如何培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力
——以“雞兔同籠”教學為例

江蘇宿遷市宿豫區(qū)張家港實驗小學（223800）凌朝陽

課程標準中提到，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力是小學數(shù)學教學的一項基本任務，教師應有意識、有計劃、有目的地培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力。“雞兔同籠”的教學目標是讓學生初步認識“雞兔同籠”趣題，了解有關的數(shù)學史，能用列表法、畫圖法、假設法解決相關的實際問題。同時，引導學生通過畫圖分析、列表舉例、假設計算等方法理解數(shù)量關系，體會數(shù)形結合的便捷性，體驗解題方法的多樣性，提高學生的解題能力。那么，如何才能有效促進學生的思維發(fā)展，使學生變得能思考、愛思考、會思考？

一、學情與教材分析

四年級學生已經(jīng)初步積累了運用猜測、枚舉、畫圖等方法解決問題的經(jīng)驗，在學習過程中能夠表達自己的想法，因此教學中教師可以放手讓學生自主探究、合作交流，使學生有機會獲得直接經(jīng)驗。

“雞兔同籠”問題原屬于六年級的內容，現(xiàn)編入四年級教材，一方面是想讓學生通過生動有趣的古代數(shù)學問題感受我國的數(shù)學文化，另一方面是讓學生認識用猜測、列表、畫圖、假設等方法解決問題的策略，培養(yǎng)學生的有序思考及邏輯推理能力。

對四年級學生來說，理解和掌握假設法還有些困難，因此教師在教學時要通過數(shù)形結合使學生理解假設法?！半u兔同籠”問題的作用在于體現(xiàn)解題的策略和思想方法，教師在教學中要注意滲透化繁為簡、有序思考、數(shù)形結合、假設思想、模型思想等數(shù)學思想方法。

二、以“雞兔同籠”教學為例，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力

“雞兔同籠”問題在以前是課外典型題，如今編入教材中，對學生，尤其是基礎不好的學生來說有一定的難度。因此，筆者認為應讓學生經(jīng)歷從多個角度思考、運用多種方法解題的過程，使學生根據(jù)已有經(jīng)驗不斷調整解題策略，探討出不同的解法，找到合理的解題策略，并在合作學習的過程中積累解題經(jīng)驗，掌握解題方法，然后靈活運用該方法解決生活中類似“雞兔同籠”的問題。

由于學生很難理解用假設法解題，因此筆者用畫圖法來幫助學生理解，先畫8個圓圈代表8只雞，每只雞畫2只腳，這樣就有16只腳，缺了10只腳，再給其中幾只雞每只添上2只腳，它們就變成了兔子，然后求出兔子的數(shù)量。這樣就把抽象的知識直觀化了，學生也很快理解了用假設法解題。具體策略如下。

1.創(chuàng)設情境，調動學生思維的積極性

師：同學們，我國是一個歷史悠久的國家，有許多著名的數(shù)學家，他們帶給我們許多寶貴的數(shù)學財富，同時也給我們留下了許多有趣的數(shù)學問題，你們想看看是什么樣的數(shù)學問題嗎？

生（齊）：想。

師：那就讓我們一起坐上時光機，穿越到1500年前的數(shù)學課堂，翻開數(shù)學名著《孫子算經(jīng)》，里面記載著這樣一個問題。

（教師用多媒體模擬穿越情境，出示《孫子算經(jīng)》，并作翻頁狀，呈現(xiàn)題目：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？）

師：誰能用自己的話翻譯這個問題？

生1：籠子里有雞和兔，從上面數(shù)，有35個頭，從下面數(shù)，有94只腳，問雞和兔各有幾只？

師：這就是著名的數(shù)學趣題——“雞兔同籠”問題。

【反思】

“雞兔同籠”問題是一道有趣、益智、富有挑戰(zhàn)性的歷史名題，對于初次接觸這類題的四年級學生來說，有一定的難度，如果引入不當，就容易使學生產(chǎn)生畏難情緒，從而失去思考的動力。因此，筆者通過創(chuàng)設穿越情境，把學生帶回古代的數(shù)學課堂中，用生動有趣的方式呈現(xiàn)《孫子算經(jīng)》中記載的“雞兔同籠”問題，讓學生產(chǎn)生代入感，激起學生的興趣?？梢?，在課堂教學中，創(chuàng)設生動有趣的問題情境是激發(fā)學生積極思考的重要途徑。

