晶胞中原子坐標(biāo)的確定方法

張變霞

(山東省濰坊新紀(jì)元學(xué)校)

在2016 年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷、2017 年全國(guó)Ⅰ卷、2019年全國(guó)Ⅱ卷、2021年山東卷中均考查了晶胞中的原子坐標(biāo),說明該考點(diǎn)是高考熱點(diǎn)之一.本文詳細(xì)介紹了晶胞中原子坐標(biāo)的確定方法.

1 晶胞相關(guān)概念

1.1 晶胞參數(shù)

晶胞的形狀和大小可以用6個(gè)參數(shù)來表示,包括晶胞的3組棱長(zhǎng)(a、b、c)和3組棱相互間的夾角(α、β、γ),即晶格特征參數(shù),簡(jiǎn)稱晶胞參數(shù).

1.2 晶胞分類

根據(jù)晶胞參數(shù)的不同,晶胞分為平行六面體、四方、六方、單斜、正交、三方、三斜等七種.常見的晶胞都是平行六面體.

1.3 原子坐標(biāo)

關(guān)于原子坐標(biāo)有2種說法.

第1種說法:原子坐標(biāo)中“1就是1”.

如圖1 所示,以立方體的3 個(gè)棱延長(zhǎng)線構(gòu)建坐標(biāo)軸,以晶胞棱長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度“1”(棱長(zhǎng)可以不相等,每條棱均視為1),用坐標(biāo)(x,y,z)表達(dá)晶胞中原子的分布,該坐標(biāo)被稱為原子坐標(biāo).x,y,z的取值范圍為1＞x(y、z)＞－1.通常建立如圖1所示的三維坐標(biāo)系,并據(jù)此確定其他原子的坐標(biāo).O點(diǎn)的分?jǐn)?shù)坐標(biāo)規(guī)定為(0,0,0)、A的坐標(biāo)為(1,0,0)、B的坐標(biāo)為(1,1,0)、C的坐標(biāo)為(1,1,1).

圖1

第2種說法:原子坐標(biāo)中“1即是0”.該說法見人教版選擇性必修2教師教學(xué)用書第145頁.

x、y、z的取值范圍為1＞x(y、z)＞－1.因晶胞不斷重復(fù),晶胞的8個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是一樣的,它們是同一個(gè)原子,當(dāng)出現(xiàn)原子坐標(biāo)為“1”時(shí),相當(dāng)于將晶胞沿某個(gè)方向平移1個(gè)單位,所以,原子坐標(biāo)“1即是0”.按照這一說法,圖1中O、A、B、C點(diǎn)的原子坐標(biāo)均為(0,0,0).

通過以上分析,筆者建議在解題中按第1 種說法,即先確定坐標(biāo)原點(diǎn),然后依據(jù)坐標(biāo)原點(diǎn)確定原子的坐標(biāo).本文例題中都按第1種說法解答。按照本文原子坐標(biāo)的定義,得到的原子坐標(biāo)的值大多數(shù)為分?jǐn)?shù),所以,原子坐標(biāo)又稱為原子分?jǐn)?shù)坐標(biāo).本文中都稱為原子坐標(biāo).

2 晶胞投影

1)概念:用一組光線將物體的形狀投射到一個(gè)平面上,稱為“投影”.在該平面上得到的圖像,也稱為“投影”.

2)分類:正投影和斜投影.正投影即是投射線的中心線垂直于投影的平面.投射中心線不垂直于投射平面的稱為斜投影.目前我們遇到的題目中所涉及的都是正投影.

3)沿平面投射所得平面圖:

圖2

圖3

圖4

3 立方晶胞中原子坐標(biāo)的確定方法

3.1 用向量平移法確定晶胞中原子坐標(biāo)

用解析幾何中向量相關(guān)知識(shí)研究晶體中各個(gè)微粒間的位置關(guān)系.

以坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0,0)為起點(diǎn),以晶胞棱長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度,建立基礎(chǔ)向量a、b、c,將基礎(chǔ)向量向x、y、z3個(gè)軸平移,得到所求原子的坐標(biāo).

如圖5 所示,如果以處于頂點(diǎn)的6號(hào)原子為原點(diǎn),則6 號(hào)原子在晶胞中的坐標(biāo)為(0,0,0).位于體心的10號(hào)原子坐標(biāo)的確定:將位于三維坐標(biāo)系的向量a、b、c分別平移個(gè)單位,10號(hào)原子的向量為,可得到其原子坐標(biāo)為.圖5所示立方體中部分原子坐標(biāo)(以6號(hào)原子為原點(diǎn))如表1所示.

