從“雞兔同籠”問(wèn)題看小學(xué)數(shù)學(xué)建模

廣西河池市都安瑤族自治縣地蘇鎮(zhèn)中心小學(xué)（530715）黃家平

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想，可以幫助學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化成直觀的表象，建立經(jīng)典的數(shù)學(xué)模型，與相關(guān)知識(shí)相結(jié)合。當(dāng)學(xué)生接觸相關(guān)知識(shí)時(shí)，就會(huì)不由自主地浮現(xiàn)出與之配對(duì)的模型，進(jìn)而通過(guò)對(duì)模型的直接經(jīng)驗(yàn)來(lái)反推數(shù)學(xué)理論，最終掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。數(shù)學(xué)模型思想，就是先將同類數(shù)學(xué)問(wèn)題歸納概括出其主要特征，再根據(jù)主要特征將解答流程和分析步驟全部設(shè)計(jì)成固定程序，形成專門(mén)應(yīng)對(duì)這類問(wèn)題的解法。這樣一來(lái)，就把問(wèn)題改建成了模型，凡是結(jié)構(gòu)與原理相似的所有題型都可以運(yùn)用這種方法解決，這一過(guò)程我們稱之為數(shù)學(xué)建?！，F(xiàn)以小學(xué)數(shù)學(xué)中的“雞兔同籠”問(wèn)題為例，談一談如何培養(yǎng)小學(xué)生的建模意識(shí)。

一、對(duì)比教材，追根溯源

眾所周知，“雞兔同籠”問(wèn)題的模型是二元一次方程組，這是到中學(xué)才涉獵的內(nèi)容，然而，“雞兔同籠”問(wèn)題卻編排在小學(xué)教材中。北師大版第九冊(cè)“嘗試與猜測(cè)”這一章節(jié)中，主要借“雞兔同籠”問(wèn)題講授列舉法。蘇教版第十一冊(cè)僅僅將“雞兔同籠”問(wèn)題變?yōu)橐坏谰毩?xí)題，借機(jī)傳授“假設(shè)和替換”的解題策略。以上兩版教材都只是將這部分內(nèi)容作為案例或是以練習(xí)的形式編入教材中。人教版第八冊(cè)的“數(shù)學(xué)廣角”將“雞兔同籠”問(wèn)題作為一個(gè)獨(dú)立的章節(jié)，教材對(duì)問(wèn)題的來(lái)源、基本解法及應(yīng)用范圍解釋得很詳細(xì)。而北京版則分兩次編排，第一次在第八冊(cè)，主要介紹圖表法，只是觸及問(wèn)題的表層，算是小試牛刀，雖然沒(méi)有直接推出算式法，但是已經(jīng)做好了足夠的鋪墊和預(yù)設(shè)，算法呼之欲出；第二次安排在第九冊(cè)，提出方程思路，讓“雞兔同籠”問(wèn)題借助方程模型完美詮釋。

追根溯源，“雞兔同籠”問(wèn)題來(lái)源于《孫子算經(jīng)》一書(shū)：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何？”這道趣味數(shù)學(xué)題對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)，是否存在建模的可能？試想，如果在教學(xué)時(shí)，我們照本宣科，就題論題，那么學(xué)生的思維將很難得到發(fā)展，學(xué)生也很難掌握“雞兔同籠”問(wèn)題的精要所在。我們不妨通過(guò)問(wèn)題的來(lái)源激發(fā)學(xué)生的興趣，引發(fā)學(xué)生探究的強(qiáng)烈動(dòng)機(jī)，再揭示課題，最終滲透建模的數(shù)學(xué)思想。

二、分層建模，從“頭”算起

【例題1】一個(gè)鐵籠里關(guān)著紅腹錦雞和荷蘭侏儒兔若干只，從上面看有3個(gè)頭，從下面看有8條腿，紅腹錦雞有幾只？荷蘭侏儒兔有幾只？

由于題目中的頭數(shù)和腿數(shù)均較少，因此教師可這樣引導(dǎo)：“你們猜測(cè)一下，紅腹錦雞和荷蘭侏儒兔各有幾只呀？猜測(cè)的依據(jù)是什么？闡述一下自己的依據(jù)。”然后留出充裕的時(shí)間讓學(xué)生深入思考。

