外推法近似計(jì)算區(qū)域上柯西主值積分

李金，張曉蕾，桑瑜，張宇鑫

(華北理工大學(xué) 理學(xué)院，河北 唐山 063210)

引言

柯西主值積分是邊界元法中的重要研究內(nèi)容，被廣泛地應(yīng)用于數(shù)學(xué)物理、電磁力學(xué)、流體力學(xué)、斷裂力學(xué)、化學(xué)等領(lǐng)域[1,2]?？紤]如下形式的柯西主值積分：

(1)

奇異積分的近似計(jì)算作為數(shù)值計(jì)算領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。目前，已經(jīng)有矩形求積公式[3,4]、梯形求積公式[5,6]、辛普森求積公式[7]、高斯求積公式[8]等方法來近似計(jì)算奇異積分。LI用矩形求積公式近似計(jì)算了二維奇異積分[9]，得到收斂結(jié)果為O(h2)。文獻(xiàn)[10]中討論了計(jì)算柯西主值積分的復(fù)合矩形求積公式，逼近密度函數(shù)得到誤差展開式，設(shè)計(jì)外推算法提高收斂階獲得后驗(yàn)誤差估計(jì)。隨后有學(xué)者研究了多維柯西主值積分的復(fù)合矩形求積公式[11]，并給出外推算法。矩形求積公式還可以用來近似計(jì)算Hadamard有限部分積分[12]。LI等學(xué)者利用復(fù)合梯形公式近似計(jì)算一維、二維及圓上的柯西主值積分[13-15]，得到相應(yīng)的超收斂誤差估計(jì)。Monegato給出了近似計(jì)算二維柯西主值積分的一類插值求積公式[16]。Kim構(gòu)造了一個(gè)基于三角變換的求積公式[17]來近似計(jì)算柯西主值積分。

外推法作為一種提高計(jì)算精度的方法，近年來被廣泛應(yīng)用于數(shù)值計(jì)算[18]。在近似計(jì)算奇異積分時(shí)，根據(jù)得到的誤差展開式設(shè)計(jì)外推算法，從而提高誤差收斂階。在等距節(jié)點(diǎn)的情況下，通常采用把區(qū)間逐次對分的方法計(jì)算積分值，這樣，前一次劃分得到的函數(shù)值在區(qū)間重新劃分后仍可被利用，且易于編程，這是外推法實(shí)現(xiàn)的前提?；谝陨纤悸?，Navot[19]構(gòu)造了基于Fourier級數(shù)展開的弱奇異積分的Euler-Maclaurin展開式。Lyness研究了二維柯西主值積分的Euler-Maclaurin展開方法[20]。余德浩等學(xué)者根據(jù)梯形求積公式近似計(jì)算二階超奇異積分得到誤差漸近展開式，構(gòu)造廣義的外推算法來提高計(jì)算精度[21]。

該研究對復(fù)合矩形求積公式近似計(jì)算二維柯西主值積分進(jìn)行分析。對積分區(qū)域進(jìn)行均勻剖分，逼近密度函數(shù)與核函數(shù)，通過矩形公式近似計(jì)算得到誤差展開式。構(gòu)造序列來逼近奇異點(diǎn)，并對網(wǎng)格進(jìn)行均勻加密，提出了一種外推算法。通過該方法獲得更高的收斂階和后驗(yàn)誤差估計(jì)。該項(xiàng)研究的第一部分給出了矩形求積公式的基本定義及其近似計(jì)算二維柯西主值積分獲得誤差展開式的相關(guān)定理；第二部分證明主要定理，并根據(jù)誤差展開式得到收斂階；第三部分在計(jì)算二維柯西主值積分誤差展開式的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)外推算法提高收斂階，并給出后驗(yàn)誤差估計(jì)；第四部分用數(shù)值算例來驗(yàn)證理論分析的正確性。

1主要定理

令a=x0

定理1[22]f(x,y)∈C∞[a,b]×[c,d]，θ1,θ2∈[0,1]。定義

(2)

和

(3)

然后有

(4)

其中ck是與h無關(guān)的常數(shù)。

接下來定義fc(x,y)為f(x,y)的常數(shù)插值

fc(x,y)=f(xi-1,yj-1),(x,y)∈[xi-1,xi]×[yj-1,yj],i,j=1,2,…,n

(5)

定義線性變換

(6)

(7)

(8)

其中ωij定義為科特斯系數(shù)，

(9)

定義φ0(x,y)，φk1(x,y)，φk2(x,y)，

(10)

(11)

(12)

當(dāng)k=1時(shí)，

(13)

(14)

現(xiàn)在給出如下定理。

定理2設(shè)f(x,y)∈C∞(Ω)=C∞[a,b]×[c,d]，矩形求積公式In(f,t,s)定義為式(8)，存在一個(gè)與h無關(guān)的常數(shù)ck,使得

(15)

其中(t,s)∈(xg-1,xg)×(yl-1,yl)，

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

當(dāng)k=1時(shí)，

(21)

(22)

當(dāng)式(18)為0時(shí)出現(xiàn)超收斂現(xiàn)象，收斂階為O(h)。

2定理的證明

(23)

(24)

(25)

證明:根據(jù)二維柯西主值積分的定義和線性變換式(6)和式(7)，有

(26)

對于式(24)的第一部分

(27)

