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    讓類比聯(lián)想成為數(shù)學解題的催化劑

    2022-05-28 14:02:53張鳳麗
    中學數(shù)學雜志(高中版) 2022年3期
    關鍵詞:數(shù)學解題催化劑

    【摘 要】 本文以一道清華大學中學生標準學術(shù)能力測試題為例,從5個視角運用類比聯(lián)想,用9種突破方法解答問題,進而體會在解決一些數(shù)學問題時,合理地運用“類比聯(lián)想”可成為問題解決的“催化劑”.【關鍵詞】 類比聯(lián)想;數(shù)學解題;催化劑

    類比聯(lián)想法是指由某一事物的觸發(fā)而引起和該事物在性質(zhì)上或形態(tài)上相似事物的聯(lián)想.在數(shù)學學習中,類比聯(lián)想是一種重要的思維活動,它不僅能夠幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論,而且能為我們提供解題思路和方向.這正象著名數(shù)學家歐拉所說“類比是偉大的引路人”.在數(shù)學解題教學中,以類比聯(lián)想進行組織教學,不僅可以復習已有的知識,而且還在獲得新知的過程中加深對已有知識的理解,引起聯(lián)想,促進記憶,啟發(fā)思維,有助于培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和探索發(fā)現(xiàn)能力.因此,在數(shù)學解題教學中,應重視類比聯(lián)想的教學,讓類比聯(lián)想成為數(shù)學解題的催化劑.本文以清華大學中學生標準學術(shù)能力(THUSSAT) 2021年11月新高考診斷性測試第8題的解法為例來說明類比聯(lián)想在數(shù)學解題中的“催化劑”作用.

    1 試題呈現(xiàn)

    已知x,y滿足x2+y2=4y-3,則3x+yx2+y2的最大值為(? ).

    A.1? B.2? C.3 ??D.5

    2 試題簡析

    該題看似無從著手,難以找到解答的思路和方向,但若仔細分析已知條件或所求結(jié)論中式子的結(jié)構(gòu)特征,類比聯(lián)想有關的數(shù)學定義、公式、模型等,可幫助我們迅速找到解決問題的突破口.

    3 解法探究

    類比聯(lián)想1 將目標式平方(3x+y)2x2+y2=3x2+23xy+y2x2+y2,由結(jié)構(gòu)特征類比聯(lián)想“齊二次分式”Ax2+Bxy+Cy2Dx2+Exy+Fy2,分子、分母同時除以x2,轉(zhuǎn)化為關于λ=yx的一元函數(shù)問題求解.

    解析 設z=3x+yx2+y2,

    當x=0時,z=1;

    當x≠0時,則z2=(3x+y)2x2+y2=3x2+23xy+y2x2+y2=3+23yx+yx21+yx2.

    令λ=yx,則z2=3+23λ+λ21+λ2.

    下面首先求λ的范圍,可有幾何法和判別式法兩種;然后用導數(shù)法和函數(shù)單調(diào)性法兩種求z2的最值.這樣求λ范圍的方法與求z2最值的方法兩兩搭配,可有下面四種突破方法.

    解法1 由x2+y2=4y-3,得x2+(y-2)2=1,其圖形是以(0,2)為圓心,1為半徑的圓,而λ=yx表示圓上的點與坐標原點連線的斜率.

    設過原點的直線方程為y=λx,即λx-y=0,若直線與圓相切,則|-2|λ2+1=1,解得λ=±3.故λ≤-3或λ≥3.

    由z2=3+23λ+λ21+λ2,構(gòu)造函數(shù)f(λ)=

    3+23λ+λ21+λ2=1+2+23λ1+λ2(λ≤-3或λ≥3).

    所以f′(λ)=23(1+λ2)-(2+23λ)·2λ(1+λ2)2=-23λ2-4λ+23(1+λ2)2=-2(3λ-1)(λ+3)(1+λ2)2,

    當λ≤-3時,f′(λ)≤0,當λ≥3時,f′(λ)<0,所以f(λ)在(-∞,-3]和[3,+∞)上均為減函數(shù).

    又f(-3)=0,f(3)=3,且λ→-∞時,f(λ)→1,λ→+∞時,f(λ)→1,故當λ=3時,f(λ)取得最大值3,所以z=3x+yx2+y2的最大值為3.故選C.

    解法2 聯(lián)立方程,得y=λx,x2+y2=4y-3,消去y整理得(1+λ2)x2-4λx+3=0.由Δ=(-4λ)2-4(1+λ2)×3≥0,解得λ≤-3或λ≥3.

    以下同解法1.

    解法3 由解法1,得λ≤-3或λ≥3.

    由z2=3+23λ+λ21+λ2,構(gòu)造函數(shù)f(λ)=3+23λ+λ21+λ2=1+211+λ2+3λ1+λ2=1+211+λ2+31λ+λ(λ≤-3或λ≥3).

