讓“建模思想”在數(shù)學(xué)課堂落地生根
——以“行程問(wèn)題”為例

山東平度市店子鎮(zhèn)青楊小學(xué)（266712）張曉麗

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年 版）》中指出：“重視學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問(wèn)題的過(guò)程。”小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)建模思想，發(fā)展學(xué)生建模能力，可以使學(xué)生體驗(yàn)提出、思考、質(zhì)疑和解決問(wèn)題的過(guò)程，從而領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。更為重要的是，建模思想可以使學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型，從而促進(jìn)知識(shí)構(gòu)建、思維培養(yǎng)、核心素養(yǎng)等方面全面發(fā)展。

一、數(shù)學(xué)建模概述

數(shù)學(xué)建模是溝通數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁。目前，學(xué)術(shù)界對(duì)于數(shù)學(xué)建模尚未形成統(tǒng)一的概念界定。劉振航在《數(shù)學(xué)模型》中認(rèn)為，面對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中雜亂無(wú)章的現(xiàn)象，從中抽象出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)關(guān)系，組建解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的過(guò)程就是數(shù)學(xué)建模。周春荔先生認(rèn)為，從教學(xué)的角度看，數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)活動(dòng)；從方法論的角度看，數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)思想方法。李明振指出，數(shù)學(xué)建模是從實(shí)際問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的關(guān)系或規(guī)律，從中抽象出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)關(guān)系，將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，并按照數(shù)學(xué)的知識(shí)方法進(jìn)行求解，最終對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題做出解釋的過(guò)程。綜上，在筆者看來(lái)，數(shù)學(xué)建模指的是從問(wèn)題情境或者現(xiàn)實(shí)生活中抽象出反映特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)的過(guò)程。數(shù)學(xué)建模既包括從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)關(guān)系的過(guò)程，也包括對(duì)建立的模型進(jìn)行考察與檢驗(yàn)的過(guò)程。

二、數(shù)學(xué)建模的價(jià)值分析

1.有利于培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索的能力

數(shù)學(xué)建模的出發(fā)點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地參與數(shù)學(xué)探究和實(shí)踐的全過(guò)程。數(shù)學(xué)建模的核心要義在于數(shù)學(xué)化，也就是要將生活情境抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生嘗試運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維去審視、分析和表達(dá)各種事物的數(shù)量關(guān)系和空間關(guān)系，從紛繁復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)情境中抽象出數(shù)學(xué)模型，由此達(dá)成依托數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的目的。學(xué)生通過(guò)發(fā)現(xiàn)、分析、抽象、歸納等思維活動(dòng)有利于提升自身的探索數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力，并形成主動(dòng)探索的習(xí)慣。

2.有利于培養(yǎng)學(xué)生的合作交流能力

小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出“動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要形式”。數(shù)學(xué)建模是培養(yǎng)學(xué)生合作交流能力的重要途徑。數(shù)學(xué)建模的原始問(wèn)題往往都是生活中復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題，解決一個(gè)稍復(fù)雜的問(wèn)題往往需要各方面的知識(shí)，這就要求學(xué)生合理分工，從不同的角度展開思考和探究，并在此基礎(chǔ)上相互交流，由此達(dá)到思維碰撞和思維啟迪的效果。

3.有利于培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力

著名數(shù)學(xué)家華羅庚針對(duì)數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值曾經(jīng)有段經(jīng)典論述：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日用之繁，無(wú)處不用數(shù)學(xué)?！睌?shù)學(xué)教育的目的并不只是培養(yǎng)專門從事數(shù)學(xué)研究的人才，更為重要的是培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方法解決實(shí)際問(wèn)題的人。數(shù)學(xué)建模的過(guò)程在本質(zhì)上就是運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方法解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的過(guò)程，這無(wú)疑增強(qiáng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高了學(xué)生分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

4.有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維

數(shù)學(xué)建模是一個(gè)學(xué)生主動(dòng)探究原始問(wèn)題的本質(zhì)并對(duì)其進(jìn)行抽象的數(shù)學(xué)加工的過(guò)程，是一個(gè)對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行構(gòu)建、求解、驗(yàn)證、優(yōu)化的過(guò)程，這樣頗具思維深度的過(guò)程能使學(xué)生經(jīng)歷一場(chǎng)“微型的科研”，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維是大有裨益的。

三、數(shù)學(xué)建模的基本過(guò)程

1.抓住本質(zhì)規(guī)律，在生活情境中提煉問(wèn)題

“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題比解決問(wèn)題更加重要?！睌?shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)源于生活情境，一般都能夠用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表述。在生活情境中發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問(wèn)題是建模的基礎(chǔ)。在提出實(shí)際生活中的問(wèn)題原型后，教師要引導(dǎo)學(xué)生從問(wèn)題原型中提煉出數(shù)學(xué)問(wèn)題，并抓住問(wèn)題本質(zhì)，這對(duì)于數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建是至關(guān)重要的一步。需要注意的是，教師要讓學(xué)生從生活情境中主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，而不能代替學(xué)生。只有這樣，才能逐步培養(yǎng)學(xué)生從生活情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的意識(shí)和能力。

