馬氏鏈平穩(wěn)分布應(yīng)用案例的教學(xué)設(shè)計(jì)

劉秀芹， 李 娜， 張志剛

(北京科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京100083)

1 引 言

隨機(jī)過(guò)程是針對(duì)高年級(jí)本科生和研究生開(kāi)設(shè)的一門(mén)專(zhuān)業(yè)課,是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的后繼課程,它是研究隨機(jī)現(xiàn)象隨著時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)特征,具有抽象性和理論性強(qiáng)的特點(diǎn).在經(jīng)濟(jì)與管理科學(xué)、信息科學(xué)、生物學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)和其它工程領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用.本文從隨機(jī)過(guò)程的經(jīng)典應(yīng)用案例——市場(chǎng)占有率預(yù)測(cè)問(wèn)題出發(fā), 以手機(jī)市場(chǎng)占有率問(wèn)題為例，做到教學(xué)案例貼近學(xué)生的生活和思想，案例具有鮮明的時(shí)代特色.通過(guò)提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、拓展問(wèn)題,將課堂內(nèi)容延伸到課外, 使學(xué)生既能準(zhǔn)確掌握其中的理論知識(shí)，又能把理論應(yīng)用于實(shí)際.作者曾多次將案例教學(xué)法引入到隨機(jī)過(guò)程的教學(xué)過(guò)程中[1-2]，講解過(guò)程中還進(jìn)一步融入課程思政元素, 實(shí)現(xiàn)思政元素與有趣的應(yīng)用案例有機(jī)結(jié)合[3]，使隨機(jī)過(guò)程教學(xué)起到“潤(rùn)物無(wú)聲”教書(shū)育人效果[4-5].

2 提出問(wèn)題

首先，通過(guò)與同學(xué)互動(dòng)的方式提出如何提高手機(jī)市場(chǎng)占有率，以及市場(chǎng)占有率受哪些因素的影響？(這位同學(xué)，我能知道你用的是什么手機(jī)嗎？如果老師給你一個(gè)機(jī)會(huì)換部手機(jī)，你還會(huì)買(mǎi)這個(gè)品牌嗎？旁邊這位同學(xué)呢，下一次更換手機(jī)的時(shí)候，你會(huì)選擇換一個(gè)品牌嗎？這就是今天要研究的市場(chǎng)占有率問(wèn)題，企業(yè)都希望提高自己的市場(chǎng)占有率，如何提高市場(chǎng)占有率？市場(chǎng)占有率又受什么因素的影響呢？)通過(guò)用與同學(xué)們息息相關(guān)的手機(jī)市場(chǎng)占有率問(wèn)題，激發(fā)同學(xué)們的好奇心.

下面利用馬氏鏈的基本方程和平穩(wěn)分布的知識(shí)，來(lái)解決市場(chǎng)占有率相關(guān)問(wèn)題.

3 解決問(wèn)題的基本原理

假設(shè)市面上有三種品牌的手機(jī)，通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查得知，第一季度甲、乙、丙三種品牌的手機(jī)市場(chǎng)占有率分布為(0.5, 0.2,0.3)，預(yù)計(jì)第二季度甲保留原有客戶(hù)的60%，分別獲得乙15%的客戶(hù)和丙10%的客戶(hù)；乙保留原有客戶(hù)的70%，分別獲得甲10%的客戶(hù)和丙20%的客戶(hù)；丙保留原有客戶(hù)的70%，分別獲得甲30%的客戶(hù)和乙15%的客戶(hù)，客戶(hù)遷移情況見(jiàn)表1.