    易知當λ≥3時,1+λ2和1λ+λ均單調(diào)遞增,所以11+λ2和3λ1+λ2均單調(diào)遞減,所以函數(shù)f(λ)在[3,+∞)上單調(diào)遞減.當λ≤-3時,由于f(-3)=0,且λ→-∞時,f(λ)→1.

    故當λ=3時,f(λ)取得最大值3,所以z=3x+yx2+y2的最大值為3.故選C.

    解法4 由解法2,得λ≤-3或λ≥3.

    以下同解法3.類比聯(lián)想2 由已知方程的變形x2+(y-2)2=1和目標式中x2+y2的結(jié)構(gòu)特征,類比聯(lián)想同角三角函數(shù)的平方關系sin2θ+cos2θ=1,可以分別利用三角換元,將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題.

    首先從已知條件中的方程出發(fā)進行三角換元來突破.

    解法5 由x2+y2=4y-3,得x2+(y-2)2=1.

    令x=cosθ,y-2=sinθ,即x=cosθ,y=sinθ+2,θ∈[0,2π],所以z=3x+yx2+y2=3cosθ+sinθ+2cos2θ+sinθ+22=3cosθ+sinθ+24sinθ+5,所以z2=(3cosθ+sinθ+2)24sinθ+5.

    令f(θ)=(3cosθ+sinθ+2)24sinθ+5,θ∈[0,2π],

    所以f′(θ)=2(3cosθ+sinθ+2)(-3sinθ+cosθ)(4sinθ+5)-(3cosθ+sinθ+2)2·4cosθ(4sinθ+5)2=

    23cosθ+sinθ+2(-43sin2θ+4sinθcosθ-53sinθ+5cosθ-23cos2θ-2sinθcosθ-4cosθ)(4sinθ+5)2=23cosθ+sinθ+2(-23sin2θ+2sinθcosθ-53sinθ+cosθ-23)(4sinθ+5)2=23cosθ+sinθ+2[-32sin2θ+5sinθ+2+cosθ2sinθ+1](4sinθ+5)2=-23cosθ+sinθ+22sinθ+1(3sinθ-cosθ+23)(4sinθ+5)2.

    因為3cosθ+sinθ+2≥0,3sinθ-cosθ+23>0,所以若2sinθ+1≥0,即sinθ≥-12,此時θ∈0,7π6∪11π6,2π,f′(θ)<0,所以f(θ)在0,7π6和11π6,2π上單調(diào)遞減.

    當2sinθ+1<0,即sinθ<-12,此時θ∈7π6,11π6,f′(θ)>0,所以f(θ)在7π6,11π6上單調(diào)遞增;

    所以當θ=7π6時,f(θ)有極小值為f7π6=0,當θ=11π6時,f(θ)有極大值為f11π6=3.

    又f0=f2π=(3+2)25=7+435∈(0,3).

    故當θ=11π6時,f(θ)取得最大值3,所以z=3x+yx2+y2的最大值為3.故選C.

    解法5思路清晰,但運用導數(shù),求導和整理過程運算量較大.下面再從目標式出發(fā)進行三角換元來突破.

    解法6 設x2+y2=r(r>0),則令x=rcosθ,y=rsinθ,θ∈[0,2π].

    所以z=3x+yx2+y2=3rcosθ+rsinθr=3cosθ+sinθ=2sinθ+π3.

    將x=rcosθ,y=rsinθ代入已知條件中的方程x2+y2=4y-3,得(rcosθ)2+(rsinθ)2=4(rsinθ)-3,即r2-4rsinθ+3=0,所以sinθ=r2+34r=14r+3r.

    由二元均值不等式,得r+3r≥23,當且僅當r=3r,即r=3時取等號,所以sinθ≥234=32.

    因為θ∈[0,2π],所以π3≤θ≤2π3,所以2π3≤θ+π3≤π,所以0≤sinθ+π3≤32,即0≤2sinθ+π3≤3.

    所以z=3x+yx2+y2的最大值為3.故選C.類比聯(lián)想3 將目標式變形3x+yx2+y2=3×xx2+y2+yx2+y2,由結(jié)構(gòu)特征,類比聯(lián)想正弦函數(shù)的定義sinθ=yx2+y2和余弦函數(shù)的定義cosθ=xx2+y2,從而挖掘問題所隱含的三角特征,利用三角函數(shù)知識突破.

    解法7 設A(x,y)為圓x2+y2=4y-3,即x2+(y-2)2=1上任一點,O是坐標原點,記∠xOA=θ,則由正弦、余弦的三角函數(shù)定義得cosθ=xx2+y2,sinθ=yx2+y2,所以3x+yx2+y2=3×xx2+y2+yx2+y2=3cosθ+sinθ=2sinθ+π3.

    易知,當OA與圓x2+y2=4y-3相切時,θ分別取得最小值為π3,最大值為2π3,所以π3≤θ≤2π3,所以2π3≤θ+π3≤π,所以0≤sinθ+π3≤32,所以0≤2sinθ+π3≤3.

