• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    讓類比聯(lián)想成為數(shù)學解題的催化劑

    2022-05-28 14:02:53張鳳麗
    中學數(shù)學雜志(高中版) 2022年3期
    關鍵詞:數(shù)學解題催化劑

    【摘 要】 本文以一道清華大學中學生標準學術(shù)能力測試題為例,從5個視角運用類比聯(lián)想,用9種突破方法解答問題,進而體會在解決一些數(shù)學問題時,合理地運用“類比聯(lián)想”可成為問題解決的“催化劑”.【關鍵詞】 類比聯(lián)想;數(shù)學解題;催化劑

    類比聯(lián)想法是指由某一事物的觸發(fā)而引起和該事物在性質(zhì)上或形態(tài)上相似事物的聯(lián)想.在數(shù)學學習中,類比聯(lián)想是一種重要的思維活動,它不僅能夠幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論,而且能為我們提供解題思路和方向.這正象著名數(shù)學家歐拉所說“類比是偉大的引路人”.在數(shù)學解題教學中,以類比聯(lián)想進行組織教學,不僅可以復習已有的知識,而且還在獲得新知的過程中加深對已有知識的理解,引起聯(lián)想,促進記憶,啟發(fā)思維,有助于培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和探索發(fā)現(xiàn)能力.因此,在數(shù)學解題教學中,應重視類比聯(lián)想的教學,讓類比聯(lián)想成為數(shù)學解題的催化劑.本文以清華大學中學生標準學術(shù)能力(THUSSAT) 2021年11月新高考診斷性測試第8題的解法為例來說明類比聯(lián)想在數(shù)學解題中的“催化劑”作用.

    1 試題呈現(xiàn)

    已知x,y滿足x2+y2=4y-3,則3x+yx2+y2的最大值為(? ).

    A.1? B.2? C.3 ??D.5

    2 試題簡析

    該題看似無從著手,難以找到解答的思路和方向,但若仔細分析已知條件或所求結(jié)論中式子的結(jié)構(gòu)特征,類比聯(lián)想有關的數(shù)學定義、公式、模型等,可幫助我們迅速找到解決問題的突破口.

    3 解法探究

    類比聯(lián)想1 將目標式平方(3x+y)2x2+y2=3x2+23xy+y2x2+y2,由結(jié)構(gòu)特征類比聯(lián)想“齊二次分式”Ax2+Bxy+Cy2Dx2+Exy+Fy2,分子、分母同時除以x2,轉(zhuǎn)化為關于λ=yx的一元函數(shù)問題求解.

    解析 設z=3x+yx2+y2,

    當x=0時,z=1;

    當x≠0時,則z2=(3x+y)2x2+y2=3x2+23xy+y2x2+y2=3+23yx+yx21+yx2.

    令λ=yx,則z2=3+23λ+λ21+λ2.

    下面首先求λ的范圍,可有幾何法和判別式法兩種;然后用導數(shù)法和函數(shù)單調(diào)性法兩種求z2的最值.這樣求λ范圍的方法與求z2最值的方法兩兩搭配,可有下面四種突破方法.

    解法1 由x2+y2=4y-3,得x2+(y-2)2=1,其圖形是以(0,2)為圓心,1為半徑的圓,而λ=yx表示圓上的點與坐標原點連線的斜率.

    設過原點的直線方程為y=λx,即λx-y=0,若直線與圓相切,則|-2|λ2+1=1,解得λ=±3.故λ≤-3或λ≥3.

    由z2=3+23λ+λ21+λ2,構(gòu)造函數(shù)f(λ)=

    3+23λ+λ21+λ2=1+2+23λ1+λ2(λ≤-3或λ≥3).

    所以f′(λ)=23(1+λ2)-(2+23λ)·2λ(1+λ2)2=-23λ2-4λ+23(1+λ2)2=-2(3λ-1)(λ+3)(1+λ2)2,

    當λ≤-3時,f′(λ)≤0,當λ≥3時,f′(λ)<0,所以f(λ)在(-∞,-3]和[3,+∞)上均為減函數(shù).

    又f(-3)=0,f(3)=3,且λ→-∞時,f(λ)→1,λ→+∞時,f(λ)→1,故當λ=3時,f(λ)取得最大值3,所以z=3x+yx2+y2的最大值為3.故選C.

    解法2 聯(lián)立方程,得y=λx,x2+y2=4y-3,消去y整理得(1+λ2)x2-4λx+3=0.由Δ=(-4λ)2-4(1+λ2)×3≥0,解得λ≤-3或λ≥3.

    以下同解法1.

    解法3 由解法1,得λ≤-3或λ≥3.

