解題應(yīng)重視自然而至簡(jiǎn)的通解通法

摘要：2020年高考江蘇卷第12題的第（2）問(wèn)本質(zhì)是一道二元函數(shù)最值問(wèn)題，文章從四個(gè)不同角度對(duì)此思考，給出九種不同解法，并進(jìn)行合理變式，歸納二元方程條件下的二次函數(shù)的最值解法策略.

關(guān)鍵詞：二元函數(shù)最值;高考評(píng)價(jià)體系;變式推廣;基本不等式法

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）07-0075-06

收稿日期：2021-12-05

作者簡(jiǎn)介：劉海濤（1988-），男，安徽省滁州人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

1 試題呈現(xiàn)與分析

題目已知5x2y2+y4=1（x，y∈R），則x2+y2的最小值是.

分析該題形式上以二元方程為背景命題，主要考查分析、解決二元問(wèn)題的能力，強(qiáng)化對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、消元與不等式求最值等數(shù)學(xué)思想方法的考查，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).試題結(jié)構(gòu)雖簡(jiǎn)單、明了，但內(nèi)涵豐富，本文嘗試對(duì)該題從不同的角度予以思考，給出不同的解法.

2 解法探究

角度1整體處理，借助不等式求最值.

解法1（配湊+基本不等式法）由5x2y2+y4=1，得y2（5x2+y2）=1.

則x2+y2= 155x2+y2+45y2

≥2155x2+y2·45y2=45，

當(dāng)且僅當(dāng)x2+15y2=45y2，

即x2=310，y2=12時(shí)等號(hào)成立.

所以x2+y2的最小值是45.

評(píng)注通過(guò)代數(shù)化簡(jiǎn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y2與5x2+y2的問(wèn)題，條件式為兩者積為定值，目標(biāo)式是與兩者有關(guān)的和，自然想到借助基本不等式求解.

解法2（待定系數(shù)+基本不等式法）

由（x2+y2）2=x4+2x2y2+y4，

設(shè)（x2+y2）2=x4+ty4+2x2y2+（1-t）y4，

則（x2+y2）2≥（2 t+2）x2y2+（1-t）y4.

令2 t+21-t=5，則t=925.

于是（x2+y2）2≥1625（5x2y2+y4）=1625.

即x2+y2≥45，當(dāng)且僅當(dāng)x4=925y4等號(hào)成立.

故當(dāng)x2=310且y2=12時(shí)，x2+y2取最小值為45.

評(píng)注在得到（x2+y2）2=x4+2x2y2+y4后，聯(lián)想利用不等式將其放縮為5x2y2+y4的倍數(shù)，但是這里對(duì)系數(shù)的配湊不太容易，于是考慮待定系數(shù)法.利用待定系數(shù)法配湊，再借助不等式求最值的方法，往往可以降低配湊系數(shù)帶來(lái)的思維難度，讀者在日常的解題中可以嘗試該法的使用.

角度2化二元為一元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)最值問(wèn)題.

解法3（消元+基本不等式法）

由5x2y2+y4=1，得x2=15y2-y25.

則x2+y2=15y2+4y25≥45，

當(dāng)且僅當(dāng)15y2=4y25，

即y2=12且x2=310時(shí)等號(hào)成立.

所以x2+y2的最小值是45.

評(píng)注化二元為一元是解決二元函數(shù)的最直接做法，通法是消去其中一個(gè)變量，得到關(guān)于另一變量的函數(shù)，接著利用不等式、對(duì)勾函數(shù)等求出最值.

解法4（三角換元+基本不等式法）令5x2y2=cos2θ，y4=sin2θ（0<θ<π），則x2=cos2θ5sinθ.

所以x2+y2=cos2θ5sinθ+sinθ

=1+4sin2θ5sinθ

=15sinθ+4sinθ5≥45，

當(dāng)且僅當(dāng)15sinθ=4sinθ5，即sinθ=12時(shí)等號(hào)成立.

故當(dāng)x2=310且y2=12時(shí)，x2+y2取最小值為45.

評(píng)注由條件式平方和為1的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想cos2θ+sin2θ=1，所以想到利用三角換元，將二元（x，y）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元（θ）問(wèn)題，根據(jù)目標(biāo)式特點(diǎn)選擇合適方式求最值.

解法5（三角換元+函數(shù)最值法）令x2+y2=r2，由5x2y2+y4=1知x，y至少有一個(gè)不為0.

設(shè)x=rcosθ，y=rsinθ，代入5x2y2+y4=1，整理，得

r4=15cos2θsin2θ+sin4θ.

