旋轉(zhuǎn)思想在初中數(shù)學(xué)解題中的妙用

摘要：旋轉(zhuǎn)作為幾何圖形運(yùn)動(dòng)中的一個(gè)重要變換形式，是初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中的一項(xiàng)基本內(nèi)容.圖形通過(guò)旋轉(zhuǎn)改變位置后重新組合，能夠當(dāng)作全等變換，不過(guò)需要在新舊圖形之間找到變量與不變量，確定相關(guān)圖形之間的關(guān)系，從而揭示出條件和結(jié)論的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，找到解題的突破口.本文以旋轉(zhuǎn)思想在初中數(shù)學(xué)解題中的妙用列舉部分實(shí)例來(lái)說(shuō)明.

關(guān)鍵詞：旋轉(zhuǎn)思想;數(shù)學(xué)解題;實(shí)際運(yùn)用

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）11-0023-03

收稿日期：2022-01-15

作者簡(jiǎn)介：趙令歲（1975.8-），男，福建省永泰人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

在新時(shí)期教育背景下，初中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的編排越來(lái)越注重同現(xiàn)實(shí)生活相接，課本中增添有圖形變換的內(nèi)容，包括旋轉(zhuǎn)、翻折與平移等，其中旋轉(zhuǎn)思想在幾何解題中有著廣泛的運(yùn)用，也是近年來(lái)中考中經(jīng)常出現(xiàn)的一個(gè)熱點(diǎn).在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目實(shí)際情況巧妙運(yùn)用旋轉(zhuǎn)思想，降低試題的難題，使他們快速找到突破口，最終順利解題.

1 利用圖形旋轉(zhuǎn)思想巧妙構(gòu)圖

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，當(dāng)運(yùn)用旋轉(zhuǎn)思想處理問(wèn)題時(shí)，教師通常需從問(wèn)題的結(jié)論與條件切入，引領(lǐng)學(xué)生從題干中提供的圖形分析，分析題目的設(shè)計(jì)意圖，在結(jié)合旋轉(zhuǎn)變化過(guò)程中圖形性狀不發(fā)生改變的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)角度發(fā)生變化的性質(zhì)巧妙構(gòu)圖，讓學(xué)生認(rèn)真觀察和分析圖像的旋轉(zhuǎn)變化確定解題思路，達(dá)到解答問(wèn)題的目的.這樣學(xué)生能夠親身經(jīng)歷圖形旋轉(zhuǎn)的過(guò)程，使他們通過(guò)解題訓(xùn)練進(jìn)一步掌握?qǐng)D形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，并深化對(duì)旋轉(zhuǎn)思想的理解與應(yīng)用.

例1如圖1所示，四邊形ABCD是一個(gè)正方形，三角形ADE經(jīng)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后同三角形ABF重合，求（1）旋轉(zhuǎn)中心是哪一點(diǎn)？三角形ADE旋轉(zhuǎn)多少度？（3）假如把EF連接起來(lái)，那么三角形AEF是一個(gè)什么樣的三角形？

解析對(duì)于第（1）、（2）小題，學(xué)生通過(guò)觀察能夠直接得出答案，即為旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)A，三角形ADE旋轉(zhuǎn)90°同三角形ABF重合;而對(duì)于第（3）小題，教師可先組織學(xué)生在小組內(nèi)合作討論與探究，結(jié)合已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)思考：經(jīng)常判斷三角形的形狀有直角三角形、等腰三角形與等邊三角形，再結(jié)合圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)很容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)EF連接起來(lái)以后，根據(jù)AE與AF相等、∠1與∠2相等能夠得到∠EAF=∠2+∠3=90°，所以在三角形AEF中，AE=AF，∠∠EAF=90°，這充分說(shuō)明三角形AEF是一個(gè)等腰直角三角形.

2 運(yùn)用圖形旋轉(zhuǎn)思想巧妙猜想

在處理數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，進(jìn)行合理猜想能夠讓題目顯得更有活力與魅力，通過(guò)旋轉(zhuǎn)思想的妙用融入到幾何變式類的問(wèn)題中，借此凸顯出數(shù)學(xué)猜想的重要作用.要想培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想能力，教師需堅(jiān)持循序漸進(jìn)的原則，借助一些變式訓(xùn)練，為學(xué)生進(jìn)行猜想奠定良好基礎(chǔ)，讓他們學(xué)會(huì)從多個(gè)視角分析與解決問(wèn)題.初中數(shù)學(xué)教師在解題訓(xùn)練中，可指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用圖形旋轉(zhuǎn)思想進(jìn)行巧妙猜想，把不同的圖形關(guān)聯(lián)起來(lái)，讓他們進(jìn)行觀察、類比、猜想與驗(yàn)證.

例2如圖2（1）所示，三角形ABC是一個(gè)等腰直角三角形，其中AC=BC，四邊形CDEF是一個(gè)正方形，連接BD、AF，（1）觀察圖形，猜想AF與BD之間的關(guān)系，且證明;（2）如果把正方形CDEF繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使之一邊落在三角形ABC內(nèi)，請(qǐng)畫(huà)出一個(gè)變換后的圖形，并對(duì)照已知圖形標(biāo)記字母，分析題（1）中猜想的結(jié)論是否仍然成立？假如成立，直接寫(xiě)出結(jié)論，無(wú)需證明，如果不成立，說(shuō)明理由.