【教學(xué)片段1】

出示5條信息：

（1）爸爸開汽車行駛105千米。

（2）淘氣騎自行車的速度是5千米/時(shí)。

（3）媽媽步行走了2千米。

（4）淘氣騎自行車行駛了1個(gè)小時(shí)。

（5）汽車行駛了3個(gè)小時(shí)。

師：請(qǐng)想一想，在這些信息中哪些信息是相關(guān)的，你可以提出哪些數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？

生1：我把信息（1）和信息（5）組合起來(lái)：爸爸開汽車行駛了105千米，汽車行駛了3個(gè)小時(shí)，汽車行駛的平均速度是多少？

生2：我把信息（2）和信息（4）組合起來(lái)：淘氣騎自行車的速度是5千米/時(shí)，他騎自行車行駛了1個(gè)小時(shí)，淘氣行駛的路程是多少？

……

師：同學(xué)們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了不少數(shù)學(xué)問(wèn)題，大家能夠進(jìn)一步找出這些數(shù)據(jù)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)嗎？

生1：我提出的問(wèn)題可以用“速度=路程÷時(shí)間”來(lái)解答。

生2：我提出的問(wèn)題可以用“路程=速度×?xí)r間”來(lái)解答。

……

教學(xué)中，教師呈現(xiàn)5條信息，引導(dǎo)學(xué)生從信息中提煉有價(jià)值的數(shù)學(xué)信息，并對(duì)這些信息進(jìn)行重組，培養(yǎng)了學(xué)生觀察問(wèn)題和概括問(wèn)題的能力；教師引導(dǎo)學(xué)生把通俗語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，通過(guò)提煉、轉(zhuǎn)化的方法把生活情境中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為行程、速度和時(shí)間關(guān)系的數(shù)學(xué)問(wèn)題，再與具體數(shù)據(jù)相結(jié)合，這正是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的思維過(guò)程。

2.把握數(shù)量關(guān)系，在分析比較中構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

在學(xué)生把生活情境中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)上，教師要重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生厘清各個(gè)數(shù)據(jù)之間的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)觀察、抽象、判斷、分析等思維方法，探索并建立以數(shù)學(xué)符號(hào)為媒介的一般規(guī)律，由此形成關(guān)于問(wèn)題本質(zhì)的模式化表達(dá)方法，初步構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。在這個(gè)過(guò)程中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生積極思考、動(dòng)手操作，通過(guò)畫表格、線段圖、示意圖等多種方式分析各個(gè)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，進(jìn)而使學(xué)生學(xué)會(huì)分析數(shù)量關(guān)系的基本方法。

【教學(xué)片段2】

師（出示題目）：如果甲地到乙地的距離是70千米，那么爸爸開車需要多長(zhǎng)時(shí)間能夠從甲地到達(dá)乙地？同學(xué)們思考一下，題給條件是不是夠了呢？還缺什么條件？

生1：條件不夠，還需要知道汽車的行駛速度。

生2：求出汽車的行駛速度是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

師：根據(jù)前面給出的5條信息，是不是能夠求出汽車的行駛速度呢？在紙上畫一畫，說(shuō)一說(shuō)你是怎樣想的。

生1：如果要求出時(shí)間，根據(jù)“時(shí)間=路程÷速度”可知，需要同時(shí)得知路程和速度，但是題目的條件中沒有直接給出速度，我通過(guò)前面給出的5條信息來(lái)算出汽車的行駛速度。速度=路程÷時(shí)間=105÷3=35千米/時(shí)。當(dāng)?shù)贸鏊俣群?，這個(gè)題就變得非常簡(jiǎn)單了。（如圖1）

圖1

生2：我是通過(guò)畫示意圖來(lái)思考的。我的思路也是先求出汽車的行駛速度，然后再根據(jù)“時(shí)間=路程÷速度”求出時(shí)間。（如圖2）

圖2

在分析數(shù)量關(guān)系這一環(huán)節(jié)中，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)已知條件不夠時(shí)，教師不要直接告知學(xué)生答案，而要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已知條件進(jìn)一步求出所需條件，從而厘清數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系，初步構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。

3.厘清解題思路，在求解模型中解決問(wèn)題

在模型初步建立之后，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步厘清解題思路，并且利用數(shù)學(xué)模型解決相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。在這個(gè)過(guò)程中，教師要注意以下兩點(diǎn)：第一，使學(xué)生厘清數(shù)學(xué)模型的基本思路，明確先算什么，后算什么。第二，在具體的計(jì)算過(guò)程中，要指導(dǎo)學(xué)生注意計(jì)算細(xì)節(jié)，比如四則運(yùn)算順序以及計(jì)算結(jié)果的單位等，使學(xué)生在答題過(guò)程中做到思路清晰、步驟完整、結(jié)果正確。

