基于迭代法的多目標(biāo)決策及應(yīng)用

張?zhí)?，閻紅燦,2

(1. 華北理工大學(xué) 理學(xué)院，河北 唐山 063210；2. 河北省數(shù)據(jù)科學(xué)與應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 唐山 063000)

決策具有蝴蝶效應(yīng)，當(dāng)下所作出的決定會(huì)影響到后續(xù)的發(fā)展，錯(cuò)誤的決策會(huì)造成難以估計(jì)的損失。在決策中，根據(jù)決策目標(biāo)的個(gè)數(shù)，將決策分為單目標(biāo)決策和多目標(biāo)決策。多目標(biāo)決策是對(duì)多個(gè)相互矛盾的目標(biāo)進(jìn)行科學(xué)、合理的選優(yōu)，并作出最終決策的理論和方法。多目標(biāo)決策問(wèn)題存在于社會(huì)生活的方方面面，比如選擇一個(gè)城市去旅游，選擇去成都、大理還是上海等，這些景點(diǎn)各有各的特色，最終選擇去哪個(gè)城市便構(gòu)成了一個(gè)多目標(biāo)決策問(wèn)題。常見(jiàn)的解決多目標(biāo)決策的方法有分層序列法[1]、目標(biāo)規(guī)劃法[2]、直接求非劣解法[3]、層次分析法[4]和多屬性效用法[5]等。相比于其他方法，迭代法[6]方便簡(jiǎn)捷，編程易實(shí)現(xiàn)。多目標(biāo)決策方法現(xiàn)已廣泛地應(yīng)用于資源[7-8]、環(huán)境[9]、經(jīng)濟(jì)[10-11]、管理[12-13]、教育[14]、醫(yī)療[15]等領(lǐng)域。

1迭代法

迭代法又稱(chēng)輾轉(zhuǎn)法，是使用可變量之前的值不斷類(lèi)推出新值的過(guò)程。當(dāng)數(shù)據(jù)量較大且進(jìn)行相似性計(jì)算時(shí)，迭代法展現(xiàn)了它獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，可以借助計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)快速計(jì)算。迭代的算法方式是一種利用類(lèi)推公式或者循環(huán)性算法通過(guò)構(gòu)造序列來(lái)求問(wèn)題近似值的方法。例如，對(duì)于非線(xiàn)性方程F(x)=0，利用類(lèi)推關(guān)系式x(k+1)=ψk(F;x(0);x(1);…,x(k))，從x(0)開(kāi)始按次序計(jì)算x(1),…,x(k)來(lái)貼近方程的解x*的方法，若x(k+1)只與x(k)有關(guān)，即x(k+1)=ψk(F;x(k))，則稱(chēng)此迭代法為單步迭代法；對(duì)于線(xiàn)性方程組Ax=b，由關(guān)系式x(k+1)=Φk(A,b;x(0);x(1);…,x(k))從x(0)開(kāi)始依次計(jì)算x(1),…,x(k)來(lái)貼近方程Ax=b的解的方法。若對(duì)某一正整數(shù)k0，當(dāng)k

使用迭代算法的3個(gè)步驟如下：

Step1:找到算法方式中的可變量，在使用可變量之前的值不斷地類(lèi)推出新的值的過(guò)程前，要最少找到一個(gè)變量。

Step2:構(gòu)造出關(guān)于變量的相應(yīng)迭代式，這個(gè)迭代式就是使用可變量之前的值不斷地類(lèi)推出新的值的過(guò)程。迭代的算法方式中最重要的一步就是構(gòu)造相應(yīng)迭代式，一般會(huì)按順序一步步往后推得或者從結(jié)果往前推得。

Step3:把握迭代的算法方式的整體進(jìn)程。有2種情況，一是迭代的次數(shù)一定且易算，要預(yù)先確定次數(shù)的循環(huán)；二是迭代的次數(shù)不一定，要繼續(xù)研究如何終止整體進(jìn)程。

2基于迭代法的購(gòu)房還貸模型

以購(gòu)房還貸為應(yīng)用背景建立多目標(biāo)決策模型。目前，社會(huì)上熱度最高的貸款方式是等額本息貸款和等額本金貸款，在建立基本還貸模型的基礎(chǔ)上，分別建立了等額本息還貸模型和等額本金還貸模型。