解析（1）讓通過(guò)觀察學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖中隱含著旋轉(zhuǎn)變換，△ACF繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BCD，由此猜想出AF=BD，且AF⊥BD.這樣的猜想過(guò)程能為證明做鋪墊，讓學(xué)生順利找到證明兩個(gè)三角形全等的條件，得到△ACF≌△BCD，推出AF=BD與∠AFC=∠BDC，再利用∠AFC+∠FGC=90°得到AF⊥BD.（2）圖2（2）是CD邊在△ABC內(nèi)部時(shí)，圖2（3）是CF邊在△ABC內(nèi)部時(shí)，當(dāng)正方形CDEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)時(shí)，一邊落在△ABC內(nèi)部，始終有AF=BD數(shù)量關(guān)系與AF⊥BD的位置關(guān)系.

3 采用圖形旋轉(zhuǎn)思想巧妙轉(zhuǎn)化

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)過(guò)程中，讓學(xué)生“做一做，動(dòng)一動(dòng)”思維能夠變得更加活躍，而遇到一些難以處理的幾何圖形類問(wèn)題時(shí)，教師可以指導(dǎo)他們巧妙運(yùn)用旋轉(zhuǎn)思想，對(duì)題目中的圖形或者圖形的一部分進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，由此找到解題的突破口.同時(shí)，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)提示學(xué)生緊緊抓住旋轉(zhuǎn)后新圖形和原圖形所具備的性質(zhì)，并依據(jù)特殊角的三角函數(shù)值、等腰三角形、等邊三角形及正方形的性質(zhì)等，讓他們學(xué)會(huì)化繁為簡(jiǎn)，使其快速、準(zhǔn)確的找到解題方法，

例3如圖3所示，在三角形ABC中，AC與BC的長(zhǎng)度一樣，點(diǎn)D是邊AB上的一點(diǎn)，求證：DB²+AD²=2CD².

解析處理旋轉(zhuǎn)類的問(wèn)題時(shí)要抓住兩點(diǎn)：一是旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形全等，二是利用好旋轉(zhuǎn)的角度.具體解答方法如下：學(xué)生利用旋轉(zhuǎn)與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，把△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再把ED連接起來(lái)，這樣將分散的線段DB、AD與CD整合到兩個(gè)直角三角形△BDE和△CDE中，結(jié)合勾股定理能夠得到ED²=DB²+BE²=DB²+AD²，繼而得到ED²=CD²+CE²=2CD².

4 巧用旋轉(zhuǎn)思想解決角度問(wèn)題

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，幾何圖形類題目占據(jù)著較大的比重，在平常訓(xùn)練與考試中均較為常見(jiàn)，而計(jì)算角度類問(wèn)題屬于基礎(chǔ)性題型，處理這類題目時(shí)，需要結(jié)合已知條件把分散的條件進(jìn)行集中分析與處理.對(duì)此，初中數(shù)學(xué)教師可以引導(dǎo)學(xué)生巧妙應(yīng)用旋轉(zhuǎn)思想分析和解決角度問(wèn)題，先對(duì)原圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變化，分析圖形的特殊位置和角度，再結(jié)合相關(guān)數(shù)學(xué)公式展開(kāi)解題，使其把陌生問(wèn)題轉(zhuǎn)變成熟悉的問(wèn)題，把復(fù)雜問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化，讓他們輕松解題.

例4如圖4（1）所示，點(diǎn)P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，其中PA的長(zhǎng)度是3，PB的長(zhǎng)度是4，PC的長(zhǎng)度是5，求∠APB的大小.

解析當(dāng)學(xué)生看到3、4、5在這組數(shù)據(jù)時(shí)，通常會(huì)第一時(shí)間想到勾股定理，這是直角三角形的三條邊的長(zhǎng)度，但是在本題中分散在三角形ABC內(nèi)部，解題該題的關(guān)鍵是想法將這分散的三邊集中到同一個(gè)三角形中，通過(guò)旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化實(shí)現(xiàn).具體來(lái)說(shuō)，可以讓三角形APB圍繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到三角形ADC，把PD連接起來(lái)，如圖4（2）所示，則AD=AP=3，DC=PB=4，∠PAD=60°，所以三角形PAD是一個(gè)等邊三角形，則PD=PA=3，在三角形PDC中，PD²+DC²=3²+4²=5²，PC²=5²，由此得到∠PDC=90°，則∠APB=∠ADP+∠PDC=60°+90°=150°.

5 巧用旋轉(zhuǎn)思想解決長(zhǎng)度問(wèn)題

對(duì)初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)而言，計(jì)算線段長(zhǎng)度類問(wèn)題也十分常見(jiàn)，這類題目從表面上看往往難度不大，但是仔細(xì)觀察圖形與分析題目?jī)?nèi)容以后，發(fā)現(xiàn)并不易求解，而且部分題目給出的條件較少，學(xué)生極易陷入到困境之中，他們很難快速形成準(zhǔn)確的解題思路.因此，初中數(shù)學(xué)教師在具體的解題訓(xùn)練中，可以指導(dǎo)學(xué)生利用旋轉(zhuǎn)思想對(duì)題目中的圖形展開(kāi)旋轉(zhuǎn)與變換，明確旋轉(zhuǎn)以后角、邊的元素變化情況，使其形成清晰的解題思路，提高解題效率.

例5如圖5（1）所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD