一階微分方程存在特混型積分因子的新充要條件

樊豫隴，王明建

(黃河交通學院 基礎(chǔ)教學部,河南 焦作 454950)

文[1]給出一階微分方程[2]

P(x，y)dx+Q(x，y)dy=0

(1)

1 幾個引理

引理1[4]方程(1)存在積分因子μ=μ(x，y)的充要條件是

(2)

其中μ=μ(x，y)，P=P(x，y)，Q=Q(x，y)在區(qū)域D上都是非零的連續(xù)可微函數(shù).

引理2[5]如果P=P(x，y)，Q=Q(x，y)都是區(qū)域D上的m次齊次二元函數(shù)，那么存在非零t，使得

P(tx，ty)=tmP(x，y)

(3)

及

Q(tx，ty)=tmQ(x，y)

(4)

引理3[6]如果函數(shù)P=P(x，y)，Q=Q(x，y)滿足引理2的條件，那么

(5)

證明式(3)兩邊對t求偏導，得

(6)

式(6)兩邊同乘以Q，得

(7)

同理，對式(4)兩邊t求偏導，并乘以P得

(8)

由(7)、(8)兩式可得式(5)成立.

引理4[7]記函數(shù)f=f(x，y)=P(tx，ty)-tmP(x，y)(t≠0)，那么

(9)

證明顯然f是區(qū)域D上的連續(xù)可微函數(shù)，對f中t求偏導得

(10)

式(10)式兩邊同乘以Q即得式(9)成立.

引理5[8]設(shè)函數(shù)g=g(x，y)=Q(tx，ty)-tmQ(x，y)(t≠0)，那么

(11)

引理6[9]設(shè)f=f(x，y)=P(tx，ty)-tmP(x，y)，g=g(x，y)=Q(tx，ty)-tmQ(x，y) (t≠0)，那么f，g是偏微分方程

(12)

的解

證明由等式(9)及(11)，即得式(12)成立.

2 主要結(jié)論及證明

定理1 如果偏微分方程

(13)

xP+yQ≠0且P，Q是同次的齊次式

(14)

證明充分性.因為

(15)

(16)

由引理3知(15)、(16)兩式相等，再由引理1知充分性成立.

必要性.由式(15)=式(16)得到

(17)

由式(17)、(9)及(11)知方程(13)有解f，g(其中f=f(x，y)，g=g(x，y)是D上的連續(xù)可微函數(shù))，由假設(shè)知f，g為零解，所以必要性成立.

類似可得結(jié)論

定理2 如果偏微分方程

(18)

xP-yQ≠0且P(x，y)=yP1(xy)，Q(x，y)=xQ1(xy)

(19)

這里P1，Q1都是區(qū)域D上的連續(xù)可微函數(shù).

如果記文[1]中定理1為定理1′，則不難證明

定理3 定理1不等價于定理1′.

3 應(yīng)用舉例

例1[10]求方程(y2-3xy-2x2)dx+(xy-x2)dy=0的通解.

例2[11]求方程(y3-xy2-x2y)dx+(x3-x2y-xy2)dy=0的通解.

注例1和例2說明定理1與定理1′一般不等價.例1當且僅當x=0或y=x時兩定理等價，例2當且僅當x=0，或y=0，或y=±x時兩定理等價.