提升初中生數(shù)學(xué)歸納推理素養(yǎng)的教學(xué)策略研究

【摘 要】對(duì)于學(xué)生發(fā)展而言，初中階段具有承上啟下的重要意義。提升歸納推理能力對(duì)于學(xué)生思維品質(zhì)的發(fā)展和思考方式的優(yōu)化大有幫助，其在學(xué)生實(shí)踐能力的提高和創(chuàng)新能力的發(fā)展中，也扮演著非常重要的角色。文章通過一系列教學(xué)策略，在初中常見的閱讀材料題的分析中滲透歸納推理素養(yǎng)的培養(yǎng)，以期提高初中生的歸納推理能力和意識(shí)。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);歸納推理素養(yǎng);教學(xué)策略;閱讀材料題

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2022）12-0096-03

當(dāng)前時(shí)代要求教師培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，而歸納推理是培養(yǎng)創(chuàng)新能力的重要方法。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納推理素養(yǎng)，不但可以使學(xué)生的思維更加活躍，還可以使學(xué)生的創(chuàng)新能力得到發(fā)展。學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納推理素養(yǎng)的培養(yǎng)應(yīng)該得到所有教育工作者的重視。

歸納推理是通過觀察、分析、聯(lián)想和概括等方法，對(duì)個(gè)別事物進(jìn)行探索，獲得一般結(jié)論的推理類型。聯(lián)想是由一件事物想到另一事物的心理活動(dòng)過程，是溝通未知事物與已知事物的橋梁，能夠達(dá)到化未知為已知的目的[1]。概括能力也是非常重要的數(shù)學(xué)能力。學(xué)者蔡金法先生認(rèn)為：“數(shù)學(xué)概括能力是數(shù)學(xué)能力的核心[2]。”數(shù)學(xué)中的很多概念、定義、定理，如點(diǎn)、直線等概念及相關(guān)定理，都是通過數(shù)學(xué)概括得到的，要想揭示事物的本質(zhì)規(guī)律，概括能力是必不可少的。因此學(xué)生的聯(lián)想能力和概括能力的培養(yǎng)對(duì)于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納推理素養(yǎng)同樣是非常重要的。

初中是學(xué)生各方面能力全面發(fā)展的階段，在這個(gè)階段，教師需要重視培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力，使學(xué)生具備一定的歸納推理素養(yǎng)。一線數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)歸納推理素養(yǎng)的認(rèn)知情況會(huì)直接影響到平常的教學(xué)活動(dòng)。學(xué)生在日常學(xué)習(xí)活動(dòng)中又會(huì)對(duì)教師的行為進(jìn)行模仿。因此，教學(xué)活動(dòng)如何開展、教學(xué)內(nèi)容如何設(shè)計(jì)、教師是否重視數(shù)學(xué)歸納推理等，都會(huì)對(duì)初中生能否養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)歸納推理素養(yǎng)產(chǎn)生影響。

1? ?在歸納推理時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生“理智上的勇氣”

“理智上的勇氣”就是一個(gè)人有勇氣有膽識(shí)，隨時(shí)準(zhǔn)備對(duì)任何一個(gè)信念進(jìn)行修正。在日常的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生往往會(huì)有一種思維定勢(shì)，即思考問題時(shí)總是會(huì)遵循頭腦中已經(jīng)存在的思維路徑，特別是對(duì)于腦海中已經(jīng)存在的知識(shí)，有一種盲目的信任。因此教師在歸納推理教學(xué)中，要打破學(xué)生的這種思維定勢(shì)。

【閱讀材料1】

有這樣一列數(shù)：11，31，41，61，71，101，111，131，141，151，161，171，181，191，同學(xué)們從這組數(shù)中能發(fā)現(xiàn)什么樣的規(guī)律呢？