生：紅腹錦雞有2只，荷蘭侏儒兔有1只。因?yàn)?只紅腹錦雞有2條腿，那么2只紅腹錦雞就有4條腿，還剩4條腿，所以只有1只荷蘭侏儒兔。

【例題2】一個(gè)鐵籠里關(guān)著紅腹錦雞和荷蘭侏儒兔若干只，從上面看有6個(gè)頭，從下面看有20條腿，紅腹錦雞有幾只？荷蘭侏儒兔有幾只？

此時(shí)要求學(xué)生可以猜測(cè)推理，可以畫(huà)圖推導(dǎo)，也可以列出算式計(jì)算，或直接用算術(shù)法。相比例題1，例題2的各項(xiàng)數(shù)據(jù)變大了，可有些學(xué)生還是依賴于猜測(cè)推理，以6個(gè)頭為前提，從1只紅腹錦雞和5只荷蘭侏儒兔開(kāi)始推演，不斷調(diào)整雞、兔的數(shù)量，直到腿數(shù)符合要求為止；有的學(xué)生則采取居中原則，將雞、兔的只數(shù)平分，從3只紅腹錦雞和3只荷蘭侏儒兔起算；有的學(xué)生則從1只荷蘭侏儒兔和5只紅腹錦雞開(kāi)始算，并列出表格（如表1）。

表1 紅腹錦雞和荷蘭侏儒兔的只數(shù)情況

有的學(xué)生直接用畫(huà)圖（如下圖）的方法把6個(gè)頭都看成是紅腹錦雞的頭，或把6個(gè)頭都看成是荷蘭侏儒兔的頭。

這時(shí)，教師溝通了列表法和畫(huà)圖法之間的聯(lián)系——形式不一，但是內(nèi)涵和原理是一致的，都采用了假設(shè)法。借助學(xué)生的圖示，初步形成解決這類問(wèn)題的策略，于是教師制訂粗略的解題程序。

（1）將所有的動(dòng)物全部看成紅腹錦雞或荷蘭侏儒兔，算出虛擬腿數(shù)。

（2）與實(shí)有腿數(shù)比較，算出差額。

（3）根據(jù)腿數(shù)的差額，在頭數(shù)保持不變的前提下，給某幾只動(dòng)物增減腿數(shù)，使其變成另一種動(dòng)物。

（4）確定最終數(shù)量，求出紅腹錦雞和荷蘭侏儒兔各幾只。

【例題3】一個(gè)鐵籠里關(guān)著紅腹錦雞和荷蘭侏儒兔若干只，從上面看有8個(gè)頭，從下面看有26條腿，紅腹錦雞有幾只？荷蘭侏儒兔有幾只？

要求學(xué)生自選方法，獨(dú)立解答。由于學(xué)生已經(jīng)有了列表法和畫(huà)圖法作為架子，建立了穩(wěn)固的表象，后有方法溝通建立了統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)，概括提煉出了假設(shè)的基本思路，因此在解答例題3時(shí)，算術(shù)法已經(jīng)呼之欲出，順理成章。此時(shí)學(xué)生不僅能列出正確的算式，而且對(duì)算理也說(shuō)得頭頭是道。

生：假設(shè)全是紅腹錦雞，那么腿有8×2=16（條），腿數(shù)相差26-16=10（條），4-2=2（條），荷蘭侏儒兔有10÷2=5（只），紅腹錦雞有8-5=3（只）。

教師通過(guò)三個(gè)層次的逐步推進(jìn)，數(shù)據(jù)由小變大，難度逐漸升級(jí)，方法由初級(jí)到高級(jí)，由直觀到抽象，由列舉推演到邏輯推理，可謂一步步將學(xué)生引入“雞兔同籠”問(wèn)題的正解中。這個(gè)過(guò)程體現(xiàn)了循序漸進(jìn)、螺旋式上升的教學(xué)結(jié)構(gòu)，始終保持不變的主線就是“假設(shè)”的主體思路。