    由z2=3+23λ+λ21+λ2,構(gòu)造函數(shù)f(λ)=3+23λ+λ21+λ2=1+211+λ2+3λ1+λ2=1+211+λ2+31λ+λ(λ≤-3或λ≥3).

    易知當λ≥3時,1+λ2和1λ+λ均單調(diào)遞增,所以11+λ2和3λ1+λ2均單調(diào)遞減,所以函數(shù)f(λ)在[3,+∞)上單調(diào)遞減.當λ≤-3時,由于f(-3)=0,且λ→-∞時,f(λ)→1.

    故當λ=3時,f(λ)取得最大值3,所以z=3x+yx2+y2的最大值為3.故選C.

    解法4 由解法2,得λ≤-3或λ≥3.

    以下同解法3.類比聯(lián)想2 由已知方程的變形x2+(y-2)2=1和目標式中x2+y2的結(jié)構(gòu)特征,類比聯(lián)想同角三角函數(shù)的平方關系sin2θ+cos2θ=1,可以分別利用三角換元,將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題.

    首先從已知條件中的方程出發(fā)進行三角換元來突破.

    解法5 由x2+y2=4y-3,得x2+(y-2)2=1.

    令x=cosθ,y-2=sinθ,即x=cosθ,y=sinθ+2,θ∈[0,2π],所以z=3x+yx2+y2=3cosθ+sinθ+2cos2θ+sinθ+22=3cosθ+sinθ+24sinθ+5,所以z2=(3cosθ+sinθ+2)24sinθ+5.

    令f(θ)=(3cosθ+sinθ+2)24sinθ+5,θ∈[0,2π],

    所以f′(θ)=2(3cosθ+sinθ+2)(-3sinθ+cosθ)(4sinθ+5)-(3cosθ+sinθ+2)2·4cosθ(4sinθ+5)2=

    23cosθ+sinθ+2(-43sin2θ+4sinθcosθ-53sinθ+5cosθ-23cos2θ-2sinθcosθ-4cosθ)(4sinθ+5)2=23cosθ+sinθ+2(-23sin2θ+2sinθcosθ-53sinθ+cosθ-23)(4sinθ+5)2=23cosθ+sinθ+2[-32sin2θ+5sinθ+2+cosθ2sinθ+1](4sinθ+5)2=-23cosθ+sinθ+22sinθ+1(3sinθ-cosθ+23)(4sinθ+5)2.

    因為3cosθ+sinθ+2≥0,3sinθ-cosθ+23>0,所以若2sinθ+1≥0,即sinθ≥-12,此時θ∈0,7π6∪11π6,2π,f′(θ)<0,所以f(θ)在0,7π6和11π6,2π上單調(diào)遞減.

    當2sinθ+1<0,即sinθ<-12,此時θ∈7π6,11π6,f′(θ)>0,所以f(θ)在7π6,11π6上單調(diào)遞增;

    所以當θ=7π6時,f(θ)有極小值為f7π6=0,當θ=11π6時,f(θ)有極大值為f11π6=3.

    又f0=f2π=(3+2)25=7+435∈(0,3).

    故當θ=11π6時,f(θ)取得最大值3,所以z=3x+yx2+y2的最大值為3.故選C.

    解法5思路清晰,但運用導數(shù),求導和整理過程運算量較大.下面再從目標式出發(fā)進行三角換元來突破.

    解法6 設x2+y2=r(r>0),則令x=rcosθ,y=rsinθ,θ∈[0,2π].

    所以z=3x+yx2+y2=3rcosθ+rsinθr=3cosθ+sinθ=2sinθ+π3.

    將x=rcosθ,y=rsinθ代入已知條件中的方程x2+y2=4y-3,得(rcosθ)2+(rsinθ)2=4(rsinθ)-3,即r2-4rsinθ+3=0,所以sinθ=r2+34r=14r+3r.

    由二元均值不等式,得r+3r≥23,當且僅當r=3r,即r=3時取等號,所以sinθ≥234=32.

    因為θ∈[0,2π],所以π3≤θ≤2π3,所以2π3≤θ+π3≤π,所以0≤sinθ+π3≤32,即0≤2sinθ+π3≤3.

    所以z=3x+yx2+y2的最大值為3.故選C.類比聯(lián)想3 將目標式變形3x+yx2+y2=3×xx2+y2+yx2+y2,由結(jié)構(gòu)特征,類比聯(lián)想正弦函數(shù)的定義sinθ=yx2+y2和余弦函數(shù)的定義cosθ=xx2+y2,從而挖掘問題所隱含的三角特征,利用三角函數(shù)知識突破.

