基于“數(shù)形結(jié)合”提高小學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的教學(xué)實踐

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，“數(shù)形結(jié)合”是一種不可或缺的重要解題手段，它不僅能夠幫助學(xué)生快速解決問題、節(jié)約時間，還能讓他們更加直觀地看到數(shù)據(jù)與圖形之間的關(guān)聯(lián)，實現(xiàn)知識的轉(zhuǎn)化。文章主要探索了“數(shù)形結(jié)合”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，由于小學(xué)生正處于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的啟蒙階段，如果我們在學(xué)生剛開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時就采用“數(shù)形結(jié)合”的手段，并把它貫穿于教學(xué)的始終，則更有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，為其日后的學(xué)習(xí)奠定堅實的基礎(chǔ)。

小學(xué)階段，數(shù)學(xué)第一次作為一門獨立的、具有專業(yè)性的學(xué)科出現(xiàn)在學(xué)生面前，對此，在這一階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何給學(xué)生灌輸數(shù)學(xué)思想是一個極為關(guān)鍵的問題。數(shù)學(xué)是自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)與形是數(shù)學(xué)中最基本的研究對象之一。由此可見，“數(shù)形結(jié)合”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是極為重要的。

一、“數(shù)形結(jié)合”思想的理論基礎(chǔ)

（一）“數(shù)形結(jié)合”思想的概念

簡單來說，“數(shù)形結(jié)合”就是通過數(shù)字和圖形來解析數(shù)學(xué)問題，使數(shù)學(xué)問題更容易被理解的一種方法。

（二）“數(shù)形結(jié)合”的探索對象

“數(shù)形結(jié)合”的探索對象是數(shù)量與幾何圖形間的對應(yīng)關(guān)系，即對于我們所要研究的數(shù)量問題可以通過所表示的曲線、圖像等幾何圖形來解答，而對于所求幾何問題也同樣可以轉(zhuǎn)化為所對應(yīng)的數(shù)量問題來解答。

（三）“數(shù)形結(jié)合”的本質(zhì)

簡單來說，利用數(shù)與形之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化來解決問題是“數(shù)形結(jié)合”的本質(zhì)。“數(shù)”不僅具有確定性，還具有連續(xù)性（即在某一特定范圍內(nèi)，它是連續(xù)不間斷的）、唯一性、邏輯性等，它的眾多性質(zhì)決定了數(shù)與數(shù)之間可以通過運算等多種變換得到不同的表達。而幾何圖形的表現(xiàn)形式往往非常直觀，我們可以一目了然地通過幾何圖形獲取我們所需要的信息。

（四）“數(shù)形結(jié)合”的探索方式

探索“數(shù)形結(jié)合”的方法主要可分為兩種：一是利用“數(shù)”的確定性來闡明“形”的特性，即將圖形所傳達的部分信息或全部信息轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的形式，進而削弱或消除“形”的不確定性，從而將“形”的問題轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的討論；二是借助“形”的直觀性來闡述“數(shù)”的屬性，即根據(jù)“數(shù)”的屬性特征，構(gòu)造出與之相適應(yīng)的幾何圖形，并利用圖形的特性和規(guī)律，反解出“數(shù)”的問題。