圖5

表1

將1個(gè)立方體晶胞8等分,得到8個(gè)小立方體(如圖6),建立圖1所示坐標(biāo)系,則圖6中4個(gè)小立方體(1、2、3、4)體心原子在晶胞中的坐標(biāo)分別為

圖6

3.2 用“二維坐標(biāo)投影法”確定原子的坐標(biāo)

將原子沿著x軸、y軸或z軸投影到一個(gè)面上,得到所在面的二維坐標(biāo)投影圖.通過分析晶胞中原子的二維坐標(biāo)投影圖與對(duì)稱性,找到原子位置占棱長(zhǎng)(單位長(zhǎng)度)的分?jǐn)?shù),可得到原子的坐標(biāo)(分?jǐn)?shù)坐標(biāo)).

4 典例剖析

4.1 金剛石類面心立方晶胞的原子坐標(biāo)

例1(2016年全國(guó)Ⅰ卷,節(jié)選)原子坐標(biāo)參數(shù),表示晶胞內(nèi)部各原子的相對(duì)位置,圖7為Ge單晶的晶胞,其中原子坐標(biāo)參數(shù)A(0,0,0);B();.則D原子的坐標(biāo)參數(shù)為______.

圖7

解法1將晶胞切成8個(gè)相同的小正方體,D為左下角小正方體的體心,因此D原子的坐標(biāo)是

解法2用“二維坐標(biāo)投影圖法(如圖8)”確定該晶胞中D原子的坐標(biāo).

圖8

圖8-甲為4個(gè)體心原子沿z軸方向投影的二維坐標(biāo)投影圖,從D的投影點(diǎn)D1可以得出D的原子坐標(biāo)為);圖8-乙為4個(gè)體心原子沿y軸方向投影的二維坐標(biāo)投影圖,從D的投影點(diǎn)D2可以得出D的原子坐標(biāo)為().所以,D原子的坐標(biāo)是

點(diǎn)評(píng)

通過二維坐標(biāo)投影,能將三維空間圖像轉(zhuǎn)化為二維平面圖像,有利于我們直觀地確定原子的坐標(biāo);原子坐標(biāo)是原子相對(duì)于原點(diǎn)的位置,所以通常先確定原點(diǎn),再確定其他原子的坐標(biāo).

4.2 較多原子組成的復(fù)雜晶胞原子坐標(biāo)

例2(2019年全國(guó)Ⅱ卷,節(jié)選)一種四方結(jié)構(gòu)的超導(dǎo)化合物的晶胞如圖9-甲所示,晶胞中Sm 和As原子的投影位置如圖9-乙所示.以晶胞參數(shù)為單位長(zhǎng)度建立的坐標(biāo)系可以表示晶胞中各原子的位置,稱作原子分?jǐn)?shù)坐標(biāo),例如圖9-甲中原子1的坐標(biāo)為則原子2和3的坐標(biāo)分別為________、________.

圖9

解析

根據(jù)圖9-甲中1號(hào)位置的原子坐標(biāo)確定,坐標(biāo)原點(diǎn)可以是圖10中的A原子,原子1位于體心,x、y、z軸上的單位長(zhǎng)度分別為a、b、c,原子2位于底面面心,坐標(biāo)為;原子3位于棱中心,坐標(biāo)為

點(diǎn)評(píng)

本題的解題思路為:由題給條件先確定原點(diǎn),然后確定其他原子的坐標(biāo).已知體心原子坐標(biāo),據(jù)此可確定坐標(biāo)原點(diǎn)可以是圖10中的A原子,也可以是圖10中的B原子.

例3(2021 年山東新高考,節(jié)選)XeF2晶體屬四方晶系,晶胞參數(shù)如圖11所示,晶胞棱邊夾角均為90°,該晶胞中有_______個(gè)XeF2分子.以晶胞參數(shù)為單位長(zhǎng)度建立的坐標(biāo)系可以表示晶胞中各原子的位置,稱為原子的分?jǐn)?shù)坐標(biāo),如A點(diǎn)原子的分?jǐn)?shù)坐標(biāo)為().已知Xe—F鍵長(zhǎng)為rpm,則B點(diǎn)原子的分?jǐn)?shù)坐標(biāo)為_________.

