高中數(shù)學(xué)解題中向量法的運(yùn)用

摘要：向量是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)也是解答相關(guān)數(shù)學(xué)習(xí)題的重要工具.本文結(jié)合具體實(shí)例，探討向量法在三角函數(shù)、不等式、平面幾何、立體幾何、直線與圓等解題中的運(yùn)用.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);解題;向量法;運(yùn)用

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）07-0036-03

收稿日期：2021-12-05

作者簡(jiǎn)介：陳蘇平（1986.9-），男，江蘇省溧水人，中學(xué)一級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

運(yùn)用向量法解答高中數(shù)學(xué)習(xí)題的難點(diǎn)在于如何根據(jù)已知條件構(gòu)建合理的向量，因此教學(xué)中應(yīng)注重給予學(xué)生運(yùn)用向量法解題的引導(dǎo)，而后要求學(xué)生靈活運(yùn)用向量的幾何及其坐標(biāo)運(yùn)算知識(shí)順利地求解相關(guān)習(xí)題，使學(xué)生親身體會(huì)用向量法解題的簡(jiǎn)便之處.

1 向量法用于解答三角函數(shù)習(xí)題

例1已知sinα+sinβ=22，則cosα+cosβ的取值范圍為（）.

A.[-72，72]B.[-142，142]

C.[-152，152]D.[-172，172]

解析由題意可設(shè)m=（cosα，sinα），n=（cosβ，sinβ），則m+n=（cosα+cosβ，sinα+sinβ）.

又因?yàn)閟inα+sinβ=22，

所以m+n=（cosα+cosβ，22）.

又因?yàn)?≤|m+n|≤|m|+|n|，

即0≤（cosα+cosβ）2+12≤2.

因此，cosα+cosβ∈[-142，142]，故選B.

點(diǎn)評(píng)應(yīng)用向量法解答三角函數(shù)習(xí)題時(shí)，既要注重利用三角函數(shù)的相關(guān)公式以及一些隱含條件，又要根據(jù)已知條件運(yùn)用向量構(gòu)建不等關(guān)系.

2 向量法用于解答不等式習(xí)題

例2已知a+b+c=1，則3a+1+3b+1+3c+1的最大值為（）.

A.32B.52C.92D.182

解析根據(jù)題意設(shè)m=（3a+1，3b+1，3c+1），n=（1，1，1），則|m|2=（3a+1）+（3b+1）+（3c+1）=6.

又因?yàn)閨m|2≥（m·n）|n|2，

故（3a+1+3b+1+3c+1）2≤18.

因此，0<3a+1+3b+1+3c+1≤32，故選A.點(diǎn)評(píng)運(yùn)用向量法求解不等式習(xí)題具有一定的技巧性，可根據(jù)解題經(jīng)驗(yàn)以及已知條件構(gòu)建相關(guān)向量，而后運(yùn)用向量與其模之間的關(guān)系進(jìn)行求解.

3 向量法用于解答平面幾何習(xí)題

例3已知ABCD為直角梯形，AB和CD是梯形的兩個(gè)底，其中∠ABC為直角，且滿足BC=CD=12AB，則∠CAD的余弦值為.

解析建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系：

將AB的長(zhǎng)度看作為2，則A（2，0），C（0，1），D（1，1）.

則AC=（-2，1），AD=（-1，1）.

則|AC|=5，|AD|=（-1）2+12=2，

AC·AD=3.

因?yàn)锳C·AD=|AC|·|AD|cos∠CAD=10·cos∠CAD=3，

所以cos∠CAD=31010.

點(diǎn)評(píng)運(yùn)用向量法求解幾何問(wèn)題時(shí)，通常構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算簡(jiǎn)化解題步驟，提高解題效率.

4 向量法用于解答立體幾何習(xí)題

例4如圖2，已知三棱柱ABC-A1B1C1中∠BAC為直角，AB=AC=1，BB1=2，∠ABB1=60°.若B1C=2，求二面角B1-CC1-A的余弦值.

解析因?yàn)锽1C=2，AB1=3，AC=1，由勾股定理逆定理可知△AB1C為直角三角形.

所以B1A⊥AC.

建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系：由已知條件，不難得出AC=（0，1，0），AC1=（-1，1，3），B1C=（0，1，-3），CC1=（1，0，-3）.

設(shè)n1=（x1，y1，z1）為平面ACC1的法向量，

則由AC·n1=0，AC1·n1=0，

可得y1=0，x1=3z1.

設(shè)z1=1，則n1=（3，0，1）.

設(shè)n2=（x2，y2，z2）為平面B1CC1的法向量，

則由B1C·n2=0，CC1·n2=0，

可得y2=3z2，x2=3z2.

設(shè)z2=1，則n2=（3，3，1）.

設(shè)二面角B1-CC1-A的平面角為θ，則

cosθ=n1·n2|n1|·|n2|=277.

即二面角B1-CC1-A的余弦值為277.