表1 第一季度到第二季度的客戶(hù)遷移

首先，建立馬氏鏈模型，用Xn表示第n季度客戶(hù)手機(jī)的品牌，則Xn是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，它的狀態(tài)空間為E={甲,乙,丙}，參數(shù)空間為T(mén)={1,2,3,…}，根據(jù)實(shí)際情況，可以假設(shè)Xn是一個(gè)馬氏鏈，則當(dāng)前市場(chǎng)占有率為馬氏鏈的初始分布，客戶(hù)遷移情況是它的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，記為P.有了馬氏鏈模型，問(wèn)第二季度甲的市場(chǎng)占有率是多少？

3.1 馬氏鏈基本方程P(k+1)=P(k)P的應(yīng)用

第一季度的占有率分布為P(1)=(0.5,0.2,0.3)，由馬氏鏈的基本方程得

算得第二季度的占有率分布為(0.36,0.25,0.39)，顯然甲的占有率為36%，比第一季度下降了14%，能否進(jìn)一步預(yù)測(cè)第三季度的情況呢?

假定轉(zhuǎn)移概率矩陣P不隨時(shí)間改變，即Xn是一個(gè)齊次馬氏鏈，則從第二季度到第三季度的轉(zhuǎn)移概率矩陣仍然是P，計(jì)算得第三季度的占有率分布為

第三季度甲的市場(chǎng)占有率為29.3%，比第二季度甲的市場(chǎng)占有率36%又降低了7%.可見(jiàn)，甲品牌的手機(jī)市場(chǎng)占有率連續(xù)兩個(gè)季度走低，如果按轉(zhuǎn)移概率矩陣P一直轉(zhuǎn)移下去，甲品牌會(huì)從市場(chǎng)上消失嗎？為了回答這個(gè)問(wèn)題，利用Matlab編程進(jìn)行輔助計(jì)算.

從第一季度的分布(0.5,0.2,0.3)開(kāi)始，按照轉(zhuǎn)移概率矩陣P轉(zhuǎn)移下去，由P(k+1)=P(k)P可得，第k+1(k=1,2,3,…)季度的分布狀況見(jiàn)表2、圖1，如表(圖)所見(jiàn)，甲、乙、丙的市場(chǎng)占有率從某時(shí)刻開(kāi)始趨于平穩(wěn)，都變成了同一個(gè)分布(0.235, 0.353,0.412).表2中也可以看到，在保留三位小數(shù)點(diǎn)的條件下，從某個(gè)時(shí)刻開(kāi)始各品牌的市場(chǎng)占有率不再改變，并且穩(wěn)定到這一分布.其中甲的市場(chǎng)占有率為23.5%.

圖1 手機(jī)市場(chǎng)占有率隨時(shí)間的變化趨勢(shì)

穩(wěn)定后的分布受什么因素影響呢？是受初始分布還是一步轉(zhuǎn)移概率矩陣影響呢？

為了解決這一問(wèn)題，下面將初始分布換成(0.7,0.1,0.2)，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣仍然是P，經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，這時(shí)仍然從某時(shí)刻開(kāi)始趨于穩(wěn)定，并且穩(wěn)定到同一分布(0.235,0.353,0.412)(見(jiàn)表2)，可以看出穩(wěn)定后的市場(chǎng)占有率與初始分布沒(méi)有關(guān)系.

表2 給定第一季度占有率分布，編程計(jì)算以后各季度占有率分布情況

可見(jiàn)，在手機(jī)市場(chǎng)占有率問(wèn)題中，從某個(gè)時(shí)刻開(kāi)始，市場(chǎng)占有率分布經(jīng)過(guò)一步轉(zhuǎn)移不再發(fā)生改變,即P(k+1)=P(k)P=P(k),滿足這一條件的概率分布稱(chēng)為齊次馬氏鏈的平穩(wěn)分布.

