例談數(shù)學(xué)活動(dòng)的優(yōu)化

浙江湖州市德清縣實(shí)驗(yàn)學(xué)校（313200）何瀟瀟

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)需要學(xué)生邊做邊想才能有效積累，不僅如此，只有科學(xué)合理的活動(dòng)才有利于學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)?？茖W(xué)合理的數(shù)學(xué)活動(dòng)應(yīng)該是有提問、有目的、有流程、有順序的，而不是漫無目的、只圖熱鬧好玩的。課堂上，經(jīng)常出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：教師精心設(shè)計(jì)了數(shù)學(xué)活動(dòng)，以為學(xué)生可以通過活動(dòng)積累有用的經(jīng)驗(yàn)，但一些學(xué)生只顧著操作玩耍、盲目模仿，根本不動(dòng)腦筋思考。

一、案例分析

【案例1】在教學(xué)“平行四邊形的面積公式”時(shí)，教師設(shè)計(jì)的操作活動(dòng)流程如下：（1）經(jīng)過平行四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)作高；（2）將平行四邊形沿高剪開，分割成一個(gè)三角形和一個(gè)梯形；（3）水平移動(dòng)三角形，至另一角，將圖形拼成一個(gè)長方形。然后教師指導(dǎo)學(xué)生觀察圖形剪接前后哪些元素不變，并讓學(xué)生思考如何推導(dǎo)面積公式。

【分析與思考】

該案例中的操作活動(dòng)有些形式化。學(xué)生只是一板一眼地按照教師的要求操作，從不思考“為何要沿著高剪開？”“沿著高剪開的目的是什么？”。由此可見，學(xué)生在操作中根本沒有反思、批判、質(zhì)疑、創(chuàng)新等思維活動(dòng)，只是被動(dòng)執(zhí)行教師的命令，多樣化的探究和優(yōu)化過程被省略，根本沒有數(shù)學(xué)化、理論化的經(jīng)驗(yàn)生成。沿著高裁剪平行四邊形，這只是一種方案，但推導(dǎo)平行四邊形面積公式時(shí)存在多種方案。案例1中的活動(dòng)規(guī)定束縛了學(xué)生的思維。

【案例2】讓學(xué)生解答“快遞員騎摩托車從東城出發(fā)到西城派件，去時(shí)速度為80千米/時(shí)，返回時(shí)速度為100千米/時(shí)，快遞員騎摩托車往返的平均速度是多少？”。

【分析與思考】

學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用存在機(jī)械化現(xiàn)象。大多數(shù)學(xué)生解題時(shí)列式為（100+80）÷2=90（千米/時(shí)）。學(xué)生的理解是“（去時(shí)速度+返回速度）÷2=90（千米/時(shí)）”。這折射出學(xué)生將對(duì)平均數(shù)的理解與對(duì)平均速度的理解合二為一，錯(cuò)將速度的平均數(shù)當(dāng)成往返平均速度處理，他們對(duì)求平均值中的“移多補(bǔ)少”的理解有偏差，積累的經(jīng)驗(yàn)是片面的。計(jì)算往返的平均速度的正確方法應(yīng)該是“往返總路程÷往返總時(shí)間=往返平均速度”，而往返一次的總路程和所用的總時(shí)間是未知的，可通過假設(shè)的策略處理。

將生活情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型后，由于形式發(fā)生巨大變化，導(dǎo)致學(xué)生無法適應(yīng)，放著現(xiàn)成的情境模型不知如何運(yùn)用，于是就脫離現(xiàn)實(shí)全憑直覺解題，這樣勢(shì)必會(huì)出錯(cuò)。

【案例3】讓學(xué)生解答“王華打車前往5千米外的郊外參加學(xué)校組織的夏令營活動(dòng)，‘順風(fēng)車’的起步價(jià)是8元（3千米以內(nèi)），超過這個(gè)基本服務(wù)里程，每超過1千米加收1.5元。王華一共要付多少元？”。

