線性映射視角下矩陣的秩

安玉蓮， 羅雪梅

(上海外國語大學(xué) 國際金融貿(mào)易學(xué)院，上海201620)

1 引 言

映射是數(shù)學(xué)研究的主要對象之一.線性代數(shù)主要研究向量空間之間的線性映射(或線性變換).從映射或變換的視角考察線性代數(shù)，可以更清晰地認(rèn)識重要知識點(diǎn)的本質(zhì)，更深刻地理解矩陣與線性映射之間的關(guān)系，為更好地應(yīng)用線性代數(shù)知識提供思想基礎(chǔ)與方法[1-4].

矩陣的秩是線性代數(shù)教學(xué)的難點(diǎn)之一.目前大部分線性代數(shù)教材和相關(guān)文獻(xiàn)中，關(guān)于矩陣秩的性質(zhì)，都是從矩陣本身出發(fā)，采用分塊的方法，并結(jié)合矩陣運(yùn)算性質(zhì)和線性方程組解的理論給與證明[5-8].文章利用線性映射的知識，對線性代數(shù)教材中關(guān)于矩陣秩的幾個重要命題給出了另一種比較簡潔的證明，為該知識點(diǎn)的教學(xué)提供一種新的思路和處理方式.

2 線性變換與矩陣

為了方便敘述，文章在實(shí)數(shù)域內(nèi)進(jìn)行研究，但是處理問題的方法對復(fù)數(shù)域也適用.為方便讀者，先給出關(guān)于有限維向量空間之間的線性變換與矩陣關(guān)系的幾個基本概念和相關(guān)性質(zhì).

定義1[1]設(shè)n，m分別是n維和m維向量空間，T是從n到m的映射，如果T滿足:

(i)任意的α1，α2∈n，有T(α1+α2)=Tα1+Tα2;

(ii)任意的α∈n，λ∈，有T(λα)=λTα，

則稱T為從n到m的線性變換.特別地，如果n=m，稱T為向量空間n上的線性變換.

性質(zhì)1[1]線性變換T∶n→m具有下列基本性質(zhì):

(i)T(0)=0;

(ii)若向量組α1，α2，…，αs線性相關(guān)，則向量組Tα1，Tα2，…，Tαs也線性相關(guān).

一個線性變換T∶n→m，會產(chǎn)生兩個重要的子空間: 像空間與核空間.線性變換T的像集T(n)是m的一個子空間，稱為線性變換T的像空間.滿足T(α)=0的全體向量α的集合構(gòu)成n的一個子空間，稱為T的核空間，記為N(T).

矩陣與線性變換關(guān)系密切.一般地，給定一個矩陣可以定義一個線性變換.任意給定一個矩陣

其中α1，α2，…，αn是矩陣A的列向量組.定義線性變換T∶n→m，Tx=Ax，則對任意的x=(x1，x2，…，xn)′∈n，有

Tx=Ax=x1α1+x2α2+…+xnαn，

其中(x1，x2，…，xn)′表示行向量的轉(zhuǎn)置.

性質(zhì)2[1]由矩陣A確定的線性變換T具有下列基本性質(zhì):

(i)T的像空間是矩陣A的列向量組α1，α2，…，αn張成的空間，即

T(n)=span(α1，α2，…，αn);

(ii)T的核空間是齊次線性方程組Ax=0的解空間;

(iii)T的核空間維數(shù)與像空間維數(shù)之和等于n，即dim(N(T))+dim(T(n))=n.

記T(α1，α2，…，αn)=(Tα1，Tα2，…，Tαn)，則T(α1，α2，…，αn)=(β1，β2，…，βm)Amn，其中

任意的x=x1α1+x2α2+…+xnαn∈n，有

Tx=x1Tα1+x2Tα2+…+xnTαn

=(Tα1，Tα2，…，Tαn)(x1，x2，…，xn)′

=(β1，β2，…，βm)Amn(x1，x2，…，xn)′.

即Tx在基β1，β2，…，βm下的坐標(biāo)為Amn(x1，x2，…，xn)′.這表明，任意的x∈n，其像Tx可以由矩陣Amn唯一確定，即矩陣Amn表達(dá)了該線性變換.

類似地，方陣的逆矩陣是向量空間之間逆變換的對應(yīng)法則.向量的復(fù)雜變化可以通過矩陣乘法、矩陣求逆等運(yùn)算實(shí)現(xiàn)，這正是計(jì)算機(jī)繪圖的基礎(chǔ)之一.因此，可以利用線性變換來研究矩陣的相關(guān)問題.下面，運(yùn)用矩陣與線性變換的關(guān)系，證明關(guān)于矩陣秩的幾個經(jīng)典結(jié)論.

