十種方法求角的內(nèi)角平分線所在直線方程

摘要：求一個角的內(nèi)角平分線所在的直線方程，可以結(jié)合內(nèi)角平分線一些重要性質(zhì)，如點到線距離、線到線角、點關(guān)于線對稱、此角的兩邊長之比、向量數(shù)量積及投影等，利用直線斜率和平面向量有關(guān)知識點求解，方法策略多樣.本文給出一個角的內(nèi)角平分線所在的直線方程10種求法，提升學(xué)生的解題能力.

關(guān)鍵詞：內(nèi)角平分線性質(zhì);直線方程;直線斜率;平面向量

中圖分類號：G632文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2022）07-0089-03

收稿日期：2021-12-05

作者簡介：鐘建新，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

題目已知△ABC三個頂點A（2，5），B（6，8），C（8，-3），求∠A的內(nèi)角平分線所在的直線方程.

解法1 由題意得，∠A的內(nèi)角平分線所在的直線有斜率，下設(shè)∠A的內(nèi)角平分線所在的直線l方程為

y-5=k（x-2），

點B（6，8）關(guān)于l的對稱點為B′（a，b），

則點B′（a，b）在直線

lAc：y-5=-43（x-2）上.

所以b-5=-43（a-2）. ①

又線段BB′中點在l上，

所以b+82-5=k（a+62-2）. ②

且kBB′·kl=-1，

所以b-8a-6·k=-1. ③

以上三式聯(lián)立可解得

a=5，b=1，k=-17.

所以直線l方程為

y-5=-17（x-2）.

即∠A的內(nèi)角平分線所在的直線方程為

x+7y-37=0.

解法2 設(shè)點B（6，8）關(guān)于∠A的內(nèi)角平分線所在直線l的對稱點為B′（a，b），

因為直線lAc：y-5=-43（x-2），

所以b-5=-43（a-2） .④

又AB′=AB，

所以（a-2）2+（b-5）2=5.⑤

以上兩式聯(lián)立可解得a=5，b=1.

所以B′（5，1），kBB′=7.

又kBB′·kl=-1，

所以kl=-17.

所以l方程為y-5=-17（x-2）.

即∠A的內(nèi)角平分線所在的直線方程為

x+7y-37=0.

解法3 設(shè)點P（x，y）為∠A的內(nèi)角平分線所在的直線上任意一點，則點P到邊AB和邊AC的距離相等.

又因為lAB：y-5=34（x-2），

即lAB：3x-4y+14=0.

因為lAc：y-5=-43（x-2），

即lAc：4x+3y-23=0.

所以3x-4y+1432+（-4）2=4x+3y-2342+32.

所以3x-4y+14=4x+3y-23，

或3x-4y+14=-（4x+3y-23）.

即x+7y-37=0，或7x-y-9=0.

因為直線7x-y-9=0為∠A的外角平分線所在的直線，故舍去.

所以∠A的內(nèi)角平分線所在的直線方程為

x+7y-37=0.

解法4因為kAB=34，kAc=-43，

設(shè)∠A的內(nèi)角平分線所在的直線的斜率為k，則用到角公式得

34-k1+k·34=k-（-43）1+（-43）·k，

解得k=-17或k=7（舍去）.

所以∠A的內(nèi)角平分線所在的直線方程為

x+7y-37=0.

解法5 因為kAB=34，kAc=-43，

所以A=π2.

所以A2=π4，此題中A2剛好為一特殊角.

下設(shè)∠A的內(nèi)角平分線所在的直線的斜率為k，則用到角公式得：

tanπ4=k-（-43）1+k·（-43），

解得k=-17.

所以∠A的內(nèi)角平分線所在的直線方程為

x+7y-37=0.

解法6若lAB：A1x+B1y+C1=0，

lAc：A2x+B2y+C2=0，

則∠A的內(nèi)角平分線和其外角平分線所在的直線方程各為以下之一：

（A1x+B1y+C1）-λ（A2x+B2y+C2）=0，

或（A1x+B1y+C1）+λ（A2x+B2y+C2）=0，

其中λ=A21+B21A22+B22.

該結(jié)論可通過點線距相等來證明.

結(jié)合本題題意，因為

lAB：3x-4y+14=0，

lAc：4x+3y-23=0，

所以∠A的內(nèi)角平分線和其外角平分線所在的直線方程各為以下之一：

（3x-4y+14）-λ（4x+3y-23）=0，或

（3x-4y+14）+λ（4x+3y-23）=0，

其中λ=A21+B21A22+B22=1.

所以整理，得

x+7y-37=0，或

7x-y-9=0（舍去）.

所以∠A的內(nèi)角平分線所在的直線方程為

x+7y-37=0.

解法7 因為

ABAB+ACAC

=（4，3）5+（6，-8）10=（75，-15）

=75（1，-17），

結(jié)合直線的方向向量a=（1，k）可得到∠A的內(nèi)角平分線所在的直線斜率為-17.

所以∠A的內(nèi)角平分線所在的直線方程為

x+7y-37=0.

解法8由題意，AB=5，AC=10.

設(shè)∠A的內(nèi)角平分線與邊BC的交點為D，

則ABAC=BDDC.

所以BD=13BC

=13（2，-11）

=（23，-113）.

所以D（203，133）.

又A（2，5），

所以kAD=-17.

直線AD的方程為x+7y-37=0.

即∠A的內(nèi)角平分線所在的直線方程為

x+7y-37=0.

解法9設(shè)點P（x，y）為∠A的內(nèi)角平分線所在的直線上任意一點，則

AP·ABAP·AC=ABAC=12.

又AP=（x-2，y-5），

AB=（4，3），

AC=（6，-8），

所以4（x-2）+3（y-5）6（x-2）-8（y-5）=12.

化簡，得x+7y-37=0.

所以∠A的內(nèi)角平分線所在的直線方程為

x+7y-37=0.

解法10設(shè)點P（x，y）為∠A的內(nèi)角平分線所在的直線上任意一點，則AP在AB上的投影與AP在AC上的投影相等.

所以AP·ABAB=AP·ACAC.

又AP=（x-2，y-5），

AB=（4，3），AC=（6，-8），

所以4（x-2）+3（y-5）5=6（x-2）-8（y-5）10.

化簡，得x+7y-37=0.

所以∠A的內(nèi)角平分線所在的直線方程為

x+7y-37=0.

一題多解，能提升學(xué)生的解題能力，達到事半功倍的效果，這也是培養(yǎng)、發(fā)展其核心素養(yǎng)的重要路經(jīng).通過對以上10種解法的探析比較，可以鞏固學(xué)生所學(xué)知識，擴展數(shù)學(xué)思維，開拓數(shù)學(xué)視野，最終達到提升其自身數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.

參考文獻：

[1] 龐啟佳，肖剛.一道數(shù)學(xué)競賽試題的多種解法[J].數(shù)理化解題研究，2021（22）：60-62.

[2] 姚舜予.探究角平分線所成的直線方程求解策略[J].數(shù)理化解題研究，2019（07）：33-34.

[責(zé)任編輯：李璟]