方向導數(shù)的計算公式的注記

梁亞娜， 傅守忠， 王世芳

(肇慶學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣東 肇慶526061)

1 引 言

導數(shù)的意義是函數(shù)關于自變量的變化率.多元函數(shù)在某一點沿著一個給定方向的方向導數(shù)，實際上就是函數(shù)在這個方向上的一種變化率.數(shù)學分析和高等數(shù)學教材中[1-3]，都是利用多元函數(shù)的全微分和方向導數(shù)的定義，證明方向導數(shù)的計算公式.學生對全微分和高階無窮小沒理解透的時候，很難理解這個證明.

通過坐標平移和坐標旋轉變換，將方向導數(shù)的計算轉化為偏導數(shù)的計算，再利用復合函數(shù)的求導法則，證明了方向導數(shù)的計算公式.這個證明方法的優(yōu)點是幾何上比較直觀，但其缺點是不易推廣到4元及4元以上函數(shù)，因為3維以上的空間無法用幾何表示.本文用Schmidt正交化[4]替代坐標旋轉，就便于向高維進行推廣.

2 預備知識

定義[1，5]設二元函數(shù)z=f(x，y)在點P0(x0，y0)的某鄰域U(P0)?2有定義，l為平面中以點P0為起始點的射線，P(x，y)為l上且含于U(P0)內(nèi)的任一點，以ρ表示P與P0兩點間的距離.若極限

對于三元函數(shù)f(x，y，z)，它在空間中一點P0(x0，y0，z0)沿方向l的方向導數(shù)，類似可定義為

其中P(x，y，z)為l上的任一點，ρ表示P與P0兩點間的距離.

注 顯然，函數(shù)f(x，y，z)在一點沿x軸正向的方向導數(shù)，是函數(shù)在該點關于自變量x的“右”偏導數(shù)；沿x軸負向的方向導數(shù)，是函數(shù)在該點關于自變量x的“左”偏導數(shù)的相反數(shù).特別當函數(shù)在該點的偏導數(shù)存在時，沿x軸正向和負向的方向導數(shù)，分別是函數(shù)在該點關于自變量x的偏導數(shù)及其相反數(shù).將x換成y或z，結論也成立.對任意n(n≥2)元函數(shù)結論類似.

引理1[1，6]若m元函數(shù)f(u1，u2，…，um)在點(u1，u2，…，um)可微，n元函數(shù)uk=gk(x1，x2，…，xn)(k=1，2，…，m)都在點(x1，x2，…，xn)具有xi(i=1，2，…，n)的偏導數(shù)，則復合函數(shù)

f(g1(x1，x2，…，xn)，g2(x1，x2，…，xn)，…，gm(x1，x2，…，xn))

關于自變量xi偏導數(shù)都存在，且

該引理是一般多元復合函數(shù)的求導公式.

3 方向導數(shù)計算公式的新證明

引理2(i)若二元函數(shù)f(x，y)在點P0(x0，y0)沿給定方向l的方向導數(shù)fl(x0，y0)存在.令

u=x-x0，v=y-y0

是坐標平移變換，則復合函數(shù)g(u，v)=f(u+x0，v+y0)在原點沿l的方向導數(shù)gl(0，0)也存在，且gl(0，0)=fl(x0，y0).

(ii)對三元函數(shù)f(x，y，z)也有類似結論，即對函數(shù)g(u，v，w)=f(u+x0，v+y0，w+z0)，有gl(0，0，0)=fl(x0，y0，z0).

證根據(jù)方向導數(shù)的定義，結論顯然.

針對引理2中的函數(shù)，由復合函數(shù)求導公式易得

引理3(i)當f(x，y)在點P0(x0，y0)的偏導數(shù)存在時，g(u，v)在(0，0)點的偏導數(shù)也存在，且gu(0，0)=fx(x0，y0)，gv(0，0)=fy(x0，y0).