分析：首先對(duì)這組數(shù)進(jìn)行觀察分析，其具有什么共同特征呢？很多學(xué)生因?yàn)橐延械乃季S定勢(shì)，會(huì)從前項(xiàng)與后項(xiàng)的差這個(gè)角度進(jìn)行分析。他們首先發(fā)現(xiàn)前后項(xiàng)的差組成的數(shù)列是這樣的：20，10，20，10，30，10，20，10，10，10，10，10，10。然后，很多學(xué)生會(huì)專注于對(duì)前后項(xiàng)的差組成的數(shù)列所具有的規(guī)律進(jìn)行分析，教師給學(xué)生充分的時(shí)間考慮過后，對(duì)學(xué)生發(fā)起追問：“差形成的數(shù)列存在某種規(guī)律嗎？”學(xué)生回答：“前面四項(xiàng)是有的，但是后面幾項(xiàng)是沒有的?！?/p>

學(xué)生在思維定勢(shì)的影響下，會(huì)將注意力集中在前后項(xiàng)的差組成的數(shù)列上，因此教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)轉(zhuǎn)變想法，讓學(xué)生從數(shù)本身的特點(diǎn)來觀察。為此要提出問題：“可以發(fā)現(xiàn)這些數(shù)都有什么共同的性質(zhì)呢？”學(xué)生回答：“可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列中所有的數(shù)都是以1為個(gè)位?！比缓蠼處熢俅巫穯枺骸斑€有什么發(fā)現(xiàn)呢？”此時(shí)教師的追問可以拓展學(xué)生的思維，使學(xué)生對(duì)之前的思考進(jìn)行修正，從而發(fā)現(xiàn)每一個(gè)數(shù)都是素?cái)?shù)。

評(píng)注：“理智上的勇氣”體現(xiàn)在當(dāng)學(xué)生思考問題陷入思維僵局時(shí)，教師要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己的思考方式和方向進(jìn)行修正，讓學(xué)生時(shí)刻準(zhǔn)備對(duì)自己已有的猜想或信念進(jìn)行修正。在以上案例中，如果學(xué)生一直用之前的經(jīng)驗(yàn)來思考，問題就無法解決。

2? ?在歸納推理時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生“理智上的誠實(shí)”

如果因?yàn)槟硞€(gè)猜想是自己冥思苦想得到的而固執(zhí)地堅(jiān)持，那么這種行為就是不誠實(shí)的，也是不成熟的。因此教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生形成這樣一種品格或者態(tài)度：如果存在一種理由能夠改變信念，就應(yīng)該對(duì)這一信念作出改變。

【閱讀材料2】

費(fèi)馬根據(jù)n=1，2，3，4的情況，提出“形如2+1（n取正整數(shù)）的數(shù)是素?cái)?shù)”這個(gè)猜想，那么這個(gè)猜想是正確的嗎？

分析：通過分析問題，可以知道這個(gè)猜想是費(fèi)馬通過觀察四個(gè)特例提出來的，即將n=1，2，3，4分別帶入2+1中，可以發(fā)現(xiàn)計(jì)算得到的結(jié)果都是素?cái)?shù)。那么當(dāng)n為其他數(shù)時(shí)，這一猜想仍舊成立嗎？帶著這個(gè)疑問，不妨將n=5帶入2+1中，此時(shí)2+1=232+1=641×6700417。這個(gè)數(shù)并不是素?cái)?shù)，那么通過這樣一個(gè)反例，就可以推翻費(fèi)馬的猜想。

評(píng)注：費(fèi)馬提出這個(gè)猜想以后，歐拉通過舉出一個(gè)反例，將此猜想否定了。在歸納推理的過程中，如果存在一個(gè)理由能夠推翻已有的結(jié)論，就必須誠實(shí)地對(duì)已經(jīng)得到的猜想進(jìn)行修正。因此教師在教學(xué)活動(dòng)中，要注意引導(dǎo)學(xué)生善于利用反例，對(duì)一個(gè)猜想或者一般性命題進(jìn)行反駁。

3? ?在歸納推理時(shí)，要求學(xué)生具有“明智的克制”

僅為追求最新、最流行的東西，而不經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的考察，就輕易地改變某種信念，這種行為非常不明智。然而，從現(xiàn)實(shí)的角度來說，人們并沒有充分的時(shí)間與足夠的能力對(duì)所有的信念進(jìn)行考察。因此波利亞認(rèn)為比較明智的態(tài)度是：對(duì)于該做的事情，繼續(xù)推進(jìn);對(duì)存在的問題，暫時(shí)保留。

