例談用換元法解題

摘要：本文總結根式換元、均值換元、整體換元、倒數(shù)換元等十種換元技巧，并舉例示范應用技巧，意在提高學生的數(shù)學素養(yǎng).

關鍵詞：根式換元;增量換元;均值換元;整體換元;倒數(shù)換元

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）07-0013-04

收稿日期：2021-12-05

作者簡介：劉大鵬（1971.10-），男，遼寧省黑山人，本科，中學高級教師，從事高中數(shù)學教學研究.[FQ）]

1 根式換元

例1（自編題）求函數(shù)y=x+31-2x的值域.

解析令t=1-2x≥0，則x=1-t22≤12.

所以y=-t22+3t+12

=-12t-32+5≤5.

所以值域為（-

SymboleB@

，5].

小結對形如y=ax+b+kcx+d（a，b，k，c，d為常數(shù)，k≠0，c≠0）的值域問題，常令t=cx+d轉化為有條件的二次函數(shù)最值問題.

2 增量換元

例2（自編題）設x≥0，y≥0，3x+y≤6，x+3y≤6，求u=2x+3y的最大值.

解析設t=6-3x+y，s=6-x+3y，

則t≥0，s≥0.

將x，y視為主元，解方程組得

x=1812-3t+s，

y=1812-3s+t.

故u=2812-3t+s+3812-3s+t

=152-38t-s8≤152.

所以umax=152.

評注用增量換元法解決線性規(guī)劃問題新穎、簡易，不需要繁瑣的作圖過程.

3 均值換元

例3（自編題）已知：fx=4x+1-13，

gx=4x+1-33，fx0+gx0=72，求：fx0·gx0的值.

解析設u=4x+1-1+4x+1-32=4x+1-2，

記u0=4x0+1-2，

所以u0u20+3=39+3.

所以u0=3，4x0+1=5.

所以fx0=64，gx0=8，fx0gx0=512.

4 整體換元

例4已知：x>0，y>0，求二元函數(shù)Fx，y=2x2+3y2+5x+y的最小值.

解析令2x2+3y2+5x+y=t，

所以2x2-tx+3y2-ty+5=0.

即2x-t42+3y-t62=t28+t212-5≥0.

所以t≥26，F(xiàn)x，ymin=26.

5 倒數(shù)換元

例5（數(shù)學通訊2010年問題7）設a，b，c為正數(shù)，且1a+1b+1c≥abc.

求證：a2+b2+c2≥427abc.

證明令x=1a，y=1b，z=1c，已知化為

x，y，z>0，xyzx+y+z≥1.

結論化為yzx+xzy+xyz≥427.

因為1≤xyz（x+y+z）≤x+y+z433，

所以x+y+z≥427.

故yzx+xzy+xyz

=x2zy+yz+y2zx+xz+z2yx+xy

≥x+y+z≥427.

6 分母換元

例6（2005年湖南省預賽試題）若正數(shù)a，b，c滿足ab+c=ba+c-ca+b，求證：ba+c≥17-14.

證明令a+b=x，b+c=y，c+a=z，

則a=x+z-y2，b=x+y-z2，c=y+z-x2.

所以ba+c=x+y-z2z

=x+z-y2y+y+z-x2x

=12xy+yx+zy+zx-1

≥2zx+y.

令x+y2z=t，t-1t-12≥0，

所以t≥17+14.

所以ba+c=t-12≥17-14.

7 差量換元

例7已知函數(shù)fx=xex，fx1=fx2，x1≠x2，求證：x1+x2>2.

證明f ′x=1-xex，fx在-

SymboleB@

，1上單調遞增，在1，+

SymboleB@

上單調遞減，limx→+

SymboleB@

fx=limx→+

SymboleB@

1ex=0.

不妨設0

令t=x2-x1>0，

因為

x1ex1=x2ex2，x2x1=ex2-x1=et，

所以x2=x1et，x1et-1=t.

所以x1=tet-1，x2=tetet-1.

令Kt=tet+1et-1，

則K′t=et+1+tetet-1et-12-tet+1etet-128C7ACC56-512C-4D24-9224-877FA81BD53B

=e2t-2tet-1et-12.

令Mt=e2t-2tet-1，

則M′t=2e2t-2et-2tet=2et[et-t+1]≥0.

所以Mt>M0=0.

所以K′t>0.

所以x1+x2=Kt>K0=limt→0et+1+tetet=2.

8 和差換元

例8（1993年全國聯(lián)賽題）實數(shù)x，y且4x2-5xy+4y2=5，設S=x2+y2，則1Smax+1Smin=.

解法1令x=m+n，y=m-n，

代入已知，得3m2+13n2=5.

令m=53cosθ，n=513sinθ，

所以S=2m2+n2=1013+10039cos2θ.