3.2 平穩(wěn)分布的定義

設(shè){X(n),n=1,2,3,…}是一個(gè)齊次馬氏鏈,狀態(tài)空間為E,一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為P=(pij)N×N,若存在向量r=(r1,r2,…,rN),滿足

(1)

(ii)rj≥0,j∈E；

則稱(chēng)r=(r1,r2,…,rN)為齊次馬氏鏈的平穩(wěn)分布[6].其中式(1)被稱(chēng)為平穩(wěn)方程組，也可以寫(xiě)成r=rP;

前面分析可見(jiàn)，平穩(wěn)分布不受初始分布影響，它是否受一步轉(zhuǎn)移概率矩陣影響呢？

假定一步轉(zhuǎn)移概率矩陣變?yōu)镻1，

初始分布仍然使用上面的兩種分布(0.5,0.2,0.3)和(0.7,0.1,0.2)，基于馬氏鏈的基本方程，使用Matlab編程輔助計(jì)算每個(gè)季度的市場(chǎng)占有率(見(jiàn)表2)，可見(jiàn)趨于平穩(wěn)這一現(xiàn)象沒(méi)有改變，但是最后穩(wěn)定到的平穩(wěn)分布(0.631,0.158,0.211)發(fā)生了改變，并且觀察到，甲的市場(chǎng)占有率有了顯著提升，由23.6%提升到了63.1%.

甲的市場(chǎng)占有率為什么會(huì)提升呢？來(lái)觀察一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P1相對(duì)于P的變化.

注意到甲原有客戶(hù)的保留率由60%提升到了90%，表明甲品牌留住了更多的老客戶(hù)，另一方面，甲品牌也吸引了更多的新客戶(hù)(吸引乙品牌客戶(hù)的比例從原來(lái)的15%提高到了20%，吸引丙品牌客戶(hù)的比例從10%提高到15%)，這兩方面就是使得甲的市場(chǎng)占有率提升的原因.

這就回答了開(kāi)始提出的第一個(gè)問(wèn)題，想要提高市場(chǎng)占有率，需要從留住老客戶(hù)和吸引新客戶(hù)這兩方面下功夫.通過(guò)前面的學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)，決定市場(chǎng)占有率的關(guān)鍵因素為客戶(hù)的遷移情況.

4 問(wèn)題結(jié)論和拓展

4.1 問(wèn)題結(jié)論

建議企業(yè)要重視客戶(hù)的忠誠(chéng)度，當(dāng)前市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)中提高客戶(hù)忠誠(chéng)度流行的做法是粉絲營(yíng)銷(xiāo)策略，粉絲營(yíng)銷(xiāo)的關(guān)鍵有兩個(gè)方面：一是保住原來(lái)的客戶(hù)，在客戶(hù)中沉淀粉絲，二是經(jīng)過(guò)粉絲的口碑相傳，來(lái)吸引更多的新客戶(hù)，這正是前面使用馬氏鏈分析得到的提升市場(chǎng)占有率的兩個(gè)重要方面.Vivo，Oppo兩個(gè)手機(jī)品牌就是使用粉絲營(yíng)銷(xiāo)策略提升市場(chǎng)占有率的典范，據(jù)知名市場(chǎng)調(diào)研機(jī)構(gòu)Canalys公布的“2021年第一季度國(guó)內(nèi)智能手機(jī)市場(chǎng)報(bào)告數(shù)據(jù)”顯示，它們?cè)?021年第一季度國(guó)內(nèi)手機(jī)占有率排行榜中，排在了前兩位.

4.2 思政元素融入

企業(yè)只靠粉絲營(yíng)銷(xiāo)可以嗎？答案是：不行，應(yīng)該靠擁有關(guān)鍵核心技術(shù)，提高產(chǎn)品的質(zhì)量和競(jìng)爭(zhēng)力.核心技術(shù)的研發(fā)都離不開(kāi)數(shù)學(xué)的作用.李克強(qiáng)總理在很多場(chǎng)合都強(qiáng)調(diào)，“數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的皇冠，是其它科學(xué)研究的主要工具”；華為總裁任正非也在接受采訪時(shí)多次強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的重要性，并指出“人工智能的本質(zhì)就是數(shù)學(xué)”.作為數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，大家應(yīng)該夯實(shí)基礎(chǔ)，為國(guó)產(chǎn)品牌擁有核心技術(shù)貢獻(xiàn)力量.