2.1 基本還貸模型

在介紹基本還貸模型前，先對(duì)所用的符號(hào)及基本假設(shè)加以說(shuō)明。符號(hào)說(shuō)明：A0表示需向銀行貸款本金；Am表示在第m月還款后仍欠銀行的本息；Xm表示第m月的還款額；Rm表示第m月的利息(m=1,2,3……)；r表示貸款月利率；R表示還款總利息；T表示總還款期限；r表示貸款月利率。

基本假設(shè)：(1)購(gòu)房者在規(guī)定的貸款時(shí)間內(nèi)經(jīng)濟(jì)情況正常；(2)銀行在貸款期限內(nèi)月利率不變；(3)每個(gè)月的月末貸款人將還款額付給銀行；(4)銀行使用復(fù)利計(jì)算的方法來(lái)計(jì)息。

基本還貸模型可以作為后續(xù)對(duì)等額本息還貸法和等額本金還貸法建立模型的基礎(chǔ)，主要對(duì)仍欠銀行的本息和作遞推，下面介紹基本還貸模型。

第一個(gè)月，需向銀行貸款本金為A0，利息為R1=rA0，本息和為A0(1+r)，還款額為X1，尚欠銀行的本息和為A1=(1+r)A0-X1。第二個(gè)月，需向銀行貸款本金為A1，利息為R2=rA1，本息和為A1(1+r)，還款額為X2，尚欠銀行的本息和為A2=(1+r)A1-X2。以此類(lèi)推……第m個(gè)月，需向銀行貸款本金為Am-1，利息為Rm=rAm-1,本息和為Am-1(1+r)，還款額為Xm，尚欠銀行的本息和為Am=(1+r)Am-1-Xm。由以上類(lèi)推，得出基本還貸模型為：

(1)

運(yùn)用迭代法，求出此基本還貸模型的顯式解：

Am=(1+r)mA0-[(1+r)m-1X1+(1+r)m-2X2+…+(1+r)Xm-1+Xm]

(2)

由基本貸款模型可知，若初期的還款額數(shù)越大，則本息和遞減越快，最后所需的總利息越少。

2.2 等額本息還貸模型

等額本息還貸法是指每月償還同等數(shù)額的貸款(包括本金和利息)，一般稱(chēng)為等額還款。如果每月還款額為X,則X=X1=X2=…=Xm，則還貸模型成為一個(gè)常系數(shù)線(xiàn)性非齊次差分方程的初值問(wèn)題：

(3)

由基本還貸模型的顯式解可推得：

Am=(1+r)mA0-X[(1+r)m-1+(1+r)m-2+…+(1+r)+1]

(4)

可得到該初值問(wèn)題的解是：

(5)

也可得出每月的利息為：

Rm=rAm-1=(A0r-X)(1+r)m-1+X

(6)

若該貸款人在T月內(nèi)還清全部本息，則AT=0?？傻茫?/p>

(7)

設(shè)銀行指定的還款期限為T(mén)，則每月固定應(yīng)還還款額為：

(8)

這時(shí)可得總利息為：

(9)

2.3 等額本金還貸模型

使用遞推法，以此類(lèi)推……最終得到第m個(gè)月需歸還銀行的還款額為：

(10)

所需還款利息總額為：

(11)

由此可知，第一月還款的額數(shù)最大,隨著時(shí)間的遞增,還款額數(shù)將會(huì)減少。

3還貸模型對(duì)比

運(yùn)用上述還貸模型做實(shí)例分析，直觀(guān)地認(rèn)識(shí)貸款買(mǎi)房的不同策略，實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)決策。李女士準(zhǔn)備買(mǎi)一套商品房，其經(jīng)濟(jì)條件穩(wěn)定，基于李女士案例通過(guò)對(duì)比分析2種還貸模型，決策出最優(yōu)貸款買(mǎi)房方案。

3.1 等額本息時(shí)數(shù)據(jù)對(duì)比分析

由于貸款金額主要是由貸款者的實(shí)際情況決定，不具備統(tǒng)一討論的意義，故可將貸款金額固定為200 000元進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，貸款總利息最少的目標(biāo)即為最優(yōu)目標(biāo)，由此建立目標(biāo)函數(shù)：Z=minR，由實(shí)際情況可知，貸款買(mǎi)房最長(zhǎng)時(shí)限為30年。表1所示為等額本息下公積金貸款和商業(yè)性貸款總利息對(duì)比。