【分析與思考】

解答時(shí)存在生活經(jīng)驗(yàn)無效化現(xiàn)象。大部分學(xué)生都能正確求解，但仍有學(xué)生列式為8+1.5×5。主要是因?yàn)閷W(xué)生缺少類似的生活經(jīng)驗(yàn)，碰到生活問題時(shí)就按自己的思維方式去思考，缺乏對(duì)生活問題的主動(dòng)思考與探究，導(dǎo)致不能有效運(yùn)用生活經(jīng)驗(yàn)解決數(shù)學(xué)問題。

【案例4】讓學(xué)生解答“星期天，高中生周淑華和林紅霞相約在上午8點(diǎn)準(zhǔn)時(shí)從家中騎自行車出發(fā)，前往位于她們兩家之間的體育場。周淑華每分鐘行駛150米，林紅霞每分鐘行駛180米。當(dāng)她們?cè)隗w育場門口相遇時(shí)，發(fā)現(xiàn)這里距離兩家中點(diǎn)120米。她們兩家之間相距多少米？”。

【分析與思考】

學(xué)生的閱讀理解存在膚淺化現(xiàn)象。面對(duì)這個(gè)問題，很多學(xué)生的思考都是不到位的，甚至還有部分學(xué)生無從下手。他們還嘀咕著“這是個(gè)相遇問題，應(yīng)該要知道速度和時(shí)間，速度是知道了，可是不知道時(shí)間呀，怎么計(jì)算呢？”，也有部分學(xué)生直接寫出算式（150+180）×120。

筆者以為，這種現(xiàn)象的出現(xiàn)一定不是偶然，是因?yàn)閷W(xué)生缺乏必要的深度思考意識(shí)，以及對(duì)基本的數(shù)學(xué)思想方法的感悟、應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)，從而出現(xiàn)“不知所以然”等不良現(xiàn)象，最終導(dǎo)致沒有用數(shù)學(xué)思維來思考，沒有促進(jìn)學(xué)習(xí)研究的開展。

二、優(yōu)化措施

1.自主操作，優(yōu)化方法

對(duì)于操作活動(dòng)而言，必須要有抽象提煉的過程，才能形成有用的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。因此，在教學(xué)活動(dòng)中要著重培養(yǎng)學(xué)生“思考—?jiǎng)邮帧此肌钡牟僮髁?xí)慣。以教學(xué)“三角形的內(nèi)角和是180°”為例。

操作前確定目標(biāo)，然后思考怎么做才能達(dá)成這一目標(biāo)，對(duì)操作步驟做出科學(xué)設(shè)計(jì)。教師可以先組織學(xué)生按角的類型將三角形分類，讓學(xué)生思考問題：為什么三角形只需含有一個(gè)直角（或一個(gè)鈍角）就可以直接確定其為直角三角形（或鈍角三角形），而需要含有三個(gè)銳角才能確定其為銳角三角形？這與什么有關(guān)？學(xué)生一般會(huì)猜到與三角形內(nèi)角和有關(guān)。教師接著追問：“如何操作才能探明三角形的內(nèi)角和是多少？”學(xué)生交流后確定方案：先準(zhǔn)備若干個(gè)任意形狀的三角形紙片，測出各三角形三個(gè)角的度數(shù)，再求和；也可以折疊紙片，將三個(gè)角拼湊到一處，看看組成一個(gè)什么樣的角。這樣帶著目的的方案設(shè)計(jì)，就能使學(xué)生積累有用的經(jīng)驗(yàn)。