則r2=15cos2θsin2θ+sin4θ

= 15（1-sin2θ）sin2θ+sin4θ

= 1-4sin2θ-582+2516，

當(dāng)sin2θ=58，即x2=310且y2=12時(shí)，x2+y2取最小值為45.

評(píng)注著眼于目標(biāo)式特征，由于x，y至少有一個(gè)不為0，故設(shè)x=rcosθ，y=rsinθ，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題，順利實(shí)現(xiàn)減元，利用一元二次函數(shù)知識(shí)即可求出最值.

解法6（齊次化+基本不等式法）

x2+y22=x2+y225x2y2+y4

=xy2+125xy2+1

=xy2+15+4525xy2+1

=15×xy2+152+85xy2+15+1625xy2+15

=15xy2+15+1625xy2+15+85

≥1625，

當(dāng)且僅當(dāng)xy2+15=1625xy2+15，

即xy2=35等號(hào)成立.

所以當(dāng)x2=310且y2=12時(shí)，x2+y2取最小值為45.

評(píng)注觀察發(fā)現(xiàn)目標(biāo)式x2+y2為二次齊次式，又條件式5x2y2+y4=1等號(hào)左邊為四次齊次式，所以想到將目標(biāo)式平方后構(gòu)造四次齊次分式，再利用比值xy代換，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元分式函數(shù)，最后利用基本不等式求出最值.

角度3著眼于目標(biāo)式，借助方程判別式.

解法7（判別式法）設(shè)x2+y2=t（t>0），則x2=t-y2.

代入5x2y2+y4=1，整理，得

關(guān)于y2的一元二次方程4y4-5ty2+1=0.

方程有解的充要條件為Δ=（-5t）2-16≥0，

即t≥45，當(dāng)且僅當(dāng)y2=5t8=5（x2+y2）8，

即y2=53x2時(shí)等號(hào)成立，故x2+y2的最小值為45.

評(píng)注將目標(biāo)式設(shè)為參數(shù)t，利用t將條件式轉(zhuǎn)化為關(guān)于y2的一元二次方程，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有解問(wèn)題，借助判別式解題.

角度4回顧函數(shù)本質(zhì)，多元函數(shù)找對(duì)策.

解法8（函數(shù)偏導(dǎo)法）設(shè)x2+y2=t，5x2y2+y4=1，

對(duì)x求導(dǎo)，得

2x+2y·y′=0，10xy2+10x2y·y′+4y3·y′=0，

解得y2=53x2.

代入5x2y2+y4=1，得x2=310，y2=12.

經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)x2=310且y2=12時(shí)，x2+y2取最小值為45.

解法9（拉格朗日乘數(shù)法）構(gòu)造函數(shù)f（x，y，λ）=x2+y2+λ（5x2y2+y4-1），令f（x，y，λ）對(duì)x，y，λ的一階偏導(dǎo)數(shù)為零，則

f ′x（x，y，λ）=2x+10λxy2=0，f ′y（x，y，λ）=2y+10λx2y+4λy3=0，f ′λ（x，y，λ）=5x2y2+y4-1=0，

解得x2=310，y2=12，λ=-25，

經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)x2=310，y2=12，λ=-25時(shí)，x2+y2取到最小值45.

評(píng)注函數(shù)偏導(dǎo)法與拉格朗日乘數(shù)法都是高等數(shù)學(xué)背景下的解法，提供給讀者參考.

3 變式推廣，總結(jié)通解通法

若令x2=u，y2=v，則問(wèn)題等價(jià)于：已知5uv+v2=1，求u+v的最小值.我們不難發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題的實(shí)質(zhì)為以二元二次方程為背景的二元函數(shù)最值問(wèn)題，類似問(wèn)題頻繁出現(xiàn)在高考和各類模擬考中，筆者經(jīng)過(guò)整理，將此類問(wèn)題根據(jù)條件式或目標(biāo)式特征進(jìn)行分類，并據(jù)此特征總結(jié)通解通法.

3.1 條件式為（ax+b）（cy+d）=m的二元最值問(wèn)題

例1若正實(shí)數(shù)x，y滿足xy-2x-y=6，則xy的最小值為.

解析由xy-2x-y=6，得（x-1）（y-2）=8.

設(shè)x-1=t，則y-2=8t.

解得x=t+1，y=8t+2.

所以xy=（t+1）8t+2≥（22+2）2=18，當(dāng)且僅當(dāng)2t=8t，即t=2時(shí)，xy取到最小值18.

例2設(shè)x，y∈R，且滿足4x+y+2xy+1=0，則x2+y2+x+4y的最小值為.

解析由4x+y+2xy+1=0，

得（2x+1）（y+2）=1.

設(shè)2x+1=t，則y+2=1t，

解得x=t-12，y=1t-2.