“理智上的勇氣”“理智上的誠實(shí)”和“明智的克制”是三種非常重要的品質(zhì)，對(duì)歸納推理素養(yǎng)的培養(yǎng)至關(guān)重要。那么在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，應(yīng)該如何正確地對(duì)學(xué)生的這三種品質(zhì)進(jìn)行培養(yǎng)呢？下面筆者將通過一道例題的講解來說明。

【閱讀材料3】

設(shè)an為下述自然數(shù)N的個(gè)數(shù)：N的各位數(shù)字之和為n，并且各位數(shù)字只可以取1、3、4。求證：a2n為完全平方數(shù)。

分析：首先代入幾個(gè)簡(jiǎn)單的值，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，也就是n=1，2，3，……，8。學(xué)生據(jù)此可以算出：a1=1，a2=1=12，a3=2，a4=4=22，a5=6，a6=9=32。然后讓學(xué)生猜想一下a8的值應(yīng)該是多少。大部分學(xué)生通過上面的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，認(rèn)為a8=42=16。這時(shí)，教師應(yīng)該注意訓(xùn)練學(xué)生的歸納能力，并進(jìn)行追問：“此時(shí)的值就是a8的正確結(jié)果嗎？是否有同學(xué)想對(duì)此答案進(jìn)行修正呢？”而后有學(xué)生通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)a8=52=25，接著可以再次對(duì)學(xué)生進(jìn)行追問：“可以發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律嗎？”學(xué)生發(fā)現(xiàn)a2n恰好是斐波那契數(shù)相應(yīng)項(xiàng)的平方。進(jìn)而繼續(xù)追問：“那么這個(gè)結(jié)論是正確的嗎？”最后，學(xué)生通過繼續(xù)考察a10和a12的值，發(fā)現(xiàn)并沒有充分的理由去改變上面的結(jié)論，上述猜想可以初步認(rèn)定是正確的。

評(píng)注：上述教學(xué)過程中，教師的層層設(shè)問引導(dǎo)讓學(xué)生在具體的數(shù)學(xué)問題中感受歸納的獨(dú)特魅力。教師應(yīng)該時(shí)刻謹(jǐn)記，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的歸納能力，最重要的就是使學(xué)生具備“理智上的勇氣”“理智上的誠實(shí)”以及“明智的克制”。這三種品質(zhì)可以為學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納推理素養(yǎng)的培養(yǎng)奠定基礎(chǔ)。

4? ?在歸納推理時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的啟發(fā)性聯(lián)想力

歸納推理通常是通過觀察開始的，要想獲得比較有意義的結(jié)論，首先，要對(duì)所觀察的事物比較熟悉，并且對(duì)其有興趣，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科而言同樣如此;其次，在初中生數(shù)學(xué)歸納推理素養(yǎng)的培養(yǎng)中，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)觀察也非常重要;最后，學(xué)生在學(xué)會(huì)觀察以后，要從觀察中得到啟發(fā)和聯(lián)想，從而得到一般性的命題或者結(jié)論。那么如何培養(yǎng)學(xué)生的啟發(fā)性聯(lián)想力呢？筆者將其總結(jié)為以下三點(diǎn)：

（1）觀察數(shù)或者形;

（2）從中得到數(shù)或者形的相似之處;

（3）將其進(jìn)行推廣，得到一般性命題或者結(jié)論。

下面筆者將通過一個(gè)例子進(jìn)一步說明。

【閱讀材料4】

猜想大于9的奇數(shù)能否都可以用三個(gè)素?cái)?shù)之和來表示。

分析：眾所周知，對(duì)于數(shù)而言，要想對(duì)它們有較好的理解，必須要學(xué)會(huì)區(qū)分奇數(shù)和偶數(shù)，并且理解什么是素?cái)?shù)。理解上述數(shù)的相關(guān)知識(shí)以后，提出問題：大于9的奇數(shù)能否都可以用三個(gè)素?cái)?shù)之和來表示？