3 幾個矩陣秩的性質(zhì)的證明

從線性變換的視角研究矩陣，可以提供關(guān)于矩陣秩的幾個重要性質(zhì)的另一種證明方法.為了簡明起見，下述定理的證明仍然沿用前文記號.

定理 1矩陣Csn=AsmBmn，則rank(C)≤min{rank(A)，rank(B)}.

證設(shè)矩陣Asm，Bmn分別對應(yīng)著線性變換T1∶m→s，T2∶n→m，則矩陣Csn對應(yīng)著復(fù)合變換T1T2∶n→s.

(i)先證rank(C)≤rank(A).

矩陣C的秩等于復(fù)合變換T1T2像空間的維數(shù)，矩陣A的秩等于線性變換T1像空間的維數(shù).顯然，T1T2的像空間是T1像空間的子集，所以rank(C)≤rank(A).

(ii)再證rank(C)≤rank(B).

設(shè)矩陣B的列向量組為ξ1，ξ2，…，ξn，則

C=A(ξ1，ξ2，…，ξn)=(Aξ1，Aξ2，…，Aξn)=(T1ξ1，T1ξ2，…，T1ξn).

根據(jù)性質(zhì)1(ii)知，向量組T1ξ1，T1ξ2，…，T1ξn的秩不大于向量組ξ1，ξ2，…，ξn的秩，即rank(C)≤rank(B).

綜合(i)，(ii)的證明，可得定理結(jié)論.

定理 2若矩陣AsmBmn=O，則rank(A)+rank(B)≤m.

證設(shè)矩陣Asm，Bmn分別對應(yīng)著線性變換T1∶m→s，T2∶n→m.如果rank(B)=r，下證rank(A)≤m-r.

由AsmBmn=O知，任意的x∈n，有T1T2x=T1(T2x)=0. 因?yàn)閞ank(B)=r，所以線性變換T2的像空間維數(shù)為r.不妨設(shè)η1，η2，…，ηr是T2的像空間的一組基.進(jìn)一步，有

T1(η1，η2，…，ηr)=(Aη1，Aη2，…，Aηr)=(0，0，…，0).

上式表明，線性變換T1把m中的r個線性無關(guān)的向量都映射為零向量，即dim(N(T1))≥r.根據(jù)性質(zhì)2(iii)得，T1的像空間維數(shù)至多為m-r，即rank(A)≤m-r.

定理 3若矩陣AsmBmn=Csn，且rank(A)=m，則rank(B)=rank(C).

證設(shè)矩陣Asm，Bmn分別對應(yīng)著線性變換T1∶m→s，T2∶n→m.如果rank(B)=r，下證rank(C)=r.

由rank(A)=m知，線性變換T1相空間維數(shù)等于m.根據(jù)性質(zhì)2(iii)得，dim(N(T1))=0，即T1的核空間中只有零向量.利用反證法容易得出，線性變換T1必將m中線性無關(guān)的向量組映射成s中線性無關(guān)的向量組.

又因?yàn)閞ank(B)=r，所以線性變換T2的像空間維數(shù)為r.不妨設(shè)η1，η2，…，ηr是T2像空間的一組基，則向量組T1η1，T1η2，…，T1ηr依然線性無關(guān).故T1η1，T1η2，…，T1ηr是復(fù)合變換T1T2像空間的一組基，故rank(C)=r.

定理4若矩陣Asm，Bsm為同型矩陣，則

(i)rank(A+B)≤rank(A)+rank(B);

(ii)max{rank(A)，rank(B)}≤rank(A，B)≤rank(A)+rank(B).

證(i)設(shè)矩陣Asm，Bsm分別對應(yīng)著線性變換T1∶m→s，T2∶m→s.則矩陣A+B對應(yīng)的線性變換為T1+T2∶m→s.

任意的x∈m，有(T1+T2)x=T1x+T2x.因此，T1+T2的像空間是T1的像空間與T2的像空間并集的子集，故rank(A+B)≤rank(A)+rank(B).

(ii)同理可證，略.

3 結(jié) 論

從線性映射的視角研究矩陣的秩，給出了關(guān)于矩陣秩的幾個重要性質(zhì)的另一種證明.線性代數(shù)課程概念和性質(zhì)繁多，以線性映射為主線進(jìn)行梳理，不僅知識脈絡(luò)清晰，而且能夠反映概念、性質(zhì)、定理等的本質(zhì).例如，矩陣的乘法運(yùn)算不滿足乘法交換律，根本原因是線性映射的復(fù)合映射一般不具有可交換性質(zhì).方陣的特征值與特征向量本質(zhì)上是對應(yīng)的線性映射的特征值與特征向量，屬于該線性映射的不變量.方陣的行列式反應(yīng)了線性映射對空間向量的變換過程中坐標(biāo)系整體的伸縮程度等.在線性代數(shù)教學(xué)中自始至終貫徹線性映射的思想，不失是一種事半功倍的選擇.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.