相似的可以得到式(25)。i≠g，j≠l的情況，相應(yīng)的黎曼積分可以被同樣證明。當(dāng)k=1時(shí)有，

(28)

(29)

以上可以被類似證明。

引理2在定理2的假設(shè)下，有

(30)

證明:通過將fc(x,y)，f(x,y)在奇點(diǎn)(t,s)處泰勒展開，得到

(31)

(32)

結(jié)合式(31)和式(32)，得到引理2結(jié)論。定理2的證明如下

證明:根據(jù)引理2，有

(33)

對于i=g，j=l，有

(34)

結(jié)合式(33)和式(34)可得

(35)

這里d0(φ0)，dk1(φk1)，dk2(φk2)定義為式(18)～式(20)。通過線性變換[xi-1,xi]×[yj-1,yj]映射到[-1,1]×[-1,1]，當(dāng)τ=ξ=0時(shí)，d0(φ0)=0。對于最后一部分沒有奇異性，

(36)

(37)

證明完畢。

實(shí)際上獲得了矩形公式計(jì)算二維柯西主值積分的誤差展開式，因此當(dāng)d0(φ0)=0時(shí)，得到超收斂點(diǎn)。接下來將以上結(jié)論推廣到多維的情況。

(38)

這里(t1,t2,...,tq)是奇點(diǎn)，令f(t1,...,tq)∈C∞[ai,bi]q，ai=xi0

fc(x1,x2,...,xq)=f(x1,i1-1,x2,i2-1,...,xq,iq-1)

(39)

然后得到：

(40)

其中科特斯系數(shù)為ωi1,i2,...,iq=hq/[(x1,i1-1-t1)...(xq,iq-1-tq)]。

3外推法

根據(jù)定理2得到矩形公式計(jì)算二維柯西主值積分的誤差展開式

(41)

并給出如下外推算法，存在正整數(shù)n10,n20使得m10:=n10(t-a)/(b-a)，m20:=n20(s-c)/(d-c)為常數(shù)。為了簡化計(jì)算過程，設(shè)n10=n20，將[a,b]×[c,d]劃分為等子區(qū)域，得到大小為h1=(b-a)/n10=(d-c)/n20的初始網(wǎng)格Π1，細(xì)化網(wǎng)格Π1得到Π2，其大小為h2=h1/2。通過不斷細(xì)化網(wǎng)格得到{Πj}j=1,2,...,這里Πj由Πj-1得到，網(wǎng)格大小為hj，得到如下所示的外推表。

表1 外推表Ti(j)

對于給定的τ,ξ,定義

(42)

(43)

T(hi)=T(hi,hj)=I2i-1n10,2j-1n20(f,ti,sj)

(44)

下面介紹外推算法步驟

第一步:

第二步:

定理3在定理2的誤差展開式基礎(chǔ)上，對于τ,ξ=0，根據(jù)式(42)和(43)有

(45)

后驗(yàn)誤差估計(jì)為

(46)

證明:對于給定的τ,ξ,通過式(41)的誤差展開式有

(47)

根據(jù)柯西主值積分的定義和式(41)，將I(f,ti,sj)在奇點(diǎn)(t,s)處進(jìn)行泰勒展開，有

(48)

f(ti,sj)在奇點(diǎn)(t,s)處進(jìn)行泰勒展開得到

(49)

結(jié)合式(47)～式(49)得到

(50)

這里

(51)

對于給定的τ,ξ和bk(t,s,τ,ξ)均為常數(shù)，由式(50)有

(52)

根據(jù)式(50)和式(52)以及hi=2hi+1,可得

(53)

即

(54)

這里

(55)

繼續(xù)外推過程可以得到收斂階O(h3)，相似的得到收斂階O(h4)。通過這種方法，可以得到更高的收斂階。

4數(shù)值算例

這一部分給出一些數(shù)值例子驗(yàn)證定理的結(jié)論。

例1：

由表2可得，當(dāng)奇點(diǎn)局部坐標(biāo)為零時(shí)收斂階為O(h)，當(dāng)局部坐標(biāo)不為零時(shí)則不收斂。因此當(dāng)τ=ξ=0時(shí)，出現(xiàn)超收斂現(xiàn)象并驗(yàn)證了理論分析的正確性。

表2 矩形公式誤差估計(jì)

例2：

表3 矩形公式外推誤差估計(jì)

表4 后驗(yàn)誤差估計(jì)

例3：

表5 矩形公式外推誤差估計(jì)

表6 后驗(yàn)誤差估計(jì)

例4：

表7和表8驗(yàn)證了當(dāng)τ=ξ=η=0時(shí)，得到矩形公式近似計(jì)算三維柯西主值積分并進(jìn)行外推的誤差，收斂階可以達(dá)到O(h),O(h2),O(h3),O(h4)，后驗(yàn)估計(jì)的收斂階與表7的誤差收斂階相同，符合理論分析。

表7 矩形公式外推誤差估計(jì)

表8 后驗(yàn)誤差估計(jì)

5結(jié)論

通過矩形求積公式近似計(jì)算二維柯西主值積分得到誤差展開式。通過構(gòu)造序列來逼近奇點(diǎn)，設(shè)計(jì)外推算法獲得更高的計(jì)算精度，并得到了后驗(yàn)誤差估計(jì)。這種方法也可以推廣到多維柯西主值積分。