所以x2+y2+x+4y

=t-122+1t-22+t-12+41t-2

=t24+1t2-174≥-134，

當(dāng)且僅當(dāng)t24=1t2，

即t=±2時(shí)，x2+y2+x+4y取到最小值-134.

方法歸納一般地，若已知實(shí)數(shù)x，y滿足（ax+b）（cy+d）=m（a，b，c，d，m均為非零實(shí)數(shù)），求二元函數(shù)f（x，y）的最值，通法步驟為：

（1）設(shè)ax+b=t，cy+d=mt，解得x=t-ba，y=1cmt-d;

（2）將（1）中所得結(jié)果代入二元函數(shù)f（x，y），得到關(guān)于t的一元函數(shù);

（3）利用函數(shù)或不等式等方法解（2）中所得關(guān)于t的函數(shù)的最值.

3.2 條件式為（ax+by）（cx+dy）=m的二元最值問(wèn)題

例3已知實(shí)數(shù)x，y滿足5x2-y2-4xy=5，則2x2+y2的最小值等于（）.

A.53B.56C.59D.2

解析由5x2-y2-4xy=5，得

（5x+y）（x-y）=5.

設(shè)5x+y=t，則x-y=5t.

解得x=16t+5t，y=16t-25t.

所以2x2+y2=118t+5t2+136t-25t2

=112t2+225t2-10≥53，

當(dāng)且僅當(dāng)t2=225t2，

即t=±15時(shí)，2x2+y2取到最小值53.

例4 已知正實(shí)數(shù)x，y滿足2x2+2y2+5xy=1，則xy+x+y的最大值為.

解析由2x2+2y2+5xy=1，

得（2x+y）（x+2y）=1.

設(shè)2x+y=t（t>0），則x+2y=1t.

解得x=132t-1t，y=13-t+2t.

所以xy+x+y

=19-2t2-2t2+5+132t-1t+13-t+2t

=-29t+1t2+13t+1t+1.

設(shè)λ=t+1t（λ≥2），

則

xy+x+y=-29λ-342+98

在λ∈2，+

SymboleB@

上單調(diào)遞減.

所以當(dāng)且僅當(dāng)λ=2，即t=1時(shí)，xy+x+y取到最大值為79.

方法歸納一般地，若已知實(shí)數(shù)x，y滿足（ax+by）（cx+dy）=m（a，b，c，d，m均為非零實(shí)數(shù)，且ad≠bc），求二元函數(shù)f（x，y）的最值，通法步驟為：

（1）設(shè)ax+by=t，cx+dy=mt，解得x=1ad-bc·dt-mbt，y=1ad-bc-ct+mat;

（2）將（1）中所得結(jié)果代入二元函數(shù)f（x，y），得到關(guān)于t的一元函數(shù);

（3）利用函數(shù)或不等式等方法解（2）中所得關(guān)于t的函數(shù)的最值.

3.3 條件式為（ax+by）2+（cx+dy）2=m的二元最值問(wèn)題

例5若正數(shù)x，y滿足x2+y2+xy=9，則x+2y的最大值為.

解析由x2+y2+xy=9，得

x+y22+32y2=9.

設(shè)x+y2=3cosθ，3y2=3sinθ，則

x=3cosθ-3sinθ，y=23sinθ.

則x+2y=3cosθ+33sinθ=6sinθ+π6≤6，

當(dāng)θ=π3+2kπ（k∈Z）時(shí)x+2y取到最大值6.

例6 已知x，y∈R，且滿足x2+4y2+2xy=6，求z=x2+4y2的最值.

解析由x2+4y2+2xy=6，得

x+y2+3y2=6.

設(shè)x+y=6cosθ，3y=6sinθ，

則x=6cosθ-2sinθ，y=2sinθ.

則z=x2+4y2=6cosθ-2sinθ2+2sinθ2

= 8-4sin2θ+π6，

當(dāng)θ=π6+kπ（k∈Z）時(shí)，z取到最小值4，

當(dāng)θ=2π3+kπ（k∈Z）時(shí)，z取到最大值12.

方法歸納一般地，若已知實(shí)數(shù)x，y滿足（ax+by）2+（cx+dy）2=m（a，b，c，d均為非零實(shí)數(shù)，m為正實(shí)數(shù)，且ad≠bc），求二元函數(shù)f（x，y）的最值，通法步驟為：

（1）設(shè)ax+by=mcosθ，cx+dy=msinθ，

解得x=mad-bcdcosθ-bsinθ，

y=mad-bc·-ccosθ+asinθ;

（2）將（1）中所得結(jié)果代入二元函數(shù)f（x，y），得到關(guān)于θ的一元函數(shù);

（3）利用三角函數(shù)或不等式等知識(shí)解（2）中所得關(guān)于θ的函數(shù)的最值.

