(zhǔn)地測(cè)試和區(qū)分了不同層次考生的數(shù)學(xué)能力水平，增強(qiáng)考試的信度和效度.

3 “一題兩空”題的命題途徑

近期筆者多次參與了數(shù)學(xué)原創(chuàng)卷的命題和審題工作，在命題實(shí)踐中認(rèn)識(shí)到“一題兩空”題主要有下面幾種命題途徑.3.1 一題多答命題

這一類型的“一題兩空”題就是設(shè)置同一個(gè)問題的不同結(jié)果分別填在兩個(gè)空中，其本質(zhì)是將單空題的一個(gè)空拆分為兩個(gè)空，但相比單空題將結(jié)果填在一個(gè)空中，增加了考生的得分機(jī)率.這在多空題的命題中極少出現(xiàn)的一種類型.

例1 已知拋物線E：y2=8x的焦點(diǎn)為F，過F的直線l與E交于A，B兩點(diǎn)，若AB=3FB，則l的方程為或? .（每條橫線上只寫一個(gè)可能結(jié)果）

解析 依題意可知F（2，0），l的斜率k存在.

設(shè)l的方程為y=k（x-2），分別過A，B兩點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線l′的垂線，垂足為M，N.

設(shè)FB=t，則FA=2t，AB=3t.

由拋物線的定義得|AM|=FA=2t，|BN|=FB=t.

在直角梯形AMNB中，cos∠MAB=AM-BNAB=2t-t3t=13，從而tan∠MAB=22，即為l的斜率.而由對(duì)稱性可知，-22也是l的斜率，故l的方程為y=22（x-2）和y=-22（x-2），故填22x-y-42=0;22x+y-42=0.

點(diǎn)評(píng) 本題填寫的其實(shí)是一個(gè)題的兩個(gè)不同結(jié)果，如果是單空題，漏寫一個(gè)結(jié)果就不能得分，而作為“一題兩空”題，一是暗示了題目的結(jié)論有兩個(gè)結(jié)果，二是即使只想到一個(gè)結(jié)果，填對(duì)的話也能至少得2分.

3.2 并列分答命題

這一類型的“一題兩空”題就是在同樣題設(shè)條件下，設(shè)置有同樣解題思路和過程，解答不同結(jié)論要求的問題，兩空分答，將解答結(jié)果分別填在兩個(gè)空中.這在“一題兩空”題的命題中較少出現(xiàn)的一種類型.

例2 某校體育節(jié)10名旗手的身高分別為：175.0，178.0，176.0，180.0，179.0，175.0，176.0，178.0，180.0，179.0，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為;第80百分位數(shù)為.

解析 把10個(gè)樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序，可得175.0，175.0，176.0，176.0，178.0，178.0，179.0，179.0，180.0，180.0，所以中位數(shù)為178.0+178.02=178.0.

由80%×10=8，可知樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為179.0+180.02=179.5.

點(diǎn)評(píng) 該題在同一個(gè)統(tǒng)計(jì)背景下命制，考查樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和第80百分位數(shù)是并列的兩個(gè)結(jié)論，作答后分別填空即可.

例3 平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AB=3，AD=BC=4，CD=41，將△DAC沿AC折起到△PAC的位置，使得平面PAC⊥平面ABC，則此時(shí)三棱錐P-ABC的體積為;三棱錐P-ABC的外接球的表面積為.

解析 由AB⊥BC，AB=3，BC=4，解得AC=5.

又AD=4，CD=41，所以AC2+AD2=CD2，即AC⊥AD.如圖1，故折起后，PA⊥AC.

又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，所以PA⊥平面ABC，PC為外接球的直徑.

所以三棱錐P-ABC的體積為13·S△ABC·PA=13×12×3×4×4=8.

外接球的表面積為4π·4122=41π.

點(diǎn)評(píng) 本題是以四邊形的折疊為背景命制并列結(jié)論的立體幾何問題，旨在考查空間的直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，也考查二面角的概念及運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，空間想象能力和邏輯推理能力.3.3 拓展同答命題

這一類型的“一題兩空”題就是設(shè)置同樣題設(shè)背景，兩個(gè)空是特殊與一般的關(guān)系，第二空是第一空的推廣與拓展.解答時(shí)按第二空的一般情形進(jìn)行作答，得到結(jié)論后取第二空中的特殊情況即得到第一空的答案.