【教學(xué)片段3】

師：爸爸開車行駛105千米，用了3個(gè)小時(shí)，甲乙兩地相距70千米，爸爸開車需要多長(zhǎng)時(shí)間能從甲地到達(dá)乙地？應(yīng)該先計(jì)算什么，后計(jì)算什么呢？

生1：甲乙之間的距離是已知條件，那么應(yīng)該先計(jì)算出汽車的行駛速度，然后才能求出爸爸開車需要多長(zhǎng)時(shí)間。

生2：是的，根據(jù)“時(shí)間=路程÷速度”，要計(jì)算時(shí)間，必須先知道路程和速度。

師：既然明確了思路，就可以開始計(jì)算了。請(qǐng)同學(xué)們把計(jì)算步驟寫下來(lái)。

生3：我是分兩步計(jì)算的。105÷3=35（千米/時(shí)），70÷35=2（小時(shí)）。

生4：我只用了一步。70÷（105÷3）=2（小時(shí)）。

師：這兩位同學(xué)的計(jì)算思路非常清晰，而且計(jì)算結(jié)果也很準(zhǔn)確?，F(xiàn)在，如果把題目變?yōu)椤鞍职珠_車行駛105千米，用了3個(gè)小時(shí)，甲乙兩地相距210千米，爸爸開車需要多長(zhǎng)時(shí)間能從甲地到達(dá)乙地？”，應(yīng)如何計(jì)算？

生5：數(shù)據(jù)變了，思路不變。還是要先計(jì)算出汽車的行駛速度。

在教學(xué)中，教師要求學(xué)生敘述計(jì)算步驟，厘清計(jì)算思路，并通過(guò)變換數(shù)據(jù)再次讓學(xué)生計(jì)算，引導(dǎo)學(xué)生抓住問(wèn)題的關(guān)鍵、找出規(guī)律，將數(shù)學(xué)模型由初步的文字模型進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為符號(hào)模型，真正掌握數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)。無(wú)論外部數(shù)據(jù)如何變化，答題的思路始終是清晰的，這正是運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)所在。

4.提煉建模思想，在拓展模型外延中提升能力

數(shù)學(xué)模型來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活，數(shù)學(xué)建模的最終目標(biāo)是解決實(shí)際問(wèn)題。在現(xiàn)實(shí)中對(duì)數(shù)學(xué)模型的活學(xué)活用，能夠幫助學(xué)生更加深刻地理解所學(xué)知識(shí)，構(gòu)建起科學(xué)的知識(shí)體系，做到以點(diǎn)帶面、觸類旁通，提高解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。在學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題后，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行回顧和反思，使學(xué)生體會(huì)到構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本思路，指導(dǎo)學(xué)生概括并提煉出在建模過(guò)程中運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想和方法，從而引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)學(xué)建模的內(nèi)在規(guī)律，增加學(xué)生在模型建構(gòu)中的思考深度，進(jìn)一步提升學(xué)生的模型建構(gòu)能力。

【教學(xué)片段4】

師：數(shù)學(xué)建模為我們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了一種全新的思維方法，用數(shù)學(xué)模型可以解決很多同類問(wèn)題。比如：媽媽花15元買了5斤蘋果，如果媽媽有27元錢，她可以買幾斤蘋果呢？

生1：這道題與我們前面做的那道題思路差不多。

生2：求出蘋果的單價(jià)是關(guān)鍵。單價(jià)為15÷5=3（元），根據(jù)“數(shù)量=總價(jià)÷單價(jià)”可得27÷3=9（斤）。

師：利用數(shù)學(xué)模型可以解決很多同類型問(wèn)題，我們要抓住問(wèn)題的本質(zhì)，做到活學(xué)活用，才能達(dá)到事半功倍的效果。

師：你在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中有什么體會(huì)？

生3：構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，就是把生活情境中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后形成解決這類問(wèn)題的統(tǒng)一方法，這樣解決問(wèn)題就方便多了。

師：是的，在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型時(shí)要運(yùn)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，我們以后在解決問(wèn)題時(shí)也要有這種轉(zhuǎn)化意識(shí)。

教學(xué)中，教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用剛建立的數(shù)學(xué)模型解決同類問(wèn)題，使學(xué)生切身體會(huì)到數(shù)學(xué)模型在解決實(shí)際問(wèn)題中的便利，進(jìn)而明白數(shù)學(xué)模型的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)。教師通過(guò)指導(dǎo)學(xué)生回顧、總結(jié)數(shù)學(xué)模型的建立過(guò)程，使學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中樹立建模思想，厘清了建模思路，為以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下基礎(chǔ)。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要充分領(lǐng)會(huì)新課程改革的基本理念，緊密結(jié)合課堂教學(xué)內(nèi)容，把建模思想融入課堂教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)之中，引導(dǎo)學(xué)生依托實(shí)際生活層層提煉、逐步深入，把紛繁的信息轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，逐漸樹立起利用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)，掌握數(shù)學(xué)建模的基本方法和技能，最終達(dá)到提升解決問(wèn)題能力、促進(jìn)全面發(fā)展的目的。