應(yīng)用微分思想突破電磁感應(yīng)圖像問題

鄒范勇

(廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué))

電磁感應(yīng)中的圖像問題能夠很好地考查學(xué)生物理建模、推理運算、數(shù)形結(jié)合等綜合處理物理問題的能力,集中反映學(xué)生的物理觀念、科學(xué)思維等物理學(xué)科核心素養(yǎng),已經(jīng)成為近些年高考考查的熱門內(nèi)容.本文以電磁感應(yīng)問題中經(jīng)常出現(xiàn)的三種模型為例,詳細討論微分思想在處理圖像問題中的應(yīng)用.

1 基本模型

例1如圖1所示,兩電阻不計的足夠長平行光滑導(dǎo)軌傾斜放置,上端連接一電阻R,空間有一垂直導(dǎo)軌平面向上的勻強磁場,其磁感應(yīng)強度為B,一質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌接觸良好,從某處自由釋放,下面四幅圖像分別表示導(dǎo)體棒運動過程中速度v與時間t的關(guān)系、加速度a與時間t的關(guān)系、機械能E與位移x的關(guān)系,以及通過導(dǎo)體棒的電荷量q與位移x的關(guān)系,其中可能正確的是().

圖1

命題立意題設(shè)屬于典型的導(dǎo)體棒切割模型,涉及法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律以及牛頓第二定律的考查.分析問題時既要判斷物理量本身的變化趨勢,又要判斷相應(yīng)物理量變化率的變化情況,綜合性強.

分析如圖2所示,對導(dǎo)體棒受力分析,根據(jù)牛頓第二定律和歐姆定律知(設(shè)導(dǎo)軌寬度為L)mgsinθ－BIL＝ma,I＝.聯(lián)立得

圖2

在導(dǎo)體棒運動過程中,取一段無窮短的時間Δt,該段時間內(nèi)導(dǎo)體棒位置變化Δx,速度變化Δv,加速度變化Δa,機械能變化ΔE,流過導(dǎo)體棒的電荷量為Δq.根據(jù)微分思想,v-t圖像、a-t圖像、E-x圖像、q-x圖像中曲線切線的斜率分別表示

2 含源模型

例2如圖3所示,間距為l的足夠長光滑平行導(dǎo)軌豎直放置,上端連接電動勢為E的電源.一光滑金屬棒橫跨在兩側(cè)導(dǎo)軌上,且與導(dǎo)軌始終良好接觸,足夠大的勻強磁場垂直于軌道平面,磁感應(yīng)強度為B,回路的總電阻R保持恒定.由靜止釋放金屬棒,之后某時刻閉合開關(guān)S,則下圖中金屬棒速度v、回路中電流i隨時間t變化的關(guān)系圖像可能正確的是().

圖3

命題立意題設(shè)綜合考查了與閉合電路歐姆定律以及牛頓第二定律相關(guān)的動態(tài)變化問題,能夠很好地反映學(xué)生應(yīng)用微分觀念處理問題的物理思想,考查學(xué)生結(jié)合數(shù)學(xué)圖像處理物理問題的能力.

分析根據(jù)閉合電路歐姆定律及牛頓第二定律知E＋Blv＝iR,mg－Bil＝ma.聯(lián)立得

3 含容模型

例3如圖4 所示,勻強磁場中水平放置兩足夠長的光滑平行金屬導(dǎo)軌,導(dǎo)軌的左側(cè)接有不帶電的電容器C.金屬棒ab在導(dǎo)軌上向右運動,運動過程中棒始終與導(dǎo)軌垂直且兩端與導(dǎo)軌保持良好接觸,不計導(dǎo)軌電阻.在t0時刻閉合開關(guān)S,則下圖中金屬棒速度v、加速度a、電容器所帶電荷量q、回路中電流i隨時間t變化的關(guān)系圖像可能正確的是().

圖4

命題立意題設(shè)屬于含有電容器的導(dǎo)體棒切割模型,涉及電容的定義、感應(yīng)電動勢的計算、電路結(jié)構(gòu)的分析以及牛頓第二定律等內(nèi)容,綜合性強,能很好地反映學(xué)生結(jié)合物理圖像綜合解決實際問題的能力.

分析設(shè)勻強磁場磁感應(yīng)強度為B,導(dǎo)軌間距為l,電路中的總電阻為R,電容器兩板間電壓為U,根據(jù)閉合電路歐姆定律和牛頓第二定律有Blv＝iR＋U,Bil＝ma,q＝CU.聯(lián)立得

在導(dǎo)體棒運動過程中,取一段無窮短時間Δt,該段時間內(nèi)金屬棒的速度變化Δv,加速度變化Δa,通過金屬棒的電荷量Δq,電流變化Δi.根據(jù)微分思想,v-t圖像、a-t圖像、q-t圖像、i-t圖像中曲線切線的斜率分別為

根據(jù)式⑤,隨著金屬棒加速度a逐漸減小為零,電流i也逐漸減小直至為零,所以選項D 錯誤.

因為i逐漸減小直至為零,故電荷量q逐漸增大的同時,逐漸減小為零,所以選項C正確.

正確答案為C.

小結(jié)在電磁感應(yīng)圖像問題中,速度、加速度、電壓、電流等物理量互相制約、瞬態(tài)變化,其變化圖像一般為曲線.為了準(zhǔn)確判斷物理量的變化圖像,必須分清變量與不變量,既要判斷物理量變化的單調(diào)性,又要關(guān)注圖線的切線斜率所代表的物理意義.只有列出具體問題所滿足的規(guī)律方程,結(jié)合微分思想進行討論,才能對物理量的變化趨勢作出正確判斷.

此類問題綜合性強,對數(shù)學(xué)能力要求高,尤其要結(jié)合微分思想處理問題,不僅能夠考查學(xué)生解決物理問題的綜合能力,還可以反映出學(xué)生的物理思想和物理方法,體現(xiàn)物理學(xué)科核心素養(yǎng)水平.

(完)