三、抽象概括，建立模型

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，抽象概括能力是核心素養(yǎng)之一，是形成方法和制訂步驟的重要保障，也是數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)。抽象是從許多同類事物中提取共性，過(guò)濾掉非本質(zhì)因素，并加以認(rèn)識(shí)的思維活動(dòng)。在數(shù)學(xué)中，抽象表現(xiàn)為抽取數(shù)量關(guān)系，提煉出幾何性質(zhì)。當(dāng)學(xué)生在頭腦中形成基本的數(shù)量關(guān)系后，教師還需加強(qiáng)引導(dǎo)，幫助學(xué)生厘清數(shù)量關(guān)系。在學(xué)生能初步用假設(shè)法解答“雞兔同籠”問(wèn)題后，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“雞兔同籠”這類問(wèn)題的基本特征，以及描摹出數(shù)量關(guān)系的框架。首先是已知兩個(gè)未知量的和，以及兩個(gè)未知量的不同倍數(shù)和，分別求兩個(gè)未知量；其次是揭示解題方法以及原理依據(jù)，即假設(shè)法的設(shè)計(jì)思路；最后是帶領(lǐng)學(xué)生深度思索：“哪些問(wèn)題可以劃歸為‘雞兔同籠’問(wèn)題？”

在學(xué)生普遍感到困惑時(shí)，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生繼續(xù)研究類似的“鱷鴨同游”和“雞豬同行”問(wèn)題，并發(fā)問(wèn)：“‘雞兔同籠’問(wèn)題有什么獨(dú)特之處？‘雞兔同籠’問(wèn)題只能是雞兔嗎？”經(jīng)過(guò)前后對(duì)比分析，學(xué)生就能發(fā)現(xiàn)：“紅腹錦雞和荷蘭侏儒兔同籠”問(wèn)題不只是紅腹錦雞、荷蘭侏儒兔同籠的問(wèn)題，換成其他品種的雞和兔子也行，甚至換成其他動(dòng)物也行，只要兩種動(dòng)物一種是兩肢，另一種是四肢即可，如雞豬問(wèn)題、牛鴨問(wèn)題。甚至繼續(xù)抽象，只要兩種同屬事物的相同部位存在2和4的配比，都可認(rèn)定為“雞兔同籠”問(wèn)題，如汽車和自行車的輪子問(wèn)題。

隨后，繼續(xù)抽象，剝離同種事物的束縛，只抽象出數(shù)據(jù)，甚至2和4的配比都可以更改，如“存錢(qián)罐里儲(chǔ)存著5元和2元兩種面值的鈔票，數(shù)一數(shù)一共有8張，合計(jì)34元，存錢(qián)罐里面值5元和面值2元的鈔票各有多少?gòu)?？”的題目，探討其與“雞兔同籠”問(wèn)題的相關(guān)性。

經(jīng)過(guò)比較和分析，學(xué)生的思維再次得到提高，有學(xué)生說(shuō)：“這里面值2元的鈔票就相當(dāng)于紅腹錦雞，而5元的鈔票就相當(dāng)于荷蘭侏儒兔，只不過(guò)這只‘兔子’長(zhǎng)了5條腿?！?/p>

最后，教師讓學(xué)生廣泛聯(lián)系生活，將熟悉的事物編寫(xiě)成“雞兔同籠”問(wèn)題，而且是“變異紅腹錦雞與變異荷蘭侏儒兔同籠”的數(shù)學(xué)問(wèn)題，也就是徹底解除2和4的配比限制。

課堂總結(jié)時(shí)，教師向?qū)W生提出問(wèn)題：“通過(guò)對(duì)‘雞兔同籠’問(wèn)題的研究，你獲得了哪些啟示？”概括地說(shuō)，即從某一個(gè)問(wèn)題出發(fā)，先研究解法，然后推廣到所有類似問(wèn)題，建立基礎(chǔ)模型，最后不斷抽離情境條件，逐漸提煉出數(shù)學(xué)問(wèn)題。

回顧上述教學(xué)，在對(duì)“雞兔同籠”問(wèn)題的深度思考過(guò)程中，盡管每次思考的問(wèn)題和方法不同，究其本質(zhì)都是逐漸幫助學(xué)生建模的過(guò)程。第一層次著眼于單一的“雞兔同籠”問(wèn)題，主要是激發(fā)學(xué)生的解題動(dòng)機(jī)；第二層次則指向“雞兔同籠”這一類問(wèn)題的基本結(jié)構(gòu)和解題策略，形成一種初步的數(shù)學(xué)化思維；第三層次是抽象化的“理論模型”建構(gòu)，剝離一切外在情境和非本質(zhì)因素的束縛，建立完全抽象化的數(shù)學(xué)理論模型，其涵蓋面更廣。

