概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)案例研究

臧鴻雁， 劉 林， 張志剛

(北京科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京100083)

1 引 言

隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的來(lái)臨，統(tǒng)計(jì)學(xué)的思想方法越來(lái)越多地滲透到自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，成為這些領(lǐng)域解決實(shí)際問(wèn)題的強(qiáng)有力的工具.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中涉及到的概念、理論和方法是統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ).提升概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)質(zhì)量，對(duì)提升高校人才培養(yǎng)質(zhì)量有著十分重要的作用.各高等院校的數(shù)學(xué)工作者積極探索概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)改革方法[1-3].

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程是一門(mén)實(shí)用性很強(qiáng)的課程，其應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，將概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的知識(shí)點(diǎn)與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合做成的教學(xué)案例，對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，更好掌握本課程教學(xué)知識(shí)點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的思維方式都起到了十分重要的作用.關(guān)于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)案例的研究已經(jīng)引起數(shù)學(xué)教育工作者的廣泛關(guān)注[4-6].

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)案例從內(nèi)容方面看，可以分成通用型案例和專(zhuān)業(yè)型案例兩種.其中通用型案例是所有專(zhuān)業(yè)的學(xué)生都可以使用的，比如抽獎(jiǎng)問(wèn)題，彩票問(wèn)題，撲克牌中的概率問(wèn)題，賭金分配，三門(mén)問(wèn)題，成績(jī)?cè)u(píng)定，風(fēng)險(xiǎn)分析，保險(xiǎn)問(wèn)題等.而專(zhuān)業(yè)型案例通常是與學(xué)生專(zhuān)業(yè)相關(guān)性較強(qiáng)的案例，比如通信相關(guān)專(zhuān)業(yè)的譯碼規(guī)則的選取，信息安全專(zhuān)業(yè)關(guān)于加密方案的安全性分析指標(biāo)；管理等專(zhuān)業(yè)的決策問(wèn)題，經(jīng)濟(jì)學(xué)等專(zhuān)業(yè)的投資組合問(wèn)題等.

文章針對(duì)新冠篩查問(wèn)題和圖像加密中安全性指標(biāo)問(wèn)題，給出了一個(gè)通用型教學(xué)案例和一個(gè)專(zhuān)業(yè)型教學(xué)案例.關(guān)于新冠篩查問(wèn)題，文獻(xiàn)[7]以武漢市全民新冠肺炎核酸檢測(cè)方法為例，闡述了數(shù)學(xué)期望在新冠篩查中的應(yīng)用.文章針對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行了進(jìn)一步的分析和數(shù)值模擬，通過(guò)問(wèn)題描述、問(wèn)題分析、建模求解、問(wèn)題引申、數(shù)值模擬等步驟將新冠篩查問(wèn)題做成適合各專(zhuān)業(yè)使用的通用型教學(xué)案例.

2 通用型案例舉例——概率分布及數(shù)學(xué)期望在新冠篩查中的應(yīng)用

2.1 問(wèn)題描述

在新冠的排查中需要進(jìn)行某種檢驗(yàn)，比如咽拭子的檢驗(yàn)，來(lái)排查每個(gè)人是否被感染，假設(shè)現(xiàn)有N個(gè)人參加檢驗(yàn)，針對(duì)如下兩種檢驗(yàn)方案：

(i)每個(gè)人逐一檢驗(yàn).這種方案對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)次數(shù)自然是N次；

(ii)分組檢驗(yàn).將k個(gè)人的采樣混合一起檢驗(yàn)，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，則只需要檢驗(yàn)1次.如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，則再對(duì)k個(gè)人的采樣重新逐個(gè)檢驗(yàn)，此時(shí)需要的檢驗(yàn)次數(shù)為為k+1.

問(wèn)題是上述兩種方案哪一種方案更優(yōu)？

2.2 解決問(wèn)題的思路及方法

思路將方案(ii)的平均檢測(cè)次數(shù)與方案(i)的平均檢測(cè)次數(shù)N作比較.

假設(shè)條件每個(gè)人呈陽(yáng)性的概率為p；每個(gè)人的檢驗(yàn)結(jié)果是相互獨(dú)立的.