3.4 目標(biāo)式為ax+by的二元最值問(wèn)題

例7已知正數(shù)x，y滿足x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是（）.

A.3B.4C.92 D.112

解析設(shè)x+2y=t（t>0），則x=t-2y.

代入x+2y+2xy=8，整理，得

關(guān)于y的方程4y2-2ty+8-t=0（y>0）.

方程有解的充要條件為

Δ=（-2t）2-16（8-t）≥0，

解得t≥4，

當(dāng)且僅當(dāng)y=t4=x+2y4，

即x=2y時(shí)等號(hào)成立.

所以x+2y的最小值為4.

方法歸納一般地，若已知二元二次方程

f（x，y）=0，求二元一次函數(shù)ax+by（a，b均為非零實(shí)數(shù)）的最值，通法步驟為：

（1）令ax+by=t，解得x=t-bya;

（2）將（1）中所得結(jié)果代入二元二次方程f（x，y）=0，得到關(guān)于y的一元二次方程;

（3）利用判別式解（2）中所得關(guān)于y的方程有解對(duì)應(yīng)的t的取值范圍，驗(yàn)證等號(hào)成立取得所求最值.

3.5 目標(biāo)式為ax2+by2的二元最值問(wèn)題

例8若實(shí)數(shù)x，y滿足x2+2xy-y2=7，則x2+y2的最小值為.

解析設(shè)x2+y2=r2，易知x，y不同時(shí)為0，所以r≠0.

設(shè)x=rcosθ，y=rsinθ，代入x2+2xy-y2=7，整理，得2r2sin2θ+π4=7.

由正弦函數(shù)的有界性有2r2≥7.

即r2≥722.

故x2+y2的最小值為722.

方法歸納一般地，若已知二元方程f（x，y）=0，求二元二次函數(shù)ax2+by2（a，b>0）的最值，通法步驟為：

（1）設(shè)ax2+by2=r2，則x=racosθ，x=rbsinθ;

（2）將（1）中所得結(jié)果代入二元方程f（x，y）=0，得到關(guān)于θ的方程;

（3）利用三角函數(shù)的有界性等知識(shí)解（2）中所得關(guān)于θ的方程，得到關(guān)于r2的不等式，得到r2的取值范圍，即得ax2+by2的最值.

4 教學(xué)啟示

數(shù)學(xué)解題的目的是什么？是求出問(wèn)題的答案嗎？是，但不全是！解題的目的是鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、落實(shí)數(shù)學(xué)基本技能、感悟數(shù)學(xué)思想方法、提升數(shù)學(xué)思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，所以對(duì)一道典型問(wèn)題，尤其是高考題的多角度分析與解答是非常有必要的.用多種方法解答同一道數(shù)學(xué)題，不僅能更牢固地掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，還能更靈活地運(yùn)用所學(xué)知識(shí).通過(guò)一題多解，分析、比較各種解法，可以找到最佳的解題途徑，從而發(fā)散學(xué)生的思維能力，對(duì)鞏固知識(shí)和解題能力大有裨益，是提高數(shù)學(xué)成績(jī)的一條捷徑.

當(dāng)然并非解法越多越好，在尋求多解的過(guò)程中要突出通性、通法的輻射、遷移的作用，要追求水到渠成、自然而然的解題方法.正如數(shù)學(xué)家加德納說(shuō)：“數(shù)學(xué)的真諦在于不斷尋求越來(lái)越簡(jiǎn)單的方法證明定理和數(shù)學(xué)問(wèn)題”.筆者認(rèn)為這里所謂的“簡(jiǎn)單”，不是指特殊的技巧，或書(shū)寫(xiě)過(guò)程的簡(jiǎn)潔，而是解答一道問(wèn)題的思維過(guò)程是自然的、簡(jiǎn)單的，運(yùn)用的知識(shí)也是基礎(chǔ)的，正所謂“大道至簡(jiǎn)”，因此文章中將近些年一些高考和模擬考中的關(guān)于二元最值題，按照條件式或者目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分類，總結(jié)其通解通法，以求讓學(xué)生能“做一題，通一類”，真正實(shí)現(xiàn)“一題多解，多解歸一”.另外，筆者認(rèn)為在日常的教學(xué)中，教師還要指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合自身掌握程度和實(shí)際情況，選擇最佳的解題方法，不要一味追求某一種解法，要學(xué)會(huì)從不同解法中汲取不同的數(shù)學(xué)思想，提高自身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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[責(zé)任編輯：李璟]