圖11

解析

圖12

點(diǎn)評(píng)

在確定原子坐標(biāo)時(shí),晶胞的棱長(zhǎng)都設(shè)為“1”,B點(diǎn)距離原點(diǎn)的長(zhǎng)度為B所在棱長(zhǎng)的,所以B在z軸的分?jǐn)?shù)坐標(biāo)為;本題中也是已知體心原子坐標(biāo),據(jù)此可確定坐標(biāo)原點(diǎn)可以是圖12 中的C原子,也可以是圖12中的D原子.

4.3 六方最密堆積晶胞原子坐標(biāo)

六方最密堆積晶胞結(jié)構(gòu)如圖13 所示.六方晶胞中,DABO為正四面體,正四面體的高為h/2.

圖13

例4金屬鎂晶體中原子的堆積方式為六方最密堆積(如圖14-甲),晶胞可用圖14-乙表示.設(shè)晶胞中A點(diǎn)原子的坐標(biāo)為(0,0,0),C點(diǎn)原子的坐標(biāo)為(2a,0,0),D點(diǎn)原子的坐標(biāo)為(0,0,b),則B點(diǎn)原子的坐標(biāo)為________.

圖14

解析

晶胞中B與連線原子形成正四面體,緊密相鄰,由各原子坐標(biāo)參數(shù),可知C處于x軸,D處于z軸,底面4 個(gè)相鄰的原子形成菱形,銳角為60°,B到上下底面的距離相等,為B到坐標(biāo)系平面xAy距離,是B的坐標(biāo)參數(shù)z的值,晶胞的高為b,故z＝,B在底面投影B′處于正△ACF的中心,作B′E垂直AC,如圖15所示.在△ACF中,AB′＝2a×cos30°×AE長(zhǎng)度為B′到坐標(biāo)系平面yAz的距離,即為B的坐標(biāo)參數(shù)x的值,則x＝AB′×cos30°＝＝a,B′E長(zhǎng)度為B′到坐標(biāo)系平面xAz距離,即為B的坐標(biāo)參數(shù)y的值,則y＝AB′×sin30°＝＝,所以,B的坐標(biāo)為

圖15

點(diǎn)評(píng)

本題中固定了原點(diǎn),晶胞中其他原子的坐標(biāo)就是相對(duì)于原點(diǎn)的三維坐標(biāo).B處于晶胞內(nèi)部的原子坐標(biāo),用“二維坐標(biāo)投影法”確定其原子坐標(biāo),明確B的投影位置,找出投影到坐標(biāo)系平面的距離是解題關(guān)鍵.

4.4 晶胞中原子位置的變換

可用2種方法解決晶胞中原子位置的變換.

1)相對(duì)位置固定法:無論晶胞如何變化,晶胞中原子的相對(duì)位置不變,屬于一個(gè)晶胞的原子數(shù)目也不變,抓不變量可以確定粒子的新的位置.

2)原子坐標(biāo)平移法.

例5(2017年新課標(biāo)Ⅰ卷,節(jié)選)鉀和碘的相關(guān)化合物在化工、醫(yī)藥、材料等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.KIO3晶體是一種性能良好的非線性光學(xué)材料,具有鈣鈦礦型的立體結(jié)構(gòu),晶胞中K、I、O分別處于頂角、體心、面心位置,如圖16所示.在KIO3晶胞結(jié)構(gòu)的另一種表示中,I處于各頂角位置,則K 處于_________位置,O處于________位置.

圖16

解法1圖中I、O、K 分別位于體心、面心、頂點(diǎn),運(yùn)用均攤法可得,1個(gè)晶胞中分別含有1個(gè)I、3個(gè)O、1個(gè)K.在KIO3晶胞結(jié)構(gòu)的另一種表示中,1個(gè)晶胞中分別含有原子數(shù)目不變,且晶胞中原子的相對(duì)位置不變.所以,I處于各頂角位置,個(gè)數(shù)為,晶胞中含有的K 也為1個(gè),只能位于體心,剩余的位置只能是棱心,為O 的位置.

點(diǎn)評(píng)

在原子位置變換過程中,原子的實(shí)際位置發(fā)生了變換,但是原子間的相對(duì)位置是不變的.

在確定原子坐標(biāo)時(shí),晶胞的棱長(zhǎng)都設(shè)為1,根據(jù)原子在棱上的相對(duì)位置確定其坐標(biāo).通常先根據(jù)題給條件確定原點(diǎn),然后確定其他原子的坐標(biāo).我們既可以將位于三維坐標(biāo)系的向量a、b、c分別平移,也可用“二維坐標(biāo)投影法”確定晶胞中的原子坐標(biāo).

(完)