所以1013≤S≤103，1Smax+1Smin=85.

9 比值換元

例8解法2當x≠0時，令k=yx，則

S=5x2+y24x2-5xy+4y2=5+5k24-5k+4k2，

4S-5k2-5Sk+4S-5=0.

當4S-5=0時， y=0或x=0;

當4S-5≠0時，

Δ=25S2-44S-52=13S-1010-3S≥0，

所以1013≤S≤103，且S≠54.

綜上，1013≤S≤103，1Smax+1Smin=85.

例9（數(shù)學通報問題1752）a，b，c>0，求證：a2+3b2a+b2+3c2b+c2+3a2c≥6.

證明設x=ba，y=cb，z=ac，則xyz=1.

左=1+3x2+1+3y2+1+3z2

=xyz+x+x+x+yxz+y+y+y

+zxy+z+z+z

≥x44x2+y44y2+z44z2

=2x34+y34+z34

≥63xyz34=6.

比值換元還常用于解決極值點偏移問題.

例10（自編題）已知函數(shù)fx=lnxx，fx1=fx2且x1≠x2，求證：x1+x2>2e.

證明f ′x=1-lnxx2，fx在0，e上單調遞增，在e，+

SymboleB@

上單調遞減，limx→+

SymboleB@

fx=limx→+

SymboleB@

1x=0.

不妨設11，

則lnx1x1=lnx2x2.

即lnx2lnx1=x2x1=t.

所以lnt+lnx1lnx1=t，t-1lnx1=lnt.

所以x1=elntt-1，x2=telntt-1.

令Kt=t+1elntt-1，

則K′t=elntt-1+t+1elntt-1t-1t-lntt-12

=elntt-1t（t2-2t+1）+t2-1-t2+tlnttt-12

=elntt-1t3-t2+t-1-t2+tlnttt-12.

令Mt=t3-t2+t-1-t2+tlnt，

則M′t=3t2-2t+1-2t+1lnt-t-1

=3t（t-1）-2t+1lnt

≥3tt-1-2t+1t-1

=t-12>0，

Mt>M1=0，

所以K′t>0.

所以x1+x2=Kt>K1=limt→1t+1e1t=2e.

10 三角換元法

例8解法3令x=Scosθ，y=Ssinθ，

代入已知，得S=54-52sin2θ.

所以1013≤S≤103，1Smax+1S

min=85.

方法小結對條件式x-a2+y-b2=R2，可設

x=a+Rcosθ，y=b+Rsinθ;

對條件式x2a2+y2b2=1，可設x=acosθ，y=bsinθ;

對條件式x2a2-y2b2=1，可設x=asecθ，y=btanθ.

例11已知數(shù)列an中，a1=1，an+1=3an-1an+3，求a2009.

文[5]解答有誤，本文加以修正.

解析

由an+1=3an-1an+3，得

an+1=an-331+33an.

令an=tanθn，θ1=π4，

則tanθn+1=tanθn-tanπ61+tanπ6tanθn

=tanθn-π6

=tanθn+5π6.

所以tanθn+6=tanθn+5π=tanθn.

所以an+6=an，2009=6×334+5.

所以a2009=a5=tanθ5=tanθ1+4×5π6

=tanπ4+10π3=tan7π12=-2+3.

評注本例可用不動點法先求數(shù)列通項公式，再求a2009.

例12已知a，b，c∈R+，且ab+bc+ca=1，求證：1a2+1+1b2+1+1c2+1≤94.

證明設a=tanα，b=tanβ，c=tanγ，且α+β+γ=π2，α，β，γ∈0，π2.

左=cos2α+cos2β+cos2γ

=1+cos2α2+1+cos2β2+1+cos2γ2

=32+122cosα+βcosα-β+cos2γ

≤32+122cosα+β+cos2γ

=-sin2γ+sinγ+2

=-sinγ-122+94

≤94.

參考文獻：

[1] 吳祥成.應用均值不等式解競賽題[J].數(shù)學通訊，2009（Z2）：85-89.

[2] 王蓬勃.談談導數(shù)壓軸題中的雙變量問題處理方法[J].中學數(shù)學，2021（13）：52-53.

[3] 王云祿，陸權一.中學數(shù)學中幾種常見的代換法[J].高中數(shù)學教與學，2004（03）：20-21.

[4] 劉康寧，黨效文.利用三角代換法解競賽題[J].數(shù)學通訊，2007（06）：40-42.

[5] 范端喜，朱華偉.三角代換在競賽中的應用[J].數(shù)學通訊，2009（Z4）：77-80.

[6] 安振平.在閱讀與反思的過程中學解題[J].數(shù)學通訊，2010（Z2）：9-11.

[責任編輯：李璟]8C7ACC56-512C-4D24-9224-877FA81BD53B