    解法7 設A(x,y)為圓x2+y2=4y-3,即x2+(y-2)2=1上任一點,O是坐標原點,記∠xOA=θ,則由正弦、余弦的三角函數(shù)定義得cosθ=xx2+y2,sinθ=yx2+y2,所以3x+yx2+y2=3×xx2+y2+yx2+y2=3cosθ+sinθ=2sinθ+π3.

    易知,當OA與圓x2+y2=4y-3相切時,θ分別取得最小值為π3,最大值為2π3,所以π3≤θ≤2π3,所以2π3≤θ+π3≤π,所以0≤sinθ+π3≤32,所以0≤2sinθ+π3≤3.

    所以3x+yx2+y2的最大值為3.故選C.類比聯(lián)想4 由目標式的變形3x+yx2+y2=3·x+1·yx2+y2的結(jié)構(gòu)特征,類比聯(lián)想兩向量夾角的坐標公式:cosθ=x1x2+y1y2x12+y12·x22+y22,構(gòu)造向量,利用向量的數(shù)量積運算并數(shù)形結(jié)合突破.

    解法8 由3x+yx2+y2=3·x+1·yx2+y2,設OA=(x,y),OB=(3,1),則3x+yx2+y2=3·x+1·yx2+y2=OA·OBOA=|OA|OB|cos∠AOBOA=|OB|cos∠AOB=2cos∠AOB.

    如圖1,A(x,y)為圓x2+y2=4y-3上的點,當OA與圓在右側(cè)相切時,∠AOB=π6,A32,32,

    此時cos∠AOB取得最大值,所以3x+yx2+y2≤2cosπ6=3.

    所以3x+yx2+y2的最大值為3.故選C.類比聯(lián)想5 由目標式的變形|3x+y|x2+y2=2×|3x+y|(3)2+12x2+y2的結(jié)構(gòu)特征,類比聯(lián)想兩點間的距離公式和點到直線的距離公式,從而挖掘問題中所隱含的幾何特征,利用幾何法突破.

    解法9 由|3x+y|x2+y2=2×|3x+y|(3)2+12x2+y2,設A(x,y)為圓x2+y2=4y-3上的點,則x2+y2表示點A與原點O(0,0)之間的距離,|3x+y|(3)2+12表示點A到直線3x+y=0的距離.

    如圖2,易知直線3x+y=0與圓x2+y2=4y-3相切,過點A作直線3x+y=0的垂線,垂足為H,則|3x+y|x2+y2=2×|3x+y|(3)2+12x2+y2=2·AHOA=2sin∠AOH,顯然當OA在右側(cè)與圓x2+y2=4y-3相切時,sin∠AOH最大,此時易求得∠AOH=π3,所以sin∠AOH的最大值為sinπ3=32,所以3x+yx2+y2的最大值為2×32=3.故選C.4 結(jié)語4.1 有些數(shù)學問題,貌似無從著手,難以找到解答的思路和方向,但若仔細分析已知條件或所求結(jié)論中式子的結(jié)構(gòu)特征,類比聯(lián)想相關的數(shù)學定義、公式、模型等,挖掘問題所蘊含的數(shù)學本質(zhì),可幫助我們迅速找到解決問題的突破口,從而快捷地解決問題.上面這道清華大學中學生標準學術(shù)能力測試題,就是從5個視角運用類比聯(lián)想、9種突破方法解答的.從中我們可以體會到,在解決許多數(shù)學問題時,若能合理地運用“類比聯(lián)想”,可成為問題解決的“催化劑”.

    4.2 若想更好地運用類比聯(lián)想解決問題,既要有一雙善于觀察、分析的慧眼,能夠從問題的結(jié)構(gòu)特征中類比聯(lián)想相關知識對象和模型,又需要從解題的思想方法、思維策略等層面尋求內(nèi)在聯(lián)系,同時,平時還要注意多儲存、多積累數(shù)學知識模型和解題經(jīng)驗.英國數(shù)學家懷特·海德說過:“數(shù)學是從模式化的個體作抽象的過程中對模式的研究.”[1]羅增儒教授也說過:“學習數(shù)學的過程中,所積累的知識經(jīng)驗經(jīng)過加工,會得出有長久保存價值或基本重要性的典型結(jié)構(gòu)與重要題型——模式,將其有意識地記憶下來.當遇到一個新問題時,我們辨認它屬于哪一類基本模式,聯(lián)想起一個已解決問題以此索引,在記憶存儲中抽取相應的方法來解決,這就是模式識別的解題策略.”[1]如果對平時的問題善于總結(jié)、積累,那么在以后解題時,就可以迅速將新問題通過類比聯(lián)想轉(zhuǎn)化為已掌握的類型.如上面解答測試題的每一種方法都是建立在以前已有的解題模式、經(jīng)驗基礎上,產(chǎn)生聯(lián)系,運用類比聯(lián)想,問題得以突破的.