4.3 問(wèn)題拓展

前面講的齊次馬氏鏈的變化規(guī)律，在實(shí)際當(dāng)中，影響市場(chǎng)占有率的因素非常復(fù)雜，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P會(huì)隨時(shí)間的變化而發(fā)生改變，這時(shí)馬氏鏈變?yōu)榉驱R次馬氏鏈，請(qǐng)同學(xué)們課后進(jìn)一步思考，非齊次馬氏鏈隨著時(shí)間將如何變化？

5 教學(xué)過(guò)程小結(jié)

5.1 經(jīng)典案例結(jié)合實(shí)際背景

市場(chǎng)占有率預(yù)測(cè)是隨機(jī)過(guò)程教學(xué)過(guò)程中的一個(gè)經(jīng)典案例，本教學(xué)設(shè)計(jì)結(jié)合與同學(xué)們?nèi)粘Ｉ钕⑾⑾嚓P(guān)的手機(jī)市場(chǎng)占有率問(wèn)題進(jìn)行展開(kāi)，從同學(xué)們的角度，每位同學(xué)都是某一手機(jī)品牌的客戶(hù)，從廠家的角度，中國(guó)手機(jī)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)日趨激烈，為提高市場(chǎng)占有率，各商家可謂煞費(fèi)苦心，各種品牌手機(jī)也是層出不窮，教學(xué)案例具有鮮明的時(shí)代特色，課程一開(kāi)始就從一個(gè)每位同學(xué)都關(guān)心的主題入手，具有很強(qiáng)的代入性和現(xiàn)實(shí)意義.

5.2 問(wèn)題啟發(fā)，環(huán)環(huán)相扣

首先提出兩個(gè)問(wèn)題：其一是如何提高手機(jī)市場(chǎng)占有率，其二是市場(chǎng)占有率受什么因素的影響？引起同學(xué)們思考，激發(fā)他們的好奇心.

為了解決問(wèn)題，建立了馬氏鏈模型，緊接著由初始分布和一步轉(zhuǎn)移概率求出第二、第三季度的市場(chǎng)占有率分布，從第二、第三季度甲的市場(chǎng)占有率逐步降低這一現(xiàn)象出發(fā)，進(jìn)一步引出“甲會(huì)在市場(chǎng)上消失嗎？”根據(jù)馬氏鏈的基本方程，利用Matlab編程進(jìn)行輔助計(jì)算，發(fā)現(xiàn)經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的轉(zhuǎn)移后，手機(jī)市場(chǎng)占有率趨于“平穩(wěn)”這一現(xiàn)象，從而引出馬氏鏈的平穩(wěn)分布這一概念.

這種穩(wěn)定性，以及穩(wěn)定后的分布受什么因素影響呢？ 從初始分布和一步轉(zhuǎn)移概率兩個(gè)方面著手來(lái)分析和解決這一問(wèn)題，仍然利用Matlab編程輔助計(jì)算，得到結(jié)論：平穩(wěn)分布是由一步轉(zhuǎn)移概率決定，與初始分布無(wú)關(guān).這就是課程一開(kāi)始提出的“市場(chǎng)占有率受什么因素的影響？”的答案.

通過(guò)前面的Matlab模擬計(jì)算發(fā)現(xiàn)，改變轉(zhuǎn)移概率矩陣后的平穩(wěn)分布中甲品牌的市場(chǎng)占有率有了顯著提高，通過(guò)分析轉(zhuǎn)移概率矩陣P1和P的差異得到了 “如何提高手機(jī)市場(chǎng)占有率”要從兩方面著手：盡可能保留原來(lái)的老客戶(hù)，還要吸引更多的新客戶(hù).

從“手機(jī)市場(chǎng)占有率”這一與每位同學(xué)息息相關(guān)的問(wèn)題，引出市場(chǎng)占有率預(yù)測(cè)問(wèn)題；從生活中的現(xiàn)象和例子入手，從形象的描述引入抽象的概念，整節(jié)課的講解從提出問(wèn)題，分析問(wèn)題到解決問(wèn)題.生動(dòng)活潑的授課模式下，環(huán)環(huán)相扣，層層推進(jìn)，如行云流水一般.