探索不同的操作方案。在各個(gè)小組中，鼓勵(lì)、支持學(xué)生采取不同的方案開展研究，有的采用測算法，有的采用拼組法。在測算活動(dòng)中，教師給每組學(xué)生提供類型各異的三角形，便于學(xué)生發(fā)現(xiàn)普遍規(guī)律，形成全面的認(rèn)知。學(xué)生通過操作，又有了新的疑問：三角形內(nèi)角和可能是接近180°，未必就正好是180°。教師提問：“看來測算法不靠譜，還有什么更加先進(jìn)的方法嗎？”有的小組展示了折疊法、割補(bǔ)法的過程，目的是將三個(gè)內(nèi)角拼湊到一起，組成平角，由此證明了三角形的內(nèi)角和是180°。為了再次確認(rèn)，教師通過動(dòng)畫演示，讓學(xué)生建立了正確的表象。

注重操作方法的優(yōu)化比較。優(yōu)化方案中，學(xué)生會(huì)對(duì)各種操作方法的運(yùn)行原理進(jìn)行客觀全面的分析，從而正確評(píng)估和判斷整個(gè)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的科學(xué)性和合理性。

2.準(zhǔn)確分析，拓寬思路

在解決實(shí)際問題的活動(dòng)中，學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系、建立模型的經(jīng)驗(yàn)欠缺，教師應(yīng)該從最基礎(chǔ)的部分開始，指導(dǎo)學(xué)生冷靜細(xì)致地分析數(shù)量關(guān)系，然后正確巧妙地建立模型。

3.改建模型，辨析矯正

實(shí)際問題數(shù)學(xué)化后，學(xué)生只會(huì)借助情境分析問題，離開情境就不會(huì)分析，一旦抽離具體情境，學(xué)生解決問題時(shí)要么違反基本常識(shí)，要么無法正確利用數(shù)學(xué)公式，導(dǎo)致解題過程非常復(fù)雜煩瑣。如情境“以下是歡樂谷各種游戲項(xiàng)目的定價(jià)：深海潛艇每船每小時(shí)8元（每船核載4人），旋轉(zhuǎn)飛機(jī)每架每次6元（每架核載2人），原始部落每小時(shí)2元，百步穿楊每射出10支弓箭3元，過山車每人5元，3D動(dòng)感影院每小時(shí)5元。請(qǐng)你思考：用10元最多可以玩幾個(gè)項(xiàng)目？”由于缺少生活體驗(yàn)，學(xué)生認(rèn)為“玩單人項(xiàng)目，盡可能選便宜的，就能玩更多項(xiàng)目”，所以大部分學(xué)生選擇的項(xiàng)目是原始部落、百步穿楊、過山車。

針對(duì)這一答案，教師可以模擬游玩情境，提示學(xué)生：“在生活中，人們一般是組團(tuán)出游，結(jié)伴游玩。可以4人組隊(duì)坐游艇，這樣可以分?jǐn)偲眱r(jià)?！蓖ㄟ^交流，學(xué)生意識(shí)到可以選擇多人項(xiàng)目，分?jǐn)傎M(fèi)用。于是學(xué)生的思路發(fā)生根本性的轉(zhuǎn)變，由“參加單人項(xiàng)目，選最便宜的”到“選擇多人項(xiàng)目，分?jǐn)偲眱r(jià)”。數(shù)學(xué)來源于生活，活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)也要與生活實(shí)際掛鉤。在教師的點(diǎn)撥和指引下，學(xué)生寫下了“8÷4=2（元）（深海潛艇），6÷2=3（元）（旋轉(zhuǎn)飛機(jī)），2元（原始部落），3元（百步穿楊），10=2+3+2+3，因此，最多可以玩4個(gè)項(xiàng)目”，解決了問題。由此可見，數(shù)學(xué)教學(xué)中，生活經(jīng)驗(yàn)的積累可以促成數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的積累。