例如77=53+17+7。再任意取一個(gè)奇數(shù)，如11，發(fā)現(xiàn)11=2+2+7，77和11都可以表示成三個(gè)素?cái)?shù)的和。再如任意一個(gè)奇數(shù)461，461=449+7+5，它也可以表示成三個(gè)素?cái)?shù)之和，并且461還可以表示成257+199+5。

以上77，11，461都是奇數(shù)，77，11，461拆出來的加數(shù)也都是素?cái)?shù)。也就是對(duì)于上述的特例來說，三個(gè)素?cái)?shù)之和是一個(gè)奇數(shù)，是成立的。那么其他任意一個(gè)大于9的奇數(shù)是否存在這種性質(zhì)呢？

首先來看大于9的最小的奇數(shù)11，其滿足條件，再看超過11的奇數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)：

13=3+5+5

15=3+5+7

17=2+2+13

19=3+3+13

21=3+5+13

當(dāng)前所看到的這些個(gè)別的情況，至少可以得出一個(gè)一般性的命題，即任意一個(gè)大于9的奇數(shù)都可以表示成三個(gè)素?cái)?shù)之和。這個(gè)猜想就是通過歸納推理得到的，也就是說它是由觀察所啟發(fā)的，由特殊的例子所得出的。

如上，由于證明這個(gè)猜想是正確的理由并不充分，因此這些論證的有效性是比較弱的。那么這個(gè)猜想是否正確，就還需要后續(xù)的證明。

評(píng)注：上述的問題主要運(yùn)用歸納推理來解決，在歸納推理的過程中，運(yùn)用了啟發(fā)性聯(lián)想。為了更好地培養(yǎng)學(xué)生的啟發(fā)性聯(lián)想力，筆者總結(jié)了上述歸納推理的一般步驟：

首先，通過觀察可以發(fā)現(xiàn)一些相似的性質(zhì)，如發(fā)現(xiàn)53，17，7，25，7，449，5，257，199都是素?cái)?shù)，77，11，461都是奇數(shù)，并且77=53+17+7，11=2+2+7，461=449+7+5，461=257+199+5四個(gè)等式也存在相似的地方。

其次，要經(jīng)歷一個(gè)推廣的過程，即從77，11，461這些奇數(shù)擴(kuò)展到所有大于9的奇數(shù)，從53，17，7，5，7，449，5，257，199這些素?cái)?shù)擴(kuò)大到所有素?cái)?shù)，接著繼續(xù)推廣，可以得到一個(gè)一般的關(guān)系式：大于9的奇數(shù)=素?cái)?shù)+素?cái)?shù)+素?cái)?shù)。

由此可以得出一個(gè)明確的一般性命題。需要注意的是，這個(gè)命題只是一個(gè)試驗(yàn)性的猜想和推測(cè)。換句話說，這個(gè)命題并沒有被證明，它不可以被當(dāng)作一個(gè)真理，它僅僅是通往真理的一個(gè)嘗試。然而，這個(gè)猜想與“事實(shí)”是有一些啟發(fā)性的聯(lián)系的。因此，可以大致得出歸納推理素養(yǎng)的一個(gè)關(guān)鍵能力是啟發(fā)性聯(lián)想。

歸納推理能力的發(fā)展，可以使學(xué)生的思維方式變得更加靈活，使其考慮問題的方式不再僵化，能夠促進(jìn)學(xué)生發(fā)散性思維的形成。而學(xué)生發(fā)散性思維的發(fā)展有利于學(xué)生創(chuàng)新思維和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展。歸納推理本身的特征使得學(xué)生在進(jìn)行歸納推理的過程中，其創(chuàng)新意識(shí)也會(huì)得到發(fā)展和提高，因此培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力，有利于培養(yǎng)出具有創(chuàng)新能力的人才。

【參考文獻(xiàn)】

[1]李江滔.聯(lián)想法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015（30）.

[2]蔡金法.試論數(shù)學(xué)概括能力是數(shù)學(xué)能力的核心[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，1988（2）.

【作者簡(jiǎn)介】

季青（1995～），女，漢族，江蘇鹽城人，碩士，中小學(xué)二級(jí)教師。研究方向：初中數(shù)學(xué)教學(xué)。