    參考文獻

    [1] 尹承利.滲透“直觀想象”素養(yǎng) 求解函數(shù)熱點問題\[J\].數(shù)學通訊(上半月),2019(07),41-43.

    作者簡介 張鳳麗(1977—),女,山東泰安人,中學高級教師,現(xiàn)任泰安市岱岳區(qū)高中數(shù)學教研員;教學教研成績突出,被評為“泰山教壇英才”“泰安市學科帶頭人”,多次獲得市優(yōu)秀教師、市級優(yōu)質(zhì)課一等獎等;主要從事高中數(shù)學教育教學等方面的研究;發(fā)表多篇論文.

    猜你喜歡
    數(shù)學解題催化劑
    直接轉(zhuǎn)化CO2和H2為甲醇的新催化劑
    鋁鎳加氫催化劑在BDO裝置運行周期的探討
    中學數(shù)學解題反思策略探討
    未來英才(2016年14期)2017-01-12 16:06:25
    數(shù)形結(jié)合在解題中的應用
    考試周刊(2016年86期)2016-11-11 07:55:59
    高中數(shù)學解題策略教學的實施途徑分析
    考試周刊(2016年61期)2016-08-16 18:16:02
    新型釩基催化劑催化降解氣相二噁英
    學生數(shù)學解題心理性錯誤例析
    考試周刊(2016年30期)2016-05-28 09:18:06
    “望聞問切”在數(shù)學解題中的巧用
    考試周刊(2016年26期)2016-05-26 20:25:00
    淺論高中生數(shù)學能力的培養(yǎng)
    考試周刊(2016年26期)2016-05-26 20:23:42
    掌握情欲催化劑
    Coco薇(2016年2期)2016-03-22 02:45:06
    国产精品香港三级国产av潘金莲| 成人亚洲精品av一区二区| 精品久久久久久久久久免费视频| 久久香蕉精品热| 精华霜和精华液先用哪个| or卡值多少钱| 精品无人区乱码1区二区| 欧美最黄视频在线播放免费| 亚洲全国av大片| 国产精品一区二区三区四区久久| 中国美女看黄片| 亚洲第一欧美日韩一区二区三区| 成人高潮视频无遮挡免费网站| 日本五十路高清| 久久精品综合一区二区三区| 日本一区二区免费在线视频| 中文字幕高清在线视频| 人人妻,人人澡人人爽秒播| 国产欧美日韩精品亚洲av| 国产精华一区二区三区| 啦啦啦观看免费观看视频高清| 久久香蕉精品热| 丰满的人妻完整版| 国产亚洲av嫩草精品影院| www.精华液| 欧美激情久久久久久爽电影| 久久99热这里只有精品18| 亚洲aⅴ乱码一区二区在线播放 | 亚洲精品在线美女| 老汉色av国产亚洲站长工具| 国产成人aa在线观看| 一级毛片女人18水好多| 91字幕亚洲| 床上黄色一级片| 欧美色视频一区免费| 黑人欧美特级aaaaaa片| 少妇粗大呻吟视频| 90打野战视频偷拍视频| 欧美3d第一页| 国产成+人综合+亚洲专区| 亚洲真实伦在线观看| videosex国产| aaaaa片日本免费| 色综合婷婷激情| 波多野结衣高清无吗| 久久久国产精品麻豆| 亚洲成人久久爱视频| 啦啦啦韩国在线观看视频| 三级国产精品欧美在线观看 | 久久九九热精品免费| 亚洲天堂国产精品一区在线| 麻豆久久精品国产亚洲av| 亚洲精品色激情综合| 久久性视频一级片| 国产1区2区3区精品| 一进一出抽搐gif免费好疼| 长腿黑丝高跟| 亚洲成a人片在线一区二区| 中文资源天堂在线| 国产不卡一卡二| 日韩av在线大香蕉| 国产高清videossex| 麻豆成人av在线观看| 他把我摸到了高潮在线观看| 久久香蕉激情| 久久久久免费精品人妻一区二区| 男人舔女人下体高潮全视频| 一本久久中文字幕| 亚洲av中文字字幕乱码综合| 欧美av亚洲av综合av国产av| 一级片免费观看大全| 午夜成年电影在线免费观看| 夜夜看夜夜爽夜夜摸| 久久久久久久久久黄片| 