方法不妨設(shè)N是k的倍數(shù)，共分成N/k組，設(shè)第i組需要的檢驗(yàn)次數(shù)為隨機(jī)變量Xi，則Xi的取值有兩個(gè)，1或者k+1，進(jìn)一步容易得到Xi的分布律如下：

Xi1k+1pk(1-p)k1-(1-p)k

則Xi的數(shù)學(xué)期望為

E(Xi)=(1-p)k+(k+1)(1-(1-p)k)=(k+1)-k(1-p)k.

2.3 問(wèn)題引申

(a)p=0.1 (b)p=0.2

進(jìn)一步研究，固定檢測(cè)人數(shù)N，比如N= 150，可以畫(huà)出平均檢測(cè)次數(shù)E(Z)與分組人數(shù)k和人群中的陽(yáng)性率p之間關(guān)系的曲面圖，如圖2(a)所示.若確定p= 0.15，用p= 0.15截曲面得到的截線為圖2(b).從圖2(b)可以看出，當(dāng)N= 150，p= 0.15時(shí)，最佳的分組人數(shù)為3人.類(lèi)似可以研究，針對(duì)不同的N和p，計(jì)算出相應(yīng)的最佳分組人數(shù).這為分組檢測(cè)問(wèn)題提供一定的理論依據(jù).

(a)曲面圖 (b)p = 0.15時(shí)的截線圖

3 專(zhuān)業(yè)型案例舉例——相關(guān)系數(shù)和信息熵在信息安全領(lǐng)域的應(yīng)用研究

3.1 問(wèn)題描述

該案例適用于信息安全專(zhuān)業(yè).在信息安全領(lǐng)域，信息加密是很重要的研究領(lǐng)域.而在信息加密中，圖像加密是其中重要的研究方向.對(duì)于圖像來(lái)講，其顯著的特征是相鄰像素之間的相關(guān)性較強(qiáng)，如果加密后的密文相鄰像素之間相關(guān)性仍然較強(qiáng)，這將會(huì)被攻擊方利用，從而達(dá)到破解的目的.在度量一個(gè)加密算法安全性的時(shí)候，我們希望密文相鄰像素的相關(guān)性近可能地小.另外，香農(nóng)對(duì)加密算法提出了“混淆”和“擴(kuò)散”的基本原則，從信息論的角度來(lái)講，密文的熵越大，其像素分布越均勻，不確定性越強(qiáng)，其破解的難度也越大.那么就產(chǎn)生如下兩個(gè)問(wèn)題：

(i)如何度量明文圖像和密文圖像相鄰像素的相關(guān)性？

(ii)如何度量密文的不確定性的程度呢？

這兩個(gè)問(wèn)題的答案，將為我們對(duì)加密算法的安全性度量提供一定的標(biāo)準(zhǔn).

3.2 加密算法及加密試驗(yàn)

文章采用文獻(xiàn)[8]中的加密算法，在加密試驗(yàn)中，選取明文為256×256的LENA圖像，如圖3(a)所示，加密圖像和解密圖像分別見(jiàn)圖3(b)和圖3(c).

(a)原圖像 (b)密文圖像 (c)解密圖像

由圖3直觀地看，原明文圖像相鄰像素相關(guān)性很強(qiáng)，而加密后的密文圖像相鄰像素相關(guān)性明顯變?nèi)趿?，那如何?yán)格度量這個(gè)量呢？可以由相關(guān)系數(shù)嚴(yán)格描述.

3.3 圖像相鄰像素相關(guān)性

可以用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中相關(guān)系數(shù)的概念定量刻畫(huà)圖像相鄰像素點(diǎn)的相關(guān)性.而相鄰像素考慮水平、垂直、對(duì)角三種方向.以下對(duì)Lena圖像加密前后的三種方向上的相鄰像素點(diǎn)的相關(guān)性進(jìn)行分析.從圖像中隨機(jī)選2000個(gè)像素點(diǎn)，用下列公式計(jì)算相鄰像素之間的相關(guān)系數(shù).

一般來(lái)說(shuō)圖像相鄰兩個(gè)像素點(diǎn)之間像素值呈現(xiàn)高度相關(guān)的特點(diǎn)，圖4(a)，4(b)，4(c)顯示相鄰的兩個(gè)元素之間呈現(xiàn)出很強(qiáng)的線性相關(guān)性；而加密圖像的相關(guān)程度越低表示加密效果越好，由圖4(d)，4(e)，4(f)可以得出，相鄰元素之間的相關(guān)性很弱，計(jì)算得到的相關(guān)系數(shù)幾乎接近0.