二、“數(shù)形結(jié)合”思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

（一）以“形”思“數(shù)”，幫助學(xué)生建立數(shù)感

在“數(shù)形結(jié)合”的過程中，“數(shù)”與“形”是高度關(guān)聯(lián)的，因為“數(shù)”是指抽象的數(shù)學(xué)知識，而“形”是這些抽象的數(shù)學(xué)知識的外在表現(xiàn)形式。小學(xué)生的抽象思維能力較弱，教師在教學(xué)中要讓學(xué)生通過自身的形象思維去理解“形”，之后通過引導(dǎo)（如交流、探討、比較等）使學(xué)生學(xué)會對“形”進行分析并總結(jié)，以促進學(xué)生抽象思維的形成。例如，教師在教學(xué)萬以內(nèi)的數(shù)時，可以利用立體幾何的相關(guān)模型加深學(xué)生對數(shù)的認識，如1個立方的立體模型就代表1，10個立方的立體模型就代表10，100個立方的立體模型就代表100，以此類推。教師采用這種方式讓學(xué)生認識數(shù)字，可以使學(xué)生對數(shù)字所呈現(xiàn)的大小關(guān)系有粗略的了解，也能使學(xué)生對數(shù)學(xué)10進制的認識更加清晰。相較于傳統(tǒng)的抽象思維教學(xué)，這樣的教學(xué)方式會使學(xué)生對“數(shù)”的認識和記憶更加深刻，為學(xué)生后期四則運算的學(xué)習(xí)奠定堅實的基礎(chǔ)。

“數(shù)形結(jié)合”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中采用的最普遍的方法之一，它可以讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)、解決數(shù)學(xué)問題。筆者認為，“數(shù)形結(jié)合”不僅是一種數(shù)學(xué)教學(xué)的思想，更是實實在在的教學(xué)方法，通過“數(shù)形結(jié)合”，學(xué)生能更好地理解數(shù)學(xué)，更加直觀地去解讀數(shù)學(xué)各個知識點之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，這不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、增強學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，還能引導(dǎo)學(xué)生思考、探究問題的解決之道。

例如以下計算題：+= ；+= 。教師可按以下方式進行講解：計算+時可以把圓分成四等份，在圓中表示出與，然后把轉(zhuǎn)化成，得出+=；計算+時可以把圓分成八等份，在圓中表示出，然后把轉(zhuǎn)化成，得出+=。教師結(jié)合圖形進行講解，很容易使學(xué)生發(fā)現(xiàn)以上兩個題目之間的內(nèi)在聯(lián)系。教師通過對以上兩個題目的講解，能夠使學(xué)生了解并掌握異分母分數(shù)的加減法，使學(xué)生更好地掌握通分的要點與精髓，為后期這類題目的學(xué)習(xí)奠定理論基礎(chǔ)。

（二）以“形”補“數(shù)”，培養(yǎng)學(xué)生立體觀念

“形”雖然具有直觀性強的優(yōu)勢，但是其缺點也不少，如“形”不能精準化，也不好表達。為了彌補“形”的劣勢，教師可以將“形”的特點以簡潔明了的術(shù)語進行描述、概括，或用與之契合的公式、模型進行表示，從而體現(xiàn)數(shù)學(xué)語言的簡潔美與概括力，使學(xué)生更加深刻地了解并掌握“形”的精髓所在。

若想更快、更好地解決幾何問題，“數(shù)形結(jié)合”是必備良藥。如對于正三角形周長和面積的計算，尤其是計算不同三角形周長和面積的大小，通過“數(shù)形結(jié)合”的方式進行解答可以使解題思路更加直觀、易于理解。如以下例題：有一條16厘米長的線，現(xiàn)在需要用這條線圍成一個長方形，在長寬都是整數(shù)的情況下，可圍出多少種長寬不同的長方形。從題目來看，這個長方形的周長是16厘米，并且每條邊都是整數(shù)，因此，可以得出長方形的長與寬加起來是8厘米。筆者認為，這道題可通過畫圖的方式進行解答，畫出可能出現(xiàn)的圖形情況并將每種圖形做好記錄，算出有多少種圖形。

教師通過“數(shù)形結(jié)合”的方法為學(xué)生講解題目，可以加深學(xué)生對題目的理解，有利于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)與增強。除此之外，在小學(xué)階段，尤其是計算三角形的相關(guān)問題，如對于三角形面積的計算、周長的計算、邊長的計算等，對“數(shù)形結(jié)合”解題方式的使用更加頻繁，這是因為“數(shù)形結(jié)合”能化抽象為具體，使問題簡單化。