黄色片一级片一级黄色片| 久久久久久久久中文| 波多野结衣高清无吗| 欧美性猛交╳xxx乱大交人| e午夜精品久久久久久久| 欧美日韩国产亚洲二区| 男女做爰动态图高潮gif福利片| 一级片免费观看大全| 日韩欧美国产在线观看| 搡老熟女国产l中国老女人| 人人妻人人澡欧美一区二区| 一个人观看的视频www高清免费观看 | 18禁黄网站禁片免费观看直播| 黄色视频,在线免费观看| 夜夜夜夜夜久久久久| 无限看片的www在线观看| 精华霜和精华液先用哪个| 一个人观看的视频www高清免费观看 | 欧美极品一区二区三区四区| 全区人妻精品视频| 宅男免费午夜| 非洲黑人性xxxx精品又粗又长| 久久久久免费精品人妻一区二区| 午夜a级毛片| 一边摸一边抽搐一进一小说| 久久 成人 亚洲| 亚洲av成人不卡在线观看播放网| 亚洲一码二码三码区别大吗| 欧美国产日韩亚洲一区| 精品电影一区二区在线| 法律面前人人平等表现在哪些方面| 搞女人的毛片| av欧美777| 久久久久国内视频| 在线国产一区二区在线| 一a级毛片在线观看| 精品久久久久久久末码| 亚洲精品av麻豆狂野| 精品人妻1区二区| 搡老妇女老女人老熟妇| 正在播放国产对白刺激| 久久欧美精品欧美久久欧美| 成人午夜高清在线视频| 精品国内亚洲2022精品成人| 成人三级黄色视频| 久久精品91无色码中文字幕| 一级毛片高清免费大全| 国产高清激情床上av| 一本久久中文字幕| 韩国av一区二区三区四区| 精华霜和精华液先用哪个| a级毛片在线看网站| 黑人欧美特级aaaaaa片| 精品久久久久久,| 夜夜爽天天搞| 天堂av国产一区二区熟女人妻 | 欧美色视频一区免费| 午夜日韩欧美国产| 国产免费av片在线观看野外av| 久久九九热精品免费| 看黄色毛片网站| 亚洲成人精品中文字幕电影| 一本一本综合久久| 中文资源天堂在线| 88av欧美| 特大巨黑吊av在线直播| 三级国产精品欧美在线观看 | 国产97色在线日韩免费| 欧美精品亚洲一区二区| 久久久久久大精品| 国产av一区在线观看免费| 色哟哟哟哟哟哟| 天天添夜夜摸| 午夜久久久久精精品| 一进一出抽搐gif免费好疼| 香蕉丝袜av| 蜜桃久久精品国产亚洲av| 成人特级黄色片久久久久久久| 黄色视频不卡| 亚洲avbb在线观看| 91字幕亚洲| 两个人视频免费观看高清| 午夜久久久久精精品| 18禁观看日本| 两个人视频免费观看高清| 久久午夜综合久久蜜桃| 日韩免费av在线播放| 亚洲av第一区精品v没综合| 国产片内射在线| 99久久久亚洲精品蜜臀av| 亚洲九九香蕉| 国产成人av激情在线播放| 亚洲精品在线观看二区| 18禁裸乳无遮挡免费网站照片| 国产精品电影一区二区三区| 草草在线视频免费看| 1024手机看黄色片| 免费无遮挡裸体视频| 国产高清视频在线观看网站| 欧美日韩亚洲国产一区二区在线观看| 国产精品久久久久久久电影 | www.999成人在线观看| 日本一区二区免费在线视频| 手机成人av网站| 午夜福利18| 日日干狠狠操夜夜爽| 中出人妻视频一区二区| 国产精品一区二区三区四区免费观看 | 国产视频一区二区在线看| 欧美日韩中文字幕国产精品一区二区三区| 久久久久精品国产欧美久久久| 18禁观看日本| 黄片大片在线免费观看| netflix在线观看网站| 久久这里只有精品中国| 国产日本99.免费观看| 777久久人妻少妇嫩草av网站| 老汉色av国产亚洲站长工具| 欧美一级毛片孕妇| 91字幕亚洲| 亚洲国产欧美一区二区综合| 91九色精品人成在线观看| 99久久精品热视频| 国产单亲对白刺激| 黄色 视频免费看| 国产黄色小视频在线观看| 中文在线观看免费www的网站 | 欧洲精品卡2卡3卡4卡5卡区| 日本五十路高清| 18禁裸乳无遮挡免费网站照片| 9191精品国产免费久久| 波多野结衣高清作品| 精品欧美一区二区三区在线| 日韩免费av在线播放| 啪啪无遮挡十八禁网站| 国产精品野战在线观看| 