2.大膽猜測，激發(fā)學生思維的主動性

師：你知道雞和兔各有幾只嗎？我們來猜一猜吧！

生1：有10只雞、6只兔。

（由于數(shù)據(jù)太大，且該生沒有抓住“共35個頭”這一要點，便胡亂猜了一組數(shù)據(jù)）

生2：錯了、錯了。

師：你怎么知道他說的是錯的？

生2：因為雞和兔一共有35只，他的答案中雞和兔一共才16只，肯定不對。

師：題中哪一信息反映了雞和兔一共有35只？

生2：上有三十五頭。

師：誰再來猜一猜？

生3：有15只雞、20只兔。

師：他猜得對不對呢？

生4：算一算總腳數(shù)是不是94只。雞有2只腳，兔有4只腳，15×2+20×4=110（只）腳。還是沒猜對。

【反思】

猜測是一個人思考的開始，也是發(fā)明創(chuàng)造的開始。學生應敢于猜測、勤于猜測、善于猜測，并在“猜測→驗證→再猜測→再驗證”的過程中靈活思考。以上教學環(huán)節(jié)，在“隨意亂猜→抓住要點猜→根據(jù)結果猜”的過程中，學生的思維實現(xiàn)了從無序到有序、從片面到完善的變化。因此，在課堂教學中，猜測、驗證是學生主動探求知識、激發(fā)思維主動性的重要方式。

3.化繁為簡，提高學生思維的靈活性

師：看來不好猜呀！那我們把數(shù)據(jù)改小一點，好嗎？把35個頭改為8個頭，把94只腳改為26只腳，如何？

生1：這樣就好猜多了。

師（出示表1）：現(xiàn)在大家不用猜了，可以直接用列表法找出正確的答案。

表1 雞、兔及其腳的數(shù)量

生2：我先從1只雞、7只兔算起，發(fā)現(xiàn)總腳數(shù)多了，就依次增加1只雞，減少1只兔，第三次就得出3只雞和5只兔的總腳數(shù)一共是26只（如表2）。

表2 雞、兔及其腳的數(shù)量

生3：我先從7只雞、1只兔算起，發(fā)現(xiàn)總腳數(shù)少了，就依次減少1只雞，增加1只兔，最后得出3只雞和5只兔的總腳數(shù)一共是26只（如表3）。

表3 雞、兔及其腳的數(shù)量

生4：我先對半算，4只雞和4只兔一共有24只腳，比26只腳少了2只腳，就減少1只雞，增加1只兔，這樣總腳數(shù)就剛好是26只了，所以籠子里有3只雞、5只兔（如表4）。

表4 雞、兔及其腳的數(shù)量

師：剛才同學們在填表時，都是邊填邊調整的。誰能說說你是怎樣調整的？

生5：總腳數(shù)少了，說明兔少了，應該增加兔的數(shù)量，減少雞的數(shù)量；總腳數(shù)多了，說明兔多了，應該減少兔的數(shù)量，增加雞的數(shù)量。

師：在調整的過程中，你們還發(fā)現(xiàn)了什么？

生6：我發(fā)現(xiàn)把1只雞換成1只兔，總腳數(shù)就會增加2；相反，把1只兔換成1只雞，總腳數(shù)就會減少2。

師：那如果想增加4只腳，該怎么辦？

生7：增加2只兔，減少2只雞，也就是把2只雞換成2只兔。

師：如果要減少10只腳呢？

生8：把5只兔換成5只雞。

師：看來同學們不但通過列表法找出了答案，還弄清了雞和兔的腳數(shù)中隱藏的秘密。

【反思】

當學生躍躍欲試時，教師引導他們用列表法尋求正確的答案。學生有了先前猜測的經(jīng)驗，列表時就能做到有序填數(shù)、不斷調整，部分學生還想到了取中間數(shù)以更快尋得答案。學生在列表、試數(shù)和不斷調整的過程中，逐步發(fā)現(xiàn)雞和兔的只數(shù)變化會引起總腳數(shù)變化，為下面學習假設法做好思維鋪墊。因此，在課堂教學中，當學生的思維受到?jīng)_擊或出現(xiàn)混亂時，教師適時地引導學生化繁為簡、化難為易，降低思考難度，是提高學生思維靈活性的重要手段。