（三）發(fā)揚“數(shù)形互譯”，提高學(xué)生思維能力

“數(shù)形互譯”是指通過“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化使解答問題的過程更加順利，簡單來說就是要做到以數(shù)化形、以形譯數(shù)的有效結(jié)合?！皵?shù)形互譯”不僅可以使解題更為容易，還可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。因此，筆者認為在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，“數(shù)形互譯”是從“數(shù)形結(jié)合”思想中繼承而來且需發(fā)揚的思維方法。

三、“數(shù)形結(jié)合”思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

（一）“數(shù)形結(jié)合”應(yīng)用工具之線段圖

線段圖能夠很好地將數(shù)學(xué)抽象問題具體化、形象化，是“數(shù)形結(jié)合”時常采用的工具之一。如以下例題：有三堆棋子，每堆數(shù)量相同，但是第一堆中的黑子數(shù)和第二堆中的白子數(shù)相同，第三堆中的黑子數(shù)占黑子總數(shù)的，問所有的白子數(shù)占比是多少。解答這類問題就可以利用線段圖，如圖1所示。對于第一堆和第二堆來說，黑白子的數(shù)量是相同的，而第三堆黑子數(shù)占黑子總數(shù)的，因此可以將第一堆與第二堆黑子的總數(shù)看作3，那么第三堆的黑子數(shù)就是2，假設(shè)每堆共有3顆棋子，那么總的白子數(shù)量為1+2+1=4，白子占比為=。

運用“數(shù)形結(jié)合”的思想，以線段圖為工具，能夠?qū)⑸鲜隼}進行簡單化處理，并且能將抽象的問題具體化。解題時運用線段圖能夠更加清晰地了解數(shù)量之間的關(guān)系，將問題看得更加清楚。

（二）“數(shù)形結(jié)合”應(yīng)用工具之面積模型

“數(shù)形結(jié)合”的應(yīng)用工具面積模型往往被用于異分母分數(shù)的加減法運算。例如，教師想要通過對計算+的講解讓學(xué)生懂得可以采用通分的方式進行分數(shù)計算，就可以運用面積模型進行講解。對于+的計算，可以將化解為兩個，那么該問題就變成了3個相加是多少。教師可以構(gòu)建如圖2所示的面積模型。

通過這個方法，教師能夠引導(dǎo)學(xué)生明白在什么情況下分子可以相加，從圖形來看就是在格子的總數(shù)相同的情況下，陰影部分的數(shù)量才可以相加，而格子總數(shù)就是分式的分母，也就是在分母一樣的情況下，分子才可以相加。教師通過構(gòu)建面積模型能夠使學(xué)生更好地理解異分母分數(shù)相加的法則。

（三）“數(shù)形結(jié)合”應(yīng)用工具之統(tǒng)計圖

在“數(shù)形結(jié)合”中，統(tǒng)計圖也是經(jīng)常會用到的工具。如以下例題：假設(shè)有一輛公交車從A站到B站再到C站，之后又原路返回，當其到達B站時需要停車，而返回途中不需要在B站停車，該公交車去時的速度為48km/h，具體情況如圖3所示，請問AB之間的距離為多少？返回時的車速是多少。根據(jù)圖3可以得知往返總共耗時19分鐘，并且從A到B花費4分鐘，那么AB之間的距離就很容易計算出來，同時返回的速度也能夠通過簡單的推算得出。在這題中，最為重要的就是學(xué)生要有“數(shù)形結(jié)合”的思想，要會看懂折線圖，這樣才能充分利用圖中信息來解答問題。

教師讓學(xué)生真正掌握獲得知識和進一步自主學(xué)習(xí)的方法，體會那些蘊藏在知識內(nèi)的核心數(shù)學(xué)思想遠比單純地掌握知識本身更重要。在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，“數(shù)形結(jié)合”是最為常用的基礎(chǔ)性方法，教師采用這種方法可以將復(fù)雜的問題簡單化、將抽象的問題具體化，這可以使一些本身復(fù)雜、難懂的問題變得簡單易解。

（作者單位：杭州市文三教育集團定山小學(xué)）