5.3 思政元素融入

在本節(jié)課的結(jié)尾，結(jié)合提高市場(chǎng)占有率不能只靠市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)，還要靠“擁有關(guān)鍵的核心技術(shù)，提高核心競(jìng)爭(zhēng)力”，從李克強(qiáng)總理“數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的皇冠，是其他科學(xué)研究的主要工具”到華為總裁任正非也在接受采訪時(shí)多次強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的重要性，并指出“人工智能的本質(zhì)就是數(shù)學(xué)”引出數(shù)學(xué)是“提高核心競(jìng)爭(zhēng)力”的關(guān)鍵因素，從而激發(fā)同學(xué)們的專(zhuān)業(yè)自豪感，激發(fā)同學(xué)們的學(xué)習(xí)熱情，起到“潤(rùn)物無(wú)聲”教書(shū)育人的效果.

6 教學(xué)效果

近年來(lái)，本文作者在隨機(jī)過(guò)程教學(xué)過(guò)程中堅(jiān)持采用實(shí)際案例與啟發(fā)式教學(xué)相結(jié)合的方法，有效的激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；在教學(xué)過(guò)程中適當(dāng)融入思政元素，促進(jìn)了立德樹(shù)人根本目標(biāo)的落實(shí)，實(shí)現(xiàn)教書(shū)育人的效果.這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)得到了同學(xué)們的高度評(píng)價(jià)，學(xué)校教務(wù)系統(tǒng)學(xué)生課程評(píng)教成績(jī)比以往有了顯著提高，近兩個(gè)學(xué)期平均成績(jī)達(dá)到98.2分；在對(duì)老師想說(shuō)的話環(huán)節(jié)中同學(xué)們寫(xiě)到：“在馬氏鏈講解過(guò)程中，劉老師上課講解結(jié)合大量貼合實(shí)際的案例之后，這么多抽象的數(shù)學(xué)概念一下子變得觸手可及、簡(jiǎn)單易懂起來(lái).”“隨機(jī)過(guò)程在實(shí)際中的應(yīng)用如故障診斷、谷歌搜索，甚至研究了思政課的內(nèi)容，應(yīng)用領(lǐng)域之廣泛令我驚嘆.課上大量的翔實(shí)、豐富的教學(xué)實(shí)例.”“劉老師經(jīng)常教育大家誠(chéng)信”等做人的道理，使同學(xué)們感受到親切的人文關(guān)懷，劉老師更注重立德樹(shù)人.”作者進(jìn)一步利用詞云圖對(duì)學(xué)生們所說(shuō)的話(147名學(xué)生樣本)進(jìn)行了文本挖掘分析(圖2)，發(fā)現(xiàn)“非常”“優(yōu)秀”“認(rèn)真負(fù)責(zé)”“喜歡”“受益匪淺”“清晰”“結(jié)合實(shí)際”“啟發(fā)式”等詞在同學(xué)評(píng)價(jià)中出現(xiàn)的頻率最多，由此可以看到他們對(duì)該教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐的肯定.

圖2 學(xué)生評(píng)價(jià)詞云圖

7 結(jié) 論

本文對(duì)馬氏鏈平穩(wěn)分布在市場(chǎng)占有率問(wèn)題中的應(yīng)用的講解進(jìn)行了詳細(xì)設(shè)計(jì).從同學(xué)們身邊的案例——手機(jī)品牌市場(chǎng)占有率問(wèn)題出發(fā)，以問(wèn)題為導(dǎo)向，通過(guò)提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、激發(fā)同學(xué)們的學(xué)習(xí)熱情；課程最后引入思政元素，使思政元素水到渠成般融入課堂，學(xué)生滿足求知欲的同時(shí)實(shí)現(xiàn)立德樹(shù)人的目標(biāo).

致謝感謝北京科技大學(xué)范玉妹教授、徐爾教授在該論文的寫(xiě)作過(guò)程中給予的指導(dǎo)和建議；同時(shí)也非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專(zhuān)家提出的寶貴意見(jiàn).