黄片小视频在线播放| 欧美黄色淫秽网站| 天天躁夜夜躁狠狠躁躁| 久久久久国内视频| 又黄又爽又免费观看的视频| 天天添夜夜摸| 99精品在免费线老司机午夜| 1024香蕉在线观看| 欧美日韩亚洲国产一区二区在线观看| 久久久久久人人人人人| 精品久久久久久久末码| 一二三四在线观看免费中文在| 亚洲av日韩精品久久久久久密| 国产成人啪精品午夜网站| 精品电影一区二区在线| 亚洲成av人片免费观看| 搞女人的毛片| 中文字幕熟女人妻在线| 国产精品电影一区二区三区| 18禁国产床啪视频网站| 亚洲avbb在线观看| 国产男靠女视频免费网站| 十八禁人妻一区二区| 亚洲一区二区三区不卡视频| 久久久久久国产a免费观看| 欧美中文综合在线视频| 在线视频色国产色| 国产麻豆成人av免费视频| 99国产精品一区二区三区| www.999成人在线观看| 成人三级做爰电影| 国产三级在线视频| 国产麻豆成人av免费视频| 精品少妇一区二区三区视频日本电影| 亚洲七黄色美女视频| 欧美最黄视频在线播放免费| 国产91精品成人一区二区三区| 两人在一起打扑克的视频| 久久香蕉精品热| 国产黄色小视频在线观看| 级片在线观看| 亚洲精品久久成人aⅴ小说| 18禁黄网站禁片午夜丰满| 午夜两性在线视频| 麻豆av在线久日| 国产午夜精品论理片| 中文字幕人妻丝袜一区二区| 欧洲精品卡2卡3卡4卡5卡区| 午夜福利欧美成人| 三级毛片av免费| 一区二区三区激情视频| 国产精品 国内视频| 9191精品国产免费久久| 亚洲av日韩精品久久久久久密| 黄色丝袜av网址大全| 在线视频色国产色| 99久久精品国产亚洲精品| 999久久久精品免费观看国产| 欧美zozozo另类| 国产成人精品久久二区二区免费| 国产一区二区在线av高清观看| 蜜桃久久精品国产亚洲av| 99国产极品粉嫩在线观看| 久久性视频一级片| 熟女电影av网| 最近最新免费中文字幕在线| 国内精品一区二区在线观看| 久久久久久大精品| 亚洲精品av麻豆狂野| 精品国产美女av久久久久小说| 欧美丝袜亚洲另类 | 精品乱码久久久久久99久播| 国产成人啪精品午夜网站| 国产三级在线视频| xxxwww97欧美| 大型黄色视频在线免费观看| 国产真实乱freesex| 亚洲精品一卡2卡三卡4卡5卡| 俄罗斯特黄特色一大片| 国产成人精品久久二区二区免费| 在线免费观看的www视频| 熟女少妇亚洲综合色aaa.| 91在线观看av| 国产三级黄色录像| 国产激情欧美一区二区| 五月玫瑰六月丁香| 91老司机精品| 国产成年人精品一区二区| 亚洲国产精品久久男人天堂| 国产又色又爽无遮挡免费看| 91麻豆av在线| 中文字幕人成人乱码亚洲影| 久久久久国产一级毛片高清牌| 波多野结衣高清无吗| 国产欧美日韩一区二区精品| 亚洲电影在线观看av| 亚洲国产欧美一区二区综合| 欧美精品亚洲一区二区| 亚洲黑人精品在线| 国内精品一区二区在线观看| 国产成人精品久久二区二区91| 国产精品亚洲美女久久久| 亚洲av日韩精品久久久久久密| 夜夜躁狠狠躁天天躁| 在线永久观看黄色视频| 久久伊人香网站| 国产真人三级小视频在线观看| 国产97色在线日韩免费| 亚洲自拍偷在线| 精品无人区乱码1区二区| 成人特级黄色片久久久久久久| 色精品久久人妻99蜜桃| 色老头精品视频在线观看| 亚洲九九香蕉| 亚洲自偷自拍图片 自拍| 国产一区二区三区在线臀色熟女| 在线国产一区二区在线| 听说在线观看完整版免费高清| 亚洲 欧美一区二区三区| 欧美黄色片欧美黄色片| 天堂影院成人在线观看| 国产91精品成人一区二区三区| 日韩欧美在线二视频| 精华霜和精华液先用哪个| 国产97色在线日韩免费| 日韩成人在线观看一区二区三区| 成年女人毛片免费观看观看9| 女人高潮潮喷娇喘18禁视频| 亚洲一区高清亚洲精品| 丁香欧美五月| 亚洲精品国产一区二区精华液| 丁香欧美五月| 欧美另类亚洲清纯唯美| 久久这里只有精品中国| 国产av一区在线观看免费| 