由表1可知，在等額本息還貸方式的前提下，貸款的總金額一定時(shí)，隨著貸款年限的增加和貸款方式的不同，貸款基準(zhǔn)利率會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的增長(zhǎng)，這使得最后需要還付的利息也產(chǎn)生相應(yīng)的增加，可以看到在還款期限增加的過(guò)程中，總利息增長(zhǎng)區(qū)間較大，但每月還款金額會(huì)相對(duì)減少。從數(shù)據(jù)可以分析出，貸款1年時(shí)，每月還款額較大，總利息較少；貸款15年時(shí)，每月還款額較少，總利息較多；貸款5年時(shí)，每月還款額適中，總利息也適中。

表1 等額本息下公積金貸款和商業(yè)性貸款總利息對(duì)比

圖1所示為等額本息還款每月還款額及總利息變化。 由圖 1可以看出，在等額本息還貸方式的前提下，從整體趨勢(shì)來(lái)看，商業(yè)性貸款下每個(gè)月的還貸額數(shù)和利息總和數(shù)都比公積金貸款下每個(gè)月還貸額數(shù)和利息總和數(shù)要多，公積金貸款的增長(zhǎng)趨勢(shì)相對(duì)于商業(yè)性貸款要緩慢一些，商業(yè)性貸款漲幅較大。此外可以看出，商業(yè)性貸款的貸款期限是4年期最為劃算，公積金貸款的期限為5年期時(shí)最劃算。

圖1 等額本息還款每月還款額及總利息變化

3.2 等額本金時(shí)數(shù)據(jù)對(duì)比分析

等額本金還貸法每個(gè)月需要還的本金數(shù)是相同的，每個(gè)月需要還的利息會(huì)有所改變，同樣以固定貸款金額為200 000元進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。表2所示等額本金下公積金貸款和商業(yè)性貸款總利息對(duì)比。

由表 2可知，在等額本金的還貸方式的前提下，每個(gè)月需要的還款額數(shù)都會(huì)減少，且減少的金額在隨著貸款期限的增加而增加，成正比。在同一期限下，等額本金還貸方式的月還貸額數(shù)會(huì)每個(gè)月減少同樣的金額。商業(yè)性貸款的利息總和以及每個(gè)月的還貸額數(shù)都比公積金貸款的多一些。在貸款期限增加過(guò)程中，商業(yè)性貸款的總利息多于公積金貸款的總利息。

表2 等額本金下公積金貸款和商業(yè)性貸款總利息對(duì)比

圖2所示為等額本息方式和等額本金方式下總利息的對(duì)比。

圖2 等額本息方式和等額本金方式下總利息的對(duì)比

由圖 2可以看出，隨著貸款期限的增加，等額本金下的總利息和等額本息下的總利息變化都呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，且商業(yè)性貸款無(wú)論是在等額本息還款下還是等額本金還款下都比公積金貸款的總利息變化趨勢(shì)更加陡峭，所以商業(yè)性貸款總利息多于公積金貸款總利息。

圖3所示為月還貸額比較。

圖3 月還貸額比較

由圖 3可知，等額本金還貸方式在開(kāi)始的一個(gè)區(qū)間內(nèi)的月還貸額會(huì)比等額本息還貸方式的月還貸額高一些，第一個(gè)月開(kāi)始時(shí)需要還款6 297.5元，最后一個(gè)月需要還款3 677.1元，逐月遞減10.96元。但是到第106月時(shí)，兩者會(huì)產(chǎn)生交匯，以后等額本息還款月的還款額將會(huì)高于等額本金的月還款額。

4結(jié)論

等額本金的還貸方式清償?shù)目偫?shù)較少，貸款時(shí)間越久，總利息數(shù)額間的差數(shù)就越多。初期還貸金額最大，隨著還貸月數(shù)的遞增，后期還貸金額變少，適合年紀(jì)偏大或收入狀況較樂(lè)觀(guān)的購(gòu)房者。若購(gòu)房者收入不夠穩(wěn)定，可以適量延長(zhǎng)還款期限，雖然會(huì)使需償還的利息數(shù)增大,但在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi),該購(gòu)房者可以有更多的投資機(jī)會(huì),若投資所獲得的收益大于需還給銀行的利息數(shù),那么也可以選擇此種還貸方式。該模型有很多可以深究的地方，比如對(duì)貸款的風(fēng)險(xiǎn)估測(cè)、選擇組合貸款，因此本模型具有很大的改良空間。