對一道積分極限題目的推廣

文韻涵， 龐學誠

(華東師范大學 數(shù)學科學學院，上海200241)

1 引 言

對一道求積分極限的題目(來源于“中國數(shù)學分析交流平臺”)進行分析并推廣，得到了對斯特林公式的一種新證明.

在證明下面引理的基礎上，對一道第九屆全國大學生競賽題給出不同的證明方法.

證因為f在[0，1]上嚴格單調(diào)增，所以x=1 處取得最大值.故f′(1)≥0，下分兩種情況討論，將f在x=1 處泰勒展開

f(x)=f(1)+f′(1)(x-1)+o(x-1)=1+f′(1)(x-1) (x→1-)，

(i)當f′(1)>0時，取任意 0<δ<1，則

令

因為在[0，1-δ]上有

0

故

取任意 0<α≤f′(1)≤β，則

經(jīng)計算

所以

綜上，有

注 引理1中f嚴格單調(diào)遞增只是為了保證f在[0，1]上的最大值點唯一.此外，本題是對最大值點在區(qū)間右端點的情況進行討論，實際上對區(qū)間左端點也可以得到類似結(jié)論，若為區(qū)間內(nèi)點，則f在這點的一階導數(shù)必為0，從而極限趨向于無窮.

應用上面求解結(jié)果對第九屆全國大學生數(shù)學競賽中一題作出不一樣的證明.

例1設f(x)=1-x2+x3，x∈[0，1].計算下列極限并說明理由，

解易知 0≤f(x)≤1，f在[0，1]上只有兩個最大值點

ln(x+2)-ln2<ε，x∈[0，δ]，

由上述引理知

(1)

(2)

故

(3)

由積分中值定理，存在ξn∈[0，δ]使得

現(xiàn)設

由(1)，(2)，(3)得

2 推 廣

命題1設f(x)在[0，1]上連續(xù)且嚴格單調(diào)遞減，0≤f(x)≤1，f(0)=1，f′(0)=0，f″(0)≠0，則

證因為f在x=0 處取得最大值且f嚴格單調(diào)遞減，所以

f′(x)<0，f″(0)≤0 (x>0)，

由條件得f″(0)<0.

在x=0 處對f泰勒展開

令

所以

從而

同理可得

所以

由α，β的任意性，所以

設

而

最后對一般的情況即函數(shù)f在唯一最大值點處存在k階導數(shù)(k∈+)的條件給出如下推廣.

命題3設f(x)在[0，1]上連續(xù)且嚴格單調(diào)遞減，0≤f(x)≤1，f(0)=1，f′(0)=…=f(k-1)(0)=0，f(k)(0)≠0(k∈+)，則

3 應 用

結(jié)合命題1和命題2可以推導出有趣的斯特林公式.

證為推導斯特林公式，考慮函數(shù)f(x)=xe1-x，x∈[0，+∞).易知f在[0，1)上單調(diào)遞增，在[1，+∞)上單調(diào)遞減，f在[0，+∞)上有唯一最大值點f(1)=1，f′(1)=0，f″(1)=-1.一方面

應用命題1和2得

所以

另一方面經(jīng)計算

所以

即

這正是斯特林公式.

即

4 結(jié) 論

致謝本文在很大程度上受到參考文獻[1]和參考文獻[2]的啟發(fā)，作者非常感謝相關(guān)參考文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.