欧美黑人精品巨大| 国产片内射在线| 草草在线视频免费看| 国产精品久久电影中文字幕| 婷婷六月久久综合丁香| 成人18禁在线播放| 亚洲成人国产一区在线观看| 国产成人av激情在线播放| 99热只有精品国产| 91老司机精品| 九色成人免费人妻av| 啦啦啦观看免费观看视频高清| 男女床上黄色一级片免费看| 99精品在免费线老司机午夜| 久久久国产精品麻豆| 精品久久久久久久人妻蜜臀av| 九色成人免费人妻av| 啦啦啦韩国在线观看视频| 天堂√8在线中文| 一级毛片女人18水好多| 久久久久久国产a免费观看| 国产av麻豆久久久久久久| 女生性感内裤真人,穿戴方法视频| 99精品在免费线老司机午夜| videosex国产| 国产亚洲精品一区二区www| 天天添夜夜摸| 99国产精品一区二区三区| 搡老妇女老女人老熟妇| 免费无遮挡裸体视频| 国产精品久久久久久人妻精品电影| 成人高潮视频无遮挡免费网站| av视频在线观看入口| 日韩精品中文字幕看吧| 最近最新免费中文字幕在线| 亚洲国产高清在线一区二区三| 男插女下体视频免费在线播放| 久久精品91蜜桃| 国产精华一区二区三区| 国产高清视频在线播放一区| 非洲黑人性xxxx精品又粗又长| 国产精品影院久久| 国产单亲对白刺激| 久久亚洲精品不卡| 两个人看的免费小视频| 免费高清视频大片| 国产av麻豆久久久久久久| 欧美日韩中文字幕国产精品一区二区三区| 欧美乱码精品一区二区三区| 亚洲av第一区精品v没综合| 欧美日韩瑟瑟在线播放| 国产精品久久视频播放| 欧美日韩黄片免| 最近在线观看免费完整版| 国产高清视频在线播放一区| 久久久久性生活片| 国产一区二区在线观看日韩 | 色精品久久人妻99蜜桃| 亚洲男人天堂网一区| 国产精品一区二区免费欧美| 国产av不卡久久| 精品高清国产在线一区| 久久人妻福利社区极品人妻图片| 757午夜福利合集在线观看| 欧美在线一区亚洲| 亚洲 欧美 日韩 在线 免费| 女警被强在线播放| 亚洲美女黄片视频| 欧美日韩亚洲国产一区二区在线观看| 欧美午夜高清在线| 中文字幕久久专区| 极品教师在线免费播放| 日韩精品中文字幕看吧| 桃红色精品国产亚洲av| 18禁观看日本| 狂野欧美激情性xxxx| 一区福利在线观看| 久久久久久久久免费视频了| 久久久久久大精品| 国产精品乱码一区二三区的特点| 免费看十八禁软件| 两个人的视频大全免费| 亚洲人与动物交配视频| 神马国产精品三级电影在线观看 | 久久天堂一区二区三区四区| 看免费av毛片| 国产精品精品国产色婷婷| 99国产精品一区二区三区| av超薄肉色丝袜交足视频| 亚洲成人免费电影在线观看| 女警被强在线播放| 亚洲成人中文字幕在线播放| 国产高清videossex| 天堂动漫精品| 亚洲国产日韩欧美精品在线观看 | 亚洲狠狠婷婷综合久久图片| 欧美日韩瑟瑟在线播放| 黄片大片在线免费观看| 日韩精品青青久久久久久| 可以免费在线观看a视频的电影网站| 久久亚洲精品不卡| 日韩大尺度精品在线看网址| 婷婷亚洲欧美| 日本 欧美在线| 精品国产超薄肉色丝袜足j| 在线观看免费午夜福利视频| 国产在线观看jvid| 观看免费一级毛片| 亚洲av电影在线进入| 欧美性长视频在线观看| 一本久久中文字幕| 日本免费一区二区三区高清不卡| 精品久久蜜臀av无| 亚洲成人国产一区在线观看| 看黄色毛片网站| 两个人视频免费观看高清| 一边摸一边做爽爽视频免费| 精品熟女少妇八av免费久了| 成人三级黄色视频| 久久人妻av系列| 视频区欧美日本亚洲| 日韩国内少妇激情av| 国模一区二区三区四区视频 | 国产一区二区在线av高清观看| 搡老熟女国产l中国老女人| 免费搜索国产男女视频| 亚洲成人久久性| 国产97色在线日韩免费| 国产欧美日韩一区二区三| 国产av麻豆久久久久久久| 性色av乱码一区二区三区2| 黑人巨大精品欧美一区二区mp4| 一级作爱视频免费观看| 少妇人妻一区二区三区视频| 国产av一区在线观看免费| 国产精品一及| 亚洲天堂国产精品一区在线| 国产av在哪里看| 国产免费av片在线观看野外av| 欧美丝袜亚洲另类 | 精品久久久久久成人av| 色在线成人网| 两人在一起打扑克的视频| 亚洲真实伦在线观看| 国产成人av教育| 久久久久久九九精品二区国产 | 婷婷精品国产亚洲av| 亚洲欧美一区二区三区黑人| 色老头精品视频在线观看| 免费人成视频x8x8入口观看| 国产精品一区二区三区四区免费观看 | 日本五十路高清| 三级毛片av免费| 国内少妇人妻偷人精品xxx网站 | 国产日本99.