圖4

3.4 統(tǒng)計(jì)直方圖和密文熵分析

圖5(a)、圖5(b)分別給出了Lena原圖像和加密后密文圖像的像素值統(tǒng)計(jì)直方圖，由圖5(a)可知，原圖像的像素分布明顯不均勻；而圖5(b)顯示，加密后密文圖像的像素值的分布比較均勻.

(a)原圖像統(tǒng)計(jì)直方圖 (b)密文圖像統(tǒng)計(jì)直方圖

統(tǒng)計(jì)直方圖的描述比較直觀和定性，那如何定量地度量圖像的像素值分布的均勻程度呢？Shannon以概率統(tǒng)計(jì)為基礎(chǔ)提出了信息熵的概念[9]，可以用來(lái)度量一個(gè)信源均勻分布程度，如果一個(gè)離散型隨機(jī)變量X，其分布律為p(X=xi)=p(xi)i=1，2，…n，X的信息熵定義為

對(duì)于一個(gè)圖像來(lái)講，p(xi)表示圖像像素中的各像素值的頻率.

可以用密文的信息熵來(lái)度量密文像素值分布的均勻程度.若像素值為等概率分布時(shí)，信息熵取得最大值為8 bit.該加密算法得到的密文熵值為7.9969，具有較好的均勻性.密文的熵值越大，說(shuō)明加密后圖像灰度分布越均勻，加密算法能抵抗統(tǒng)計(jì)攻擊的能力越強(qiáng)，信息熵能夠成為度量加密算法安全性的一個(gè)重要指標(biāo).

4 學(xué)生反饋

關(guān)于以上兩個(gè)案例的內(nèi)容學(xué)生是否能夠理解，教學(xué)案例對(duì)理解概念和概念的應(yīng)用場(chǎng)景是否有幫助這樣兩個(gè)問(wèn)題，對(duì)北京科技大學(xué)2019級(jí)車(chē)輛專(zhuān)業(yè)和物流專(zhuān)業(yè)的同學(xué)做了如下調(diào)查問(wèn)卷，回收答卷62份，結(jié)果見(jiàn)圖6.

(a)案例1內(nèi)容是否能理解 (b)案例1對(duì)理解數(shù)學(xué)期望概念及應(yīng)用場(chǎng)景是否有幫助

這兩個(gè)教學(xué)案例上課并沒(méi)有講解，只是以拓展閱讀的方式讓同學(xué)們了解.由圖6可見(jiàn)，對(duì)于案例1，有32.26%的同學(xué)理解程度一般，并未達(dá)到基本理解的程度，但在案例1對(duì)理解數(shù)學(xué)期望概念及應(yīng)用場(chǎng)景是否有幫助的選項(xiàng)上，仍有95.16%的同學(xué)選擇很有幫助或者較有幫助，也就是說(shuō)很多同學(xué)并沒(méi)與完全理解案例內(nèi)容，但仍然很認(rèn)可案例教學(xué)給自己帶來(lái)的幫助.可見(jiàn)，學(xué)生對(duì)知識(shí)拓展有比較強(qiáng)烈的需求.

5 結(jié) 論

文章給出了概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的兩個(gè)教學(xué)案例.兩個(gè)案例用到的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)包括離散型隨機(jī)變量的分布律，數(shù)學(xué)期望，兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)，統(tǒng)計(jì)直方圖，均勻分布，基于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本知識(shí)引申到信息熵的概念，以及用信息熵度量均勻分布的程度.這兩個(gè)案例通俗易懂，實(shí)用性強(qiáng)，案例一是適用于所有專(zhuān)業(yè)的通用型案例，案例二是適用于信息安全專(zhuān)業(yè)的專(zhuān)業(yè)型案例.在實(shí)際教學(xué)中，可以課堂上作為知識(shí)點(diǎn)的引申講解，也可以將問(wèn)題作為開(kāi)放性作業(yè)留給學(xué)生完成，或者作為拓展閱讀，增加知識(shí)的高階性和挑戰(zhàn)度.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專(zhuān)家提出的寶貴意見(jiàn).