點(diǎn)評(píng)解題的關(guān)鍵在于構(gòu)建正確的空間直角坐標(biāo)系，找到線、面相關(guān)的向量以及法向量，而后通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算求解.

5 向量法用于解答直線與圓習(xí)題

例5已知A，B為圓x2+y2=5上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足|AB|=15，點(diǎn)M在直線2x+y=10上運(yùn)動(dòng)，則|MA+MB|的最小值是.

解析因?yàn)閳A的方程為x2+y2=5，所以圓的半徑r=5.B9ECAC5A-1889-4DFA-AF0A-BDF4BBE34E43

又因?yàn)锳，B為圓x2+y2=5上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足|AB|=15，所以圓心O到線段AB的距離

d=r2-（152）2=52.

取AB的中點(diǎn)為點(diǎn)N，則點(diǎn)N在以原點(diǎn)為圓心，半徑r1=52的圓上.

即其軌跡方程為x2+y2=54.

因?yàn)镸A+MB=MN+NA+MN+NB，N為AB的中點(diǎn)，

所以NA=-NB.

所以MA+MB=2MN.

則圓心到直線2x+y=10的距離

d1=25.

則點(diǎn)N到點(diǎn)M的最短距離|MN|=d1-r1=25-52=352.

故|MA+MB|的最小值是2|MN|=35.

點(diǎn)評(píng)向量法與幾何知識(shí)有著密切的聯(lián)系，因此，解題時(shí)應(yīng)注重熟練運(yùn)用向量知識(shí)并借助數(shù)形結(jié)合的思想，更加直觀地尋找相關(guān)點(diǎn)、線段之間的關(guān)系，達(dá)到化難為易，迅速解題的目的.

6 向量法用于解答數(shù)列習(xí)題例6已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1=a2=1，平面內(nèi)三個(gè)不共線的向量OA，OB，OC，滿足OC=（an-1+an+1）OA+（1-an）OB，n≥2，n∈N*，若點(diǎn)A，B，C在同一直線上，則S2021的值為.

解析設(shè)AC=λAB，所以AO+OC=λAO+λOB.所以O(shè)C=（1-λ）OA+λOB.

所以an-1+an+1=1-λ，1-an=λ.

所以an-1+an+1+1-an=1.

所以an-1+an+1=an，an+an+2=an+1，an-1+an+1+an+2=an+1.

則an-1+an+2=0，an+an+3=0，an+3+an+6=0.

所以an=an+6.

數(shù)列{an}是以6為周期的數(shù)列，因?yàn)閍1=a2=1，所以a3=a2-a1=0，a4=a3-a2=-1，a5=a4-a3=-1，a6=a5-a4=0.

所以a1+a2+a3+a4+a5+a6=0.

因?yàn)?021=6×336+5，

所以S2021=S5=0.

點(diǎn)評(píng)向量常作為工具解答高中數(shù)學(xué)相關(guān)習(xí)題，尤其當(dāng)遇到向量與數(shù)列相結(jié)合的習(xí)題時(shí)，應(yīng)注重積極聯(lián)系所學(xué)的向量結(jié)論迅速地找到解題切入點(diǎn).

7 向量法用于解答圓錐曲線習(xí)題

例7已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的離心率為2，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M（-a，0），N（0，b），點(diǎn)P為線段M，N上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PF1·PF2取得最小值和最大值時(shí)，△PF1F2的面積分別為S1，S2，則S2S1的值為.

解析由雙曲線離心率定義可知，

ca=1+（ba）2=2.

所以ba=3.

所以直線MN的方程為y=3（x+a）.

設(shè)點(diǎn)P（t，3（t+a）），t∈[-a，0]，易得到F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）.

所以PF1=（-c-t，-3（t+a）），PF2=（c-t，-3（t+a））.

所以PF1·PF2=4（t+34a）2-134a2.

因?yàn)閠∈[-a，0]，所以當(dāng)t=-34a時(shí)，PF1·PF2取得最小值，此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為ymin=3a4;

當(dāng)t=0時(shí)，PF1·PF2取得最大值，此時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為ymax=3a.

因?yàn)镾△PF1F2=12·|F1F2|·yP，

所以S2S1=ymaxymin=4.

點(diǎn)評(píng)運(yùn)用向量法解答圓錐曲線習(xí)題并注重靈活運(yùn)用向量的相關(guān)運(yùn)算，同時(shí)還應(yīng)注重對(duì)要求解的結(jié)果進(jìn)行適當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化，運(yùn)用換元法降低計(jì)算復(fù)雜度，確保問(wèn)題得以順利突破.

參考文獻(xiàn)：

[1]?徐波.探討向量法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].試題與研究，2020（06）：24.

[2] 官良燕.例析向量法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)理化（學(xué)習(xí)研究），2019（06）：13.

[3] 吳麗端.向量法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用策略[J].數(shù)理化解題研究，2021（22）：49-50.

[責(zé)任編輯：李璟]B9ECAC5A-1889-4DFA-AF0A-BDF4BBE34E43