免费观看| 亚洲乱码一区二区免费版| 国产成人欧美在线观看| 精华霜和精华液先用哪个| 成人亚洲精品av一区二区| 草草在线视频免费看| 黄色丝袜av网址大全| 久久婷婷人人爽人人干人人爱| www.精华液| 国产主播在线观看一区二区| 国产激情久久老熟女| 日韩 欧美 亚洲 中文字幕| 熟女少妇亚洲综合色aaa.| 巨乳人妻的诱惑在线观看| 狂野欧美白嫩少妇大欣赏| 久久国产乱子伦精品免费另类| 老司机午夜福利在线观看视频| 欧美+亚洲+日韩+国产| 别揉我奶头~嗯~啊~动态视频| 亚洲成人久久性| 国产真实乱freesex| 亚洲 国产 在线| av福利片在线| 伊人久久大香线蕉亚洲五| 夜夜夜夜夜久久久久| 女人高潮潮喷娇喘18禁视频| 很黄的视频免费| 亚洲av成人不卡在线观看播放网| 香蕉国产在线看| 亚洲av成人不卡在线观看播放网| 给我免费播放毛片高清在线观看| 国产精品98久久久久久宅男小说| 18美女黄网站色大片免费观看| 亚洲熟女毛片儿| 日本一二三区视频观看| 午夜两性在线视频| 两性夫妻黄色片| 老熟妇仑乱视频hdxx| 午夜老司机福利片| 日本五十路高清| 成人国语在线视频| 国产成人系列免费观看| 欧美日韩亚洲国产一区二区在线观看| 亚洲片人在线观看| 一本精品99久久精品77| 欧美黑人欧美精品刺激| 一级毛片女人18水好多| 亚洲中文av在线| 在线观看舔阴道视频| 国产亚洲精品久久久久5区| 亚洲一区中文字幕在线| 国产精品久久视频播放| 久久精品91蜜桃| 99精品久久久久人妻精品| 成人国产一区最新在线观看| 桃色一区二区三区在线观看| 精华霜和精华液先用哪个| 国内久久婷婷六月综合欲色啪| 99热只有精品国产| 亚洲 欧美一区二区三区| 天天添夜夜摸| 欧美 亚洲 国产 日韩一| 亚洲av熟女| 午夜两性在线视频| 免费在线观看黄色视频的| 最好的美女福利视频网| 亚洲欧美激情综合另类| 色噜噜av男人的天堂激情| 国产人伦9x9x在线观看| 中文字幕人妻丝袜一区二区| 国产1区2区3区精品| 视频区欧美日本亚洲| 欧美日本视频| 亚洲欧美一区二区三区黑人| 亚洲国产高清在线一区二区三| 好男人在线观看高清免费视频| 一进一出抽搐gif免费好疼| 亚洲人与动物交配视频| 国产三级在线视频| 午夜成年电影在线免费观看| 99热只有精品国产| 一区二区三区国产精品乱码| 国产高清有码在线观看视频 | 日韩 欧美 亚洲 中文字幕| 欧美国产日韩亚洲一区| 丰满人妻一区二区三区视频av | 青草久久国产| 日韩欧美国产一区二区入口| 国产成人一区二区三区免费视频网站| 日韩欧美精品v在线| 欧美黄色淫秽网站| 亚洲片人在线观看| 丁香六月欧美| 欧美日韩亚洲综合一区二区三区_| 在线十欧美十亚洲十日本专区| 午夜福利在线观看吧| 国产亚洲精品久久久久久毛片| 国产成人影院久久av| 久久欧美精品欧美久久欧美| 成年免费大片在线观看| 欧美黑人精品巨大| 欧美久久黑人一区二区| 波多野结衣高清作品| 亚洲中文日韩欧美视频| 国产成人精品无人区| 亚洲欧美精品综合一区二区三区| 麻豆成人午夜福利视频| 2021天堂中文幕一二区在线观| 校园春色视频在线观看| 国产精品免费一区二区三区在线| 精品高清国产在线一区| 男女视频在线观看网站免费 | 久久久久九九精品影院| 亚洲精品中文字幕在线视频| 国产精品亚洲av一区麻豆| 国产不卡一卡二|