關(guān)于Cantor三分集定義方式的一個(gè)新進(jìn)展

徐 斌

(普洱學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 普洱665099)

1 引 言

1883年，德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾(Cantor)為了厘清點(diǎn)集理論中的一些概念，構(gòu)造了一個(gè)“數(shù)學(xué)怪物”——Cantor三分集[1]，此集合是一個(gè)測(cè)度為零且基數(shù)為的疏朗完備集，由于Cantor三分集將多種“看似不相容的性態(tài)”和諧的集于一體，其在點(diǎn)集理論中有類似“標(biāo)本”的作用，無(wú)論在理論上或者應(yīng)用上都具有重要意義.對(duì)于Cantor三分集，傳統(tǒng)的定義[2-6]為，將閉區(qū)間[0，1]三等分挖去中間的開區(qū)間剩下兩個(gè)閉區(qū)間及分別對(duì)剩下的兩個(gè)閉區(qū)間施加以上做法(三等分挖去中段開區(qū)間)就剩下四個(gè)閉區(qū)間，每次都對(duì)剩下的每一個(gè)閉區(qū)間都施加“三等分挖去中段開區(qū)間”的做法，無(wú)限進(jìn)行，最終剩下的點(diǎn)集就稱為Cantor三分集.這種定義是“描述式”的，其在實(shí)際應(yīng)用中不夠精確，用其處理問(wèn)題也不易把握.

另外，還有作者是借助“三進(jìn)制數(shù)”的理論而作的定義[7-9]，比如，參考文獻(xiàn)[7]是這樣定義的，

(1)

但是，沒有給出證明，對(duì)于如此定義的集合就是傳統(tǒng)所說(shuō)的Cantor三分集是不明顯的，需要作進(jìn)一步的論證.

2020年，徐斌在參考文獻(xiàn)[10]中，利用結(jié)構(gòu)化方法定義了“上的三分族” “上的無(wú)再生三分族” “Cantor三分族”等概念，并對(duì)Cantor三分集的定義方式進(jìn)行研究，得到了Cantor三分集的一種新的定義公式，

(2)

將進(jìn)一步證明，等式(1)與等式(2)是等價(jià)的，為“三進(jìn)制數(shù)定義方式”提供了一種嚴(yán)密的理論基礎(chǔ).

2 預(yù)備工作

定義1(上的三分族)[10]設(shè)an，i，bn，i∈，且an，i

若Ω滿足條件：

(i)對(duì)于任意n∈+，i1，i2∈T(n)，若i1≠i2，則βn，i1∩βn，i2=?；

(ii)對(duì)于任意n∈+，i∈T(n)，有

則稱Ω是一個(gè)上的三分族.

定義2(上的無(wú)再生三分族)[10]Ω是一個(gè)上的三分族，且對(duì)于任意x∈，n∈+滿足x?Dn?x?Dn+1，則稱Ω是一個(gè)上的無(wú)再生三分族.

定義3(Cantor三分族)[10]設(shè)Ω是一個(gè)上的無(wú)再生三分族，且則稱Ω是一個(gè)Cantor三分族.

引理2[10]設(shè)

引理3[10]設(shè)

則Ω={Fn|n∈+}是一個(gè)上的無(wú)再生三分族.

3 主要結(jié)果

而

由于

及

有

所以有

是Cantor三分集.

定理2若

則有T(n)=H(n).

證對(duì)于任意k∈+，jk∈{0，1}有

從而，對(duì)于任意k∈+，(j1，j2，…，jk)∈{0,1}k有

即對(duì)于任意(j1，j2，…，jn)∈{0,1}n，1≤t≤n有

由于

所以

即有

綜上所述，對(duì)于任意n∈+，i∈T(n)，唯一存在(j1，j2，…，jn)∈{0,1}n，使得成立，即有T(n)?H(n).因此，證明了

(3)

證由定理2知，

由定理1知，Cantor三分集

所以

是Cantor三分集.

4 結(jié) 論

證明了Cantor三分集的等式(2)，及關(guān)于三進(jìn)制數(shù)的等式(3)，并證明了等式(1).通過(guò)這些研究，為Cantor三分集的“三進(jìn)制數(shù)定義方式”提供了一種嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)，同時(shí)也增進(jìn)了對(duì)Cantor三分集本質(zhì)結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí).

致謝作者非常感謝《大學(xué)數(shù)學(xué)》的審稿專家，他們的建議使作者受益良多！作者從相關(guān)的參考文獻(xiàn)中也得到了很多啟發(fā)，在此表示感謝！