直線的參數(shù)方程在解析幾何競賽題中的應(yīng)用

摘要：本文選取具有代表性的競賽試題為例，解析直線的參數(shù)方程在解析幾何中的應(yīng)用. 如果題目只涉及過定點線段長度的計算問題，直線的參數(shù)方程可以發(fā)揮其優(yōu)勢.

關(guān)鍵詞：直線的參數(shù)方程;解析幾何;競賽試題;線段長度

中圖分類號：G632文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2022）07-0109-03

收稿日期：2021-12-05

作者簡介：賀航飛（1982-），男，湖南省衡南人，中學(xué)高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項目：海南省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃立項課題“基于智慧課堂的理科資優(yōu)生培養(yǎng)校本課程體系構(gòu)建”基于智慧課堂的理科資優(yōu)生培養(yǎng)校本課程體系構(gòu)建（項目編號：QJY20191035）.[FQ）]

過點P0（x0，y0）且傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為x=x0+tcosαy=y0+tsinα（t為參數(shù)）. t的幾何意義是直線l上的點P（x，y）到點P0（x0，y0）的有向距離，

|PP0|=|t|. 當(dāng)點P在點P0上方時，t是正值;當(dāng)點P在點P0下方時，t是負值.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是直線l上的兩點，對應(yīng)的參數(shù)分別是t1，t2，則|AB|=|t1-t2|，AB的中點M對應(yīng)的參數(shù)為t1+t22，且

|P0M|=|x1+x22|.

如果P，A，B三點共線，則利用t的幾何意義可以方便計算形如|PA|·|PB|和1|PA|+1|PB|等結(jié)構(gòu). 下面以若干競賽試題為例，剖析直線的參數(shù)方程在解析幾何中的應(yīng)用.

例1（2018年河南預(yù)賽）設(shè)經(jīng)過定點M（a，0）的直線l與拋物線y2=4x相交于P，Q兩點，若1|PM|2+1|QM|2為常數(shù)，則a的值為.

解析設(shè)直線l的參數(shù)方程為x=a+tcosαy=tsinα（t為參數(shù)），與y2=4x聯(lián)立，得t2sin2α-4tcosα-4a=0.

點P，Q對應(yīng)的參數(shù)t1，t2是以上方程的兩根，則

t1+t2=4cosαsin2α，t1t2=-4asin2α.

1|PM|2+1|QM|2=1t21+1t22

=（t1+t2）2-2t1t2t21t22

=2cos2α+asin2α2a2

=（a-2）sin2α+22a2.

由于a為常數(shù)，上式取值要跟α無關(guān)，當(dāng)且僅當(dāng)a-2=0，即a=2.

評注像這種只涉及到長度計算的題型就能充分體現(xiàn)直線參數(shù)方程的優(yōu)越性，相對于傳統(tǒng)方法，計算量大大減小. 需要注意的是，相關(guān)點要在同一直線上.

例2（2018年江蘇初賽）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O的方程為x2+y2=4，過點P（0，1）的直線l與圓O交于點A，B，與x軸交于點Q，設(shè)QA=λPA，QB=μPB，求證：λ+μ為定值.

證明設(shè)直線l的參數(shù)方程為x=tcosαy=1+tsinα（t為參數(shù)），與x2+y2=4

聯(lián)立，得t2+2tsinα-3=0.

A，B對應(yīng)的參數(shù)t1，t2是以上方程的兩根，

則t1+t2=-2sinα，t1t2=-3.

點P對應(yīng)的參數(shù)tP=0，令y=0，

所以點Q對應(yīng)的參數(shù)tQ=-1sinα.

結(jié)合圖形知QA與PA同向，從而λ=|QA||PA|=|t1-tQ||t1-tP|.

又t1-tQ與t1-tP同號，

則λ=t1-tQt1-tP=1-tQt1.

同理，μ=1-tQt2.

從而λ+μ=2-tQ·t1+t2t1t2=2--1sinα·-2sinα-3=83為定值.

評注在直線的參數(shù)方程中，只要知道點的橫坐標(biāo)或者縱坐標(biāo)即可求得此點對應(yīng)的參數(shù). 由于t的幾何意義是有向距離，在計算相關(guān)長度時要帶有絕對值，再結(jié)合具體條件考查能否去掉絕對值.

例3（2016年吉林預(yù)賽）已知橢圓x28+y22=1的右頂點為C，A為第一象限的橢圓周上任意一點，點A關(guān)于原點的對稱點為B，過點A作x軸的垂線，與BC交于點D，比較|AC|2與|CD||CB|的大小，并給出證明.

解析|AC|2<|CD||CB|，下面給出證明.

設(shè)A（22cosθ，2sinθ），

則B（-22cosθ，

-2sinθ）.

直線BC的參數(shù)方程為x=22+tcosαy=tsinα（t為參數(shù)）.

其中θ，α均是銳角.

|AC|2=（22cosθ-22）2+2sin2θ=6cos2θ-16cosθ+10=（1-cosθ）（10-6cosθ）.

令x=22cosθ，

可得點D對應(yīng)的參數(shù)tD=22（cosθ-1）cosα.

令x=-22cosθ，

可得點B對應(yīng)的參數(shù)tB=-22（cosθ+1）cosα.

故|CD|·|CB|=|tBtD|=8（1-cosθ）（cosθ+1）cos2α.

直線BC的斜率

tanα=2sinθ22+22cosθ=sinθ2（1+cosθ）.

從而1cos2α=1+tan2α=5+3cosθ4（1+cosθ）.

于是|CD|·|CB|=8（1-cosθ）（cosθ+1）cos2α=（1-cosθ）（10+6cosθ）>|AC|2，問題得證.

評注為了消元，這里利用斜率關(guān)系來計算cos2α是一個難點. 解題過程兩次進行因式分解，一次是對6cos2θ-16cosθ+10進行分解;一次是1+tan2α=5+8cosθ+3cos2θ4（1+cosθ）2=（5+3cosθ）（1+cosθ）4（1+cosθ）2.

例4（2017年全國聯(lián)賽B卷）在平面直線坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：y2=4x，曲線C2：（x-4）2+y2=8. 經(jīng)過C1上一點P作一條傾斜角為45°的直線l，與C2交于不同的點Q，R，求|PQ||PR|的取值范圍.

解析設(shè)P（m2，2m），直線l的參數(shù)方程為x=m2+2t2y=2m+2t2（t為參數(shù)），與（x-4）2+y2=8聯(lián)立，得t2+（2m2+22m-42）t+m4-4m2+8=0.

點Q，R對應(yīng)的參數(shù)t1，t2是以上方程的兩根，

則|PQ|·|PR|=|t1t2|=m4-4m2+8=（m2-2）2+4.

Δ=（2m2+22m-42）2-4（m4-4m2+8）

=-2m（m-4）（m+2）（m-2）>0，

解得m∈（-2，0）∪（2，4），此時m2-2∈（-2，2）∪（2，14）.

從而|PQ|·|PR|=（m2-2）2+4∈[4，8）∪（8，200）.

評注拋物線y2=2px的參數(shù)方程為x=2pm2y=2pm（m為參數(shù)）. 借助直線的參數(shù)方程來計算|PQ|·|PR|是比較自然的，不過方程聯(lián)立和判別式的計算過程涉及的項數(shù)較多，需要細心整理. 由于“圓”的特殊性，也可以用圓冪定理來計算|PQ||PR|.

參考文獻：

[1] 李寧.用直線的參數(shù)方程解2016年高考題[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版），2016（09）：6-7.

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