四、拓展延伸，助力建模

幫助學(xué)生較為理想地建構(gòu)起基本的數(shù)學(xué)思維模型，以及問(wèn)題解決的思維模型，是一個(gè)極其復(fù)雜的教學(xué)過(guò)程，也是一個(gè)跨時(shí)較長(zhǎng)的艱難歷程。故而，在“雞兔同籠”問(wèn)題的教學(xué)中，教師不僅要做到上述三個(gè)層次，更要跳出這三個(gè)層次。盡管這個(gè)時(shí)候?qū)W生已經(jīng)較為系統(tǒng)地抽象出數(shù)學(xué)模型，獲得了一定的解決“雞兔同籠”問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，但是教師還得嘗試把這一問(wèn)題進(jìn)行拓展、延伸，以擴(kuò)充學(xué)生的學(xué)習(xí)容量，給予他們更多的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。

1.介紹同類問(wèn)題的不同現(xiàn)象

首先，利用現(xiàn)代多媒體技術(shù)展示一則數(shù)學(xué)故事，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行閱讀。在閱讀中學(xué)生發(fā)現(xiàn)，中國(guó)古老的“雞兔同籠”問(wèn)題也會(huì)漂洋過(guò)海，搖身變?yōu)椤端惴ㄍ訂?wèn)》中的“狗與章魚(yú)的故事”。進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生思考：“這是數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？如果是，那么與‘雞兔同籠’問(wèn)題是一樣的嗎？”

其次，引導(dǎo)學(xué)生探究這個(gè)問(wèn)題，嘗試用已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)思維模型去提煉和研究。學(xué)生將故事提煉為“一群狗與一堆章魚(yú)在玩耍，遠(yuǎn)遠(yuǎn)望去，有著15個(gè)頭，看看地上，有著88條腿。這里的章魚(yú)和狗各有多少只？”，學(xué)生開(kāi)動(dòng)腦筋，運(yùn)用前面積累的經(jīng)驗(yàn)和形成的解題模型去研究問(wèn)題。有的采取畫(huà)圖策略，畫(huà)出15個(gè)圓圈代表頭數(shù)，在每個(gè)圓圈下畫(huà)上4條豎線，代表4條腿。假設(shè)全是狗，通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)多出88-4×15=28（條）腿。為什么會(huì)多出腿呢？因?yàn)檎卖~(yú)有8條腿，這樣學(xué)生就會(huì)在部分圖案上再補(bǔ)上4條腿，也就得出章魚(yú)的只數(shù)和狗的只數(shù)了。

最后，教師還可以向?qū)W生介紹“龜鶴”問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效的學(xué)習(xí)遷移，讓他們?nèi)徱曉搯?wèn)題與前面的“狗與章魚(yú)的故事”“雞兔同籠”問(wèn)題的本質(zhì)聯(lián)系，從而讓學(xué)生在趣味化的學(xué)習(xí)中更好地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

2.研究變式問(wèn)題的基本規(guī)律

除了讓學(xué)生將問(wèn)題進(jìn)行遷移，教師還得再度拓展問(wèn)題，以激發(fā)學(xué)生個(gè)性化學(xué)習(xí)的動(dòng)力，讓“雞兔同籠”問(wèn)題的模型建立得更扎實(shí)、更牢靠。

比如，設(shè)計(jì)出這樣一類問(wèn)題：趙小亮參加科學(xué)知識(shí)競(jìng)賽，一共50道問(wèn)題，搶答對(duì)1題可以得到2分，答錯(cuò)則要倒扣1分。比賽結(jié)束后，趙小亮得到85分。趙小亮答錯(cuò)了多少題？在這里需要學(xué)生更進(jìn)一步地閱讀與思考，讓他們深入理解“答錯(cuò)則要倒扣1分”的本質(zhì)。經(jīng)過(guò)自主思考和同伴互動(dòng)學(xué)習(xí)，學(xué)生在思維交鋒中悟出：倒扣1分，就是在獲得的分?jǐn)?shù)中減去1分，本質(zhì)就是每答錯(cuò)1題，失去的分?jǐn)?shù)是1+2=3（分），問(wèn)題的核心堡壘被攻克，解決它就水到渠成了。

綜上所述，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的完整過(guò)程，掌握數(shù)學(xué)建模的整套科學(xué)流程。當(dāng)學(xué)生學(xué)會(huì)建模之后，他們對(duì)待問(wèn)題的站位會(huì)更高，眼光會(huì)更開(kāi)闊，能窺一斑而知全豹。當(dāng)然，這個(gè)過(guò)程不是一蹴而就的，需要長(zhǎng)期積累。