例4 一塊三棱錐形狀的余料P-ABC，其三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直.現(xiàn)需將其切割成直三棱柱，使得直三棱柱的側(cè)棱與原三棱錐的一條側(cè)棱平行或重合.若PA=4，PB=4，PC=4，則切割得到的直三棱柱的最大體積為? ;不失一般性，若PA=a，PB=b，PC=c，則切割得到的直三棱柱的最大體積為? .（結(jié)果用a，b，c表示，其中a，b，c為正實(shí)數(shù)，第一空2分，第二空3分）

解析 先考慮頂點(diǎn)位置，如圖2，若直三棱柱EJG-PKI上底面的頂點(diǎn)J沒有落在棱AB上，總可以將EJ延長(zhǎng)交棱AB于點(diǎn)F，

過點(diǎn)F作PA的平行線交PB于點(diǎn)H，得到新的三棱柱EFG-PHI，新三棱柱EFG-PHI的體積比原三棱柱EJG-PKI的體積大，其他上底面頂點(diǎn)同理.若要直三棱柱的體積最大，則上底面三個(gè)頂點(diǎn)均落在相應(yīng)的棱上.

因?yàn)榈酌鍱FG∥底面PBC，所以△EFG∽△PBC.

設(shè)EFPB=x，則EGPC=x，EPPA=1-x，0<x<1.

于是EF=bx，EG=cx，EP=a（1-x），故三棱柱EFG-PHI的體積為V=12bx·cx·a1-x=abc2（-x3+x2）.

設(shè)f（x）=-x3+x2，0<x<1，則f′（x）=-3x2+2x=x（2-3x）.

由f′（x）>0，得0<x<23;由f′（x）<0，得x<0或x>23，

故f（x）在0，23上單調(diào)遞增，在23，1上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=23時(shí)，f（x）取得最大值，且最大值為f23=427.

從而體積最大值為2abc27.

若a=b=c=4，則最大體積為12827.

點(diǎn)評(píng) 本題將三棱錐切割成直三棱柱，通過這一變換，設(shè)出變量，構(gòu)造函數(shù)模型，利用導(dǎo)數(shù)求得體積最大值.3.4 遞進(jìn)逐答命題

這一類型的“一題兩空”題就是設(shè)置同樣題設(shè)條件，有密切聯(lián)系的兩個(gè)空，第二空的解答需要借助第一個(gè)空的結(jié)果才能完成，第一空是基礎(chǔ)和關(guān)鍵，這樣第一空解答完成且結(jié)果正確的情況下，第二空才能順勢(shì)作答獲取正確的結(jié)果.這是在“一題兩空”題的命題中出現(xiàn)最多的一種類型.

例5 已知函數(shù)f（x）=xex-ax2，若曲線y=f（x）在點(diǎn)（-1，f（-1））處的切線與直線2x-y-6=0平行，則實(shí)數(shù)a=;函數(shù)g（x）=f（x）+ax2的極值點(diǎn)為. （第一空2分，第二空3分）

解析 因?yàn)閒（x）=xex-ax2，所以f′（x）=ex+xex-2ax=（x+1）ex-2ax，所以f′（-1）=2a.

由題意，得2a=2，所以a=1.

g（x）=xex，則g′（x）=（x+1）ex.

令g′（x）<0，得x<-1;令g′（x）>0，得x>-1.

故函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1），單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，+∞）.

又g′（-1）=0，所以函數(shù)g（x）的極小值點(diǎn)為x=-1，無(wú)極大值點(diǎn).

故填：1，x=-1.

點(diǎn)評(píng) 本題遞進(jìn)型兩空命制，考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、極值點(diǎn)的概念及導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用.該題若第一空做不出來(lái)或解答錯(cuò)誤，就會(huì)影響到第二空的解答和結(jié)果的正確與否.

例6 已知函數(shù)y=x2-2x-1的圖象與直線y=m（m∈R）有四個(gè)交點(diǎn)，且這四個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a，b，c，d且滿足a<b<c<d，則a+b+c+d=;2（d-a）+（c-b）的最大值為.（第一空2分，第二空3分）

解析 在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=|x2-2x-1|與直線y=m的圖象，如圖3.

由圖象并結(jié)合函數(shù)y=x2-2x-1，易知a+d2=b+c2=1，所以a+d=b+c=2，故a+b+c+d=4.

由題意，知a，d是方程x2-2x-1=m的兩根，b，c是方程x2-2x-1=-m的兩根，由一元二次方程的求根公式易得d-a=22+m，c-b=22-m，且0<m<2，

所以2（d-a）+（c-b）=2（22+m+2-m），0<m<2.

設(shè)φ（m）=2（22+m+2-m），0<m<2.

由φ′（m）=22-m-2+m4-m2=0，解得m=65.

當(dāng)0<m<65時(shí)，φ′（m）>0，當(dāng)65<m<2時(shí)，φ′（m）<0，

所以函數(shù)φ（m）在0，65上單調(diào)遞增，在65，2上單調(diào)遞減，所以當(dāng)m=65時(shí)，φ（m）取得最大值，且最大值為φ65=45，故2（d-a）+（c-b）的最大值為45.

故填：4，45.