學(xué)習(xí)中學(xué)生難免犯錯(cuò)，教師如果善加利用，讓學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤進(jìn)行分辨糾正，那么經(jīng)過這一訓(xùn)練后，學(xué)生的思維也會(huì)有所改善和進(jìn)步。在六年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)于“正方形的面積與邊長是否成正比例”這一問題的判斷，學(xué)生出錯(cuò)率居高不下。這說明學(xué)生的思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)非常欠缺。有的學(xué)生看錯(cuò)題目，將面積看成周長。有的學(xué)生對(duì)比例理解不到位，認(rèn)為面積是邊長的倍數(shù)，但是卻不知它們的比值（商）為邊長，是個(gè)變量。

教師不妨從以下方面入手幫學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)。首先是鞏固“比例的意義”知識(shí)，讓學(xué)生明白正方形的面積與邊長是兩種相關(guān)聯(lián)的量。其次是分辨易混點(diǎn)，讓學(xué)生能夠區(qū)別正方形的面積與邊長、正方形的周長與邊長的關(guān)系。學(xué)生仔細(xì)比較就會(huì)發(fā)現(xiàn)，正方形的面積÷邊長=邊長，正方形的周長÷邊長=4，差別非常明顯，正方形的面積除以邊長之后所得的商還是邊長，邊長是個(gè)變量，而正方形的周長除以邊長，所得的商為4，4是個(gè)定量，前者不符合正比例的定義，后者則符合。

4.深度閱讀，方法優(yōu)先

滲透基本的數(shù)學(xué)思想方法于教學(xué)中，讓學(xué)生在相應(yīng)的學(xué)習(xí)中感知數(shù)學(xué)思想方法的存在，并在系列活動(dòng)中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法的存在，是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心使命之一，也是夯實(shí)學(xué)生“四基”的重要抓手。故而，在上述案例4的教學(xué)指導(dǎo)中，教師就要立足學(xué)生的思維特征，引導(dǎo)學(xué)生更好地解讀線段圖的表征，以此來助推學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的理解，加深學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法的感知，從中探尋到問題信息之間的本質(zhì)聯(lián)系，找到解決問題的突破口，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)的更新升級(jí)。

（1）指導(dǎo)閱讀，達(dá)到“其義自見”的效果。

閱讀是兒童走進(jìn)知識(shí)世界的金鑰匙。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，閱讀對(duì)于學(xué)生而言有著舉足輕重的作用?；厮萸懊娴陌咐?，正視學(xué)生出現(xiàn)的種種不足，特別是面對(duì)那些一直說著“沒法做”“還差時(shí)間”的學(xué)生時(shí)，教師就得把教學(xué)的重心下移，指導(dǎo)學(xué)生閱讀，力爭達(dá)到“其義自見”的效果。

引導(dǎo)學(xué)生自主閱讀、同伴互助閱讀，力求通過閱讀真正尋覓到問題的核心信息，找到突破問題的蛛絲馬跡，為理性地解析問題提供堅(jiān)實(shí)的閱讀理解基礎(chǔ)。經(jīng)過討論與思維碰撞，學(xué)生找到關(guān)鍵點(diǎn)“在距離中點(diǎn)120米處相遇”，進(jìn)而明確兩人騎車行駛的基本軌跡，讓隱藏的關(guān)系、暗含的信息在閱讀中顯露出來，成為他們畫圖釋義的有力支撐。

（2）引導(dǎo)畫圖，實(shí)現(xiàn)“圖窮匕見”的奇效。

緊接著，學(xué)生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，較為準(zhǔn)確地畫出線段圖。同時(shí)，也在畫圖中不斷感悟“周淑華速度慢，則她行駛的路程比總路程的一半少120米，反之林紅霞行駛的路程比總路程的一半多120米，二者一比，就能得出林紅霞比周淑華多走了2個(gè)120米”。對(duì)于問題“是什么原因造成如此局面？”，學(xué)生很自然地聯(lián)想到閱讀的成果，并運(yùn)用它來解決問題，問題也就迎刃而解了。

總之，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是非常重要的，教師既要善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的不足，又要有改進(jìn)的對(duì)策，這樣才能促使學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)不斷積累。