(ii)若三元函數(shù)f(x，y，z)在點P0(x0，y0，z0)的偏導數(shù)存在，則對應的函數(shù)g(u，v，w)在(0，0，0)點的偏導數(shù)也存在，且

gu(0，0，0)=fx(x0，y0，z0)，gv(0，0，0)=fy(x0，y0，z0)，gw(0，0，0)=fz(x0，y0，z0).

定理(i)若二元函數(shù)f(x，y)在點(x0，y0)可微，則函數(shù)在該點沿任一方向l的方向導數(shù)都存在，且

fl(x0，y0)=fx(x0，y0)cosα+fy(x0，y0)cosβ，

其中cosα和cosβ是方向l的方向余弦，即e0=(cosα，cosβ)是方向l同向的單位向量.

(ii)若三元函數(shù)f(x，y，z)在點(x0，y0，z0)可微，則函數(shù)在該點沿任一方向l的方向導數(shù)都存在，且

fl(x0，y0，z0)=fx(x0，y0，z0)cosα+fy(x0，y0，z0)cosβ+fz(x0，y0，z0)cosγ，

其中cosα，cosβ，cosγ是方向l的方向余弦，即e0=(cosα，cosβ，cosγ)是方向l同向的單位向量.

證只證明結論(ii)，結論(i)的證明方法與結論(ii)的類似，或可作為結論(ii)的特殊情況.

根據(jù)引理2和引理3，僅需證明在坐標原點的方向導數(shù)的計算公式即可，即不妨設(x0，y0，z0)就是(0，0，0).

若l平行于某一坐標軸，由第二節(jié)的注可知，結論成立.

若l不平行于任一坐標軸，即α，β，γ∈(0，π)，此時sinα，sinβ，sinγ都是正數(shù)，且

cos2α+cos2β+cos2γ=1.

r1=e0=(cosα，cosβ，cosγ)；

(a2，a2)=cos2βcos2α+sin4β+cos2βcos2γ=cos2β(cos2α+cos2γ)+sin4β

=cos2βsin2β+sin4β=sin2β，

=(0，0，1)-cosγ(cosα，cosβ，cosγ)+cotβcosγ(-cotβcosα，sinβ，-cotβcosγ)

=(-cosαcosγ(1+cot2β)，0，1-cos2γ-cot2βcos2γ)

因此

注意到{e1，e2，e3}和{r1，r2，r3}都是3的標準正交基，故其過渡矩陣為正交矩陣，因而

將向量組{r1，r2，r3}構成的坐標系的坐標軸分別記為u，v，w，則空間中任一點(x，y，z)在新坐標系下的坐標(u，v，w)滿足

即

令

g(u，v，w)=f(φ(u，v，w)，ψ(u，v，w)，ζ(u，v，w))，

根據(jù)已知條件函數(shù)f(x，y，z)在點(x0，y0，z0)可微和復合函數(shù)求導法

fl(0，0，0)=gu(0，0，0)=fx(0，0，0)φu(0，0，0)+fy(0，0，0)ψu(0，0，0)+fz(0，0，0)ζu(0，0，0)

=fx(0，0，0)cosα+fy(0，0，0)cosβ+fz(0，0，0)cosγ.

得證.

4 結 論

當所給方向與某坐標軸正向一致，且函數(shù)在某點關于該自變量的偏導數(shù)存在時，方向導數(shù)就是函數(shù)在該點對該自變量的偏導數(shù).本文利用向量組的Schmidt正交化方法，對所給方向的向量和除某一坐標軸外的其它坐標軸上的單位向量進行正交化，形成一個新的直角坐標系，所求方向導數(shù)在此坐標系下正好是對某新變量的偏導數(shù).利用新舊坐標間的線性變換公式和多元復合函數(shù)的求導法則，即可得到方向導數(shù)的計算公式.該方法對二元和三元函數(shù)有比較直觀的幾何意義.由于Schmidt正交化方法適用于任意有限維的空間，所以理論上推導n(n≥2)元函數(shù)方向導數(shù)的計算公式都是可行的.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.