點(diǎn)評(píng) 本題以函數(shù)圖象相交為背景命制的遞進(jìn)型試題，綜合考查函數(shù)圖象、函數(shù)與方程的關(guān)系，一元二次方程的求根公式、構(gòu)造函數(shù)、求導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用等知識(shí).3.5 異問各答命題

這一類型的“一題兩空”題相當(dāng)于設(shè)置同樣題設(shè)條件的兩道小填空題，兩空之間沒有什么直接聯(lián)系，互不干擾，各自成題，是對(duì)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)或某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的多個(gè)角度的考查，即使有一空答不出來(lái)，照樣可以完成另一空的作答.

例7 如圖4，已知線段AB的長(zhǎng)度為10，AB上的兩個(gè)定點(diǎn)C，D滿足AC=BD=1.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著AB向點(diǎn)D移動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)D后停止移動(dòng).在點(diǎn)P移動(dòng)過程中作如下操作：先以點(diǎn)P為圓心，PA，PB的長(zhǎng)為半徑分別作兩個(gè)圓心角均為60°的扇形，再將兩個(gè)扇形分別圍成兩個(gè)圓錐的側(cè)面.若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)移動(dòng)3秒，左、右兩個(gè)扇形的周長(zhǎng)之比為 ;若設(shè)點(diǎn)P的移動(dòng)時(shí)間為t（秒），兩個(gè)圓錐的底面面積之和為S，則S的最小值為 .（第一個(gè)空2分，第二個(gè)空3分）圖4

解析 先解答第一空：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)移動(dòng)3秒，此時(shí)PA=4，PB=6.

所以左側(cè)扇形的弧長(zhǎng)為π3×4=4π3，所以左側(cè)扇形的周長(zhǎng)為4+4+4π3=8+4π3.

右側(cè)扇形的弧長(zhǎng)為π3×6=2π，所以右側(cè)扇形的周長(zhǎng)為6+6+2π=12+2π.

所以左、右兩個(gè)扇形的周長(zhǎng)之比為8+4π312+2π=13（24+4π）12+2π=23.

再解答第二空：先用關(guān)于t的式子表示出兩個(gè)扇形的半徑，根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng)求出兩個(gè)圓錐底面圓的半徑，最后列出兩個(gè)圓錐底面積之和關(guān)于t的二次函數(shù)關(guān)系式，求得最小值.

因?yàn)锳B=10，AC=BD=1，所以CD=10-1-1=8.

因?yàn)镻C=t（0≤t≤8），所以PA=t+1，PB=8-t+1=9-t.

設(shè)圍成的左、右兩個(gè)圓錐底面圓的半徑分別為r，R，則2πr=π3（t+1），2πR=π3（9-t），解得r=t+16，R=9-t6，所以S=πt+162+π9-t62=π36（t2+2t+1）+π36（t2-18t+81）=π18（t2-8t+41）.

所以當(dāng)t=4∈[0，8]時(shí)，S有最小值，且最小值為25π18.

點(diǎn)評(píng) 試題以點(diǎn)的移動(dòng)為背景，考查扇形的周長(zhǎng)、面積公式，圓錐的側(cè)面展開圖，圓錐的側(cè)面積公式、二次函數(shù)的最值等知識(shí)的應(yīng)用.兩空的解答各自獨(dú)立、互不影響.

4 結(jié)束語(yǔ)

4.1 數(shù)學(xué)多空題的引入，無(wú)疑對(duì)數(shù)學(xué)高考卷堅(jiān)持基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的考查要求，科學(xué)把握試題的區(qū)分度，全面體現(xiàn)數(shù)學(xué)科高考的選拔性功能等方面，都發(fā)揮積極、良好的導(dǎo)向作用.作為數(shù)學(xué)教師，無(wú)論是新高考地區(qū)還是非新高考地區(qū)、無(wú)論是起始年級(jí)還是畢業(yè)年級(jí)的，都應(yīng)深入地研究這一新題型在指導(dǎo)數(shù)學(xué)教與學(xué)所潛在的結(jié)構(gòu)、功能和類型特點(diǎn)，以發(fā)揮這一新題型更大的教學(xué)效益[1].

4.2 參與多空題的命題實(shí)踐，既能提高數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，促進(jìn)專業(yè)發(fā)展，又能使教師很好地把握題型特點(diǎn)和規(guī)律，更能有的放矢地指導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)備考.因此，數(shù)學(xué)教師應(yīng)多做一些命題實(shí)踐工作，不斷提高個(gè)人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、專業(yè)發(fā)展和命題水平[1].

參考文獻(xiàn)

[1] 李寒.多選題的結(jié)構(gòu)、特點(diǎn)及命題途徑樜談[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2021（03）：56-59.

作者簡(jiǎn)介 黃翠云（1980—），女，山東青島人，中學(xué)一級(jí)教師;曾獲得即墨區(qū)教育教學(xué)優(yōu)勝個(gè)人，即墨區(qū)三八紅旗手，獲青島市優(yōu)質(zhì)課比賽二等獎(jiǎng);主要研究中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué);有多篇論文發(fā)表.