    所以3x+yx2+y2的最大值為3.故選C.類比聯(lián)想4 由目標式的變形3x+yx2+y2=3·x+1·yx2+y2的結(jié)構(gòu)特征,類比聯(lián)想兩向量夾角的坐標公式:cosθ=x1x2+y1y2x12+y12·x22+y22,構(gòu)造向量,利用向量的數(shù)量積運算并數(shù)形結(jié)合突破.

    解法8 由3x+yx2+y2=3·x+1·yx2+y2,設OA=(x,y),OB=(3,1),則3x+yx2+y2=3·x+1·yx2+y2=OA·OBOA=|OA|OB|cos∠AOBOA=|OB|cos∠AOB=2cos∠AOB.

    如圖1,A(x,y)為圓x2+y2=4y-3上的點,當OA與圓在右側(cè)相切時,∠AOB=π6,A32,32,

    此時cos∠AOB取得最大值,所以3x+yx2+y2≤2cosπ6=3.

    所以3x+yx2+y2的最大值為3.故選C.類比聯(lián)想5 由目標式的變形|3x+y|x2+y2=2×|3x+y|(3)2+12x2+y2的結(jié)構(gòu)特征,類比聯(lián)想兩點間的距離公式和點到直線的距離公式,從而挖掘問題中所隱含的幾何特征,利用幾何法突破.

    解法9 由|3x+y|x2+y2=2×|3x+y|(3)2+12x2+y2,設A(x,y)為圓x2+y2=4y-3上的點,則x2+y2表示點A與原點O(0,0)之間的距離,|3x+y|(3)2+12表示點A到直線3x+y=0的距離.

    如圖2,易知直線3x+y=0與圓x2+y2=4y-3相切,過點A作直線3x+y=0的垂線,垂足為H,則|3x+y|x2+y2=2×|3x+y|(3)2+12x2+y2=2·AHOA=2sin∠AOH,顯然當OA在右側(cè)與圓x2+y2=4y-3相切時,sin∠AOH最大,此時易求得∠AOH=π3,所以sin∠AOH的最大值為sinπ3=32,所以3x+yx2+y2的最大值為2×32=3.故選C.4 結(jié)語4.1 有些數(shù)學問題,貌似無從著手,難以找到解答的思路和方向,但若仔細分析已知條件或所求結(jié)論中式子的結(jié)構(gòu)特征,類比聯(lián)想相關的數(shù)學定義、公式、模型等,挖掘問題所蘊含的數(shù)學本質(zhì),可幫助我們迅速找到解決問題的突破口,從而快捷地解決問題.上面這道清華大學中學生標準學術(shù)能力測試題,就是從5個視角運用類比聯(lián)想、9種突破方法解答的.從中我們可以體會到,在解決許多數(shù)學問題時,若能合理地運用“類比聯(lián)想”,可成為問題解決的“催化劑”.

    4.2 若想更好地運用類比聯(lián)想解決問題,既要有一雙善于觀察、分析的慧眼,能夠從問題的結(jié)構(gòu)特征中類比聯(lián)想相關知識對象和模型,又需要從解題的思想方法、思維策略等層面尋求內(nèi)在聯(lián)系,同時,平時還要注意多儲存、多積累數(shù)學知識模型和解題經(jīng)驗.英國數(shù)學家懷特·海德說過:“數(shù)學是從模式化的個體作抽象的過程中對模式的研究.”[1]羅增儒教授也說過:“學習數(shù)學的過程中,所積累的知識經(jīng)驗經(jīng)過加工,會得出有長久保存價值或基本重要性的典型結(jié)構(gòu)與重要題型——模式,將其有意識地記憶下來.當遇到一個新問題時,我們辨認它屬于哪一類基本模式,聯(lián)想起一個已解決問題以此索引,在記憶存儲中抽取相應的方法來解決,這就是模式識別的解題策略.”[1]如果對平時的問題善于總結(jié)、積累,那么在以后解題時,就可以迅速將新問題通過類比聯(lián)想轉(zhuǎn)化為已掌握的類型.如上面解答測試題的每一種方法都是建立在以前已有的解題模式、經(jīng)驗基礎上,產(chǎn)生聯(lián)系,運用類比聯(lián)想,問題得以突破的.

    參考文獻

    [1] 尹承利.滲透“直觀想象”素養(yǎng) 求解函數(shù)熱點問題\[J\].數(shù)學通訊(上半月),2019(07),41-43.

    作者簡介 張鳳麗(1977—),女,山東泰安人,中學高級教師,現(xiàn)任泰安市岱岳區(qū)高中數(shù)學教研員;教學教研成績突出,被評為“泰山教壇英才”“泰安市學科帶頭人”,多次獲得市優(yōu)秀教師、市級優(yōu)質(zhì)課一等獎等;主要從事高中數(shù)學教育教學等方面的研究;發(fā)表多篇論文.

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