4.數(shù)形結合，培養(yǎng)學生思維的抽象性

師：除了列表法，還有沒有別的方法可以解這道題呢？

生1：還可以用畫圖法。

師：畫圖法既形象又直觀，是個不錯的方法。

生2：可以用○表示頭，|表示腳。

師：那就請同學們嘗試用畫圖法解決這道題。

生3：我先把26只腳全部畫好，再用頭去配，配2只腳的就是雞，配4只腳的就是兔，也能得到籠子里有3只雞、5只兔。

生4：我先全部畫成雞，這樣一共有2×8=16（只）腳，還差10只腳，再逐一給原本的雞添上2只腳，一共給5只雞添上了腳，變成了5只兔，所以有3只雞、5只兔。

生5：我的畫法與生4的相反，我是先全部畫成兔，這樣一共有4×8=32（只）腳，多出了6只腳，再逐一給原本的兔擦去2只腳，得出有3只雞、5只兔。

師：為什么你們都是2只腳2只腳地添上或擦去呢？為什么不添1只腳或擦1只腳呢？

生6：因為一只兔比一只雞多2只腳。

【反思】

畫示意圖可以幫助學生理解所學內容。畫圖的過程實際上就是用假設法的過程?？梢?，在課堂教學中，教師適時引導學生使用畫圖法，讓形象的圖形與抽象的數(shù)字有效結合，是培養(yǎng)學生思維抽象性的重要方法。

5.極端假設，增強學生思維的嚴密性

師：你能用算式把畫圖過程表示出來嗎？

[學生邊回答，教師邊板書。假設全是雞：8×2=16（只），26-16=10（只），4-2=2（只），兔有10÷2=5（只），雞有8-5=3（只）］

師：你們看懂了嗎？有沒有問題想問？

生1：“4-2”是什么意思？為什么是“10÷2”？

生2：因為兔有4只腳，雞有2只腳，“4-2”表示兔比雞多2只腳。

生3：這里假設全是雞，一共才有16只腳，比題目中的26只腳少了10只，要把10只腳2只2只地添上，可以添給5只雞，所以這5只雞就變成了兔。

師：誰能再把整個算式的意義說一說？（學生回答，教師用多媒體演示畫圖過程）

師：聯(lián)系剛才畫圖的過程，這算式就容易理解多了。我們還可以假設8只全是兔，你會解嗎？

（學生列式解題）

師：這三種方法其實都是先假設，再根據(jù)腳的只數(shù)進行調整。你會選哪種方法來解這道題呢？為什么？

生4：用列表法和畫圖法來解這道題太麻煩了，用假設法比較方便。

師：現(xiàn)在請你們用假設法去解決與它相似的題目吧！

【反思】

假設法對學生，尤其是基礎不好的學生來說理解起來很難。筆者先引出列表法，為后面教學假設法做好鋪墊。另外，筆者引導學生通過對列表法的理解，利用假設法來解決問題。由此可見，在課堂教學中，合理運用假設法可以使難以解決的問題變得簡單。學生經(jīng)歷了假設的過程，有利于掌握解題技能，增強數(shù)學思維的邏輯性與嚴密性。筆者認為，本課的不足之處在于教學內容的取舍方面?？紤]到四年級學生的認知水平，“雞兔同籠”問題具有一定的挑戰(zhàn)性，要使每位學生充分經(jīng)歷探究的過程，教學時還需要給學生留出更加充足的時間。因此，在改進本課教學時，教學內容需調整，可以將兩道練習留到練習課來講，這樣學生就有更充足的時間進行自主探究、合作交流。

在“雞兔同籠”教學中，師生共同探討了三種不同的解法：列表法、畫圖法和假設法。讓學生認識、理解、運用假設法是本節(jié)課的重點，也是難點。為此，教師引導學生以表格中數(shù)據(jù)的變化規(guī)律為探究基礎，以小組合作、師生互動為探究方式，以課件動態(tài)演示為輔助手段，巧妙地將認知經(jīng)驗和思維過程轉化成數(shù)學算式，從而形成了一般解題策略，發(fā)展了學生的思維水平和推理能力。

在交流的過程中，學生感受到數(shù)學思想方法的運用與解決實際問題的聯(lián)系，受到多種數(shù)學思想方法的熏陶，提高了解題能力和信心，進而體會到數(shù)學思想方法的價值。在課堂教學中，教師要善于捕捉教學資源，靈活改進教學方式，運用多樣的教學手段給學生提供思考的平臺，從而有效促進學生數(shù)學思維能力的全面發(fā)展。