數(shù)學(xué)與藝術(shù)

摘要：現(xiàn)代數(shù)學(xué)與中國傳統(tǒng)藝術(shù)有很大的一致性：即使是最簡單的數(shù)學(xué)對象，也是抽象思維的產(chǎn)物;相對于藝術(shù)創(chuàng)造，對于形式（美）的追求在數(shù)學(xué)中也有明顯的表現(xiàn)，如"對稱性"簡單性""統(tǒng)一性""奇異性"等。數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)努力實(shí)現(xiàn)藝術(shù)的境界，"真""善""美"的高度統(tǒng)一也應(yīng)是數(shù)學(xué)乃至一切科學(xué)的最高追求。

關(guān)鍵詞：藝術(shù);美學(xué);數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)教育

相對于將數(shù)學(xué)看成自然科學(xué)的一個(gè)分支，很多數(shù)學(xué)家更傾向于將自己的學(xué)科看成一門藝術(shù)①：

"數(shù)學(xué)是所有人類活動中最完全自主的，它是最純的藝術(shù)。"（沙利文）

"數(shù)學(xué)是一門藝術(shù)，因?yàn)樗鼊?chuàng)造了顯示人類精神的純思想的形式和模式。"（費(fèi)爾）

"我?guī)缀醺矚g把數(shù)學(xué)看作藝術(shù)，然后才是科學(xué)，因?yàn)閿?shù)學(xué)家的活動是不斷創(chuàng)造的……數(shù)學(xué)的嚴(yán)格演繹推理在這里可以比作畫家的繪畫技巧。就如同不具備一定的技巧就成不了好畫家一樣，不具備一定準(zhǔn)確程度的推理能力就成不了數(shù)學(xué)家……這些都不是最主要的因素。還有一些遠(yuǎn)比上述條件難以捉摸的素質(zhì)才是造就優(yōu)秀藝術(shù)家或優(yōu)秀數(shù)學(xué)家的條件。其中有一個(gè)共同的素質(zhì)，那就是想象力。"（博歇）

"數(shù)學(xué)是創(chuàng)造性的藝術(shù)，因?yàn)閿?shù)學(xué)家創(chuàng)造了美好的新概念·數(shù)學(xué)是創(chuàng)造性的藝術(shù)，因?yàn)閿?shù)學(xué)家像藝術(shù)家一樣地生活，一樣地工作，一樣地思索·數(shù)學(xué)是創(chuàng)造性的藝術(shù)，因?yàn)閿?shù)學(xué)家這樣對待它。"（哈爾莫斯）

在此，還要特別提及一位當(dāng)代數(shù)學(xué)家——洛克哈特。他不僅同樣認(rèn)定數(shù)學(xué)是最純粹的藝術(shù)，還從這一立場對現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教育體制進(jìn)行了激烈批判，甚至為了實(shí)現(xiàn)自己的理想，從大學(xué)轉(zhuǎn)至基層學(xué)校擔(dān)任數(shù)學(xué)教師。他指出："事實(shí)上，沒有什么像數(shù)學(xué)那樣夢幻及富有詩意，那樣激進(jìn)、具破壞力和帶有奇幻色彩……數(shù)學(xué)是最純粹的藝術(shù)，同時(shí)也最容易受到誤解。"①

盡管存在這么多的既有論述，我還是始終未能弄清我們究竟為什么可以甚至應(yīng)當(dāng)將數(shù)學(xué)看成一門藝術(shù)。當(dāng)然，這也直接牽涉到我們應(yīng)當(dāng)如何理解藝術(shù)。在"理解藝術(shù)"方面缺乏必要的修養(yǎng)，正是我一直未能突破這一認(rèn)識瓶頸的主要原因。

機(jī)緣巧合，我近期閱讀了著名美學(xué)家宗白華先生的《美從何處尋》，從中獲得了一些啟示。之所以會看一些美學(xué)的著作，是受一位語文教師——胡亨康老師的影響②，特別是他的成長歷程，讓我有了新的見解③。我從《美從何處尋》中獲得的啟示，主要源于宗白華先生對中國傳統(tǒng)藝術(shù)精髓的分析。

一、中國傳統(tǒng)藝術(shù)的精髓

在宗白華先生看來，中國傳統(tǒng)藝術(shù)的精髓集中表現(xiàn)于對"意境"的追求："意境是'情'與'景'（意象）的結(jié)晶品。""在一個(gè)藝術(shù)表現(xiàn)里情和景交融互滲，因而發(fā)掘出最深的情，一層比一層更深的情，同時(shí)也透人了最深的景，一層比一層更晶瑩的景"景中全是情，情具象而為景，因而涌現(xiàn)了一個(gè)獨(dú)特的宇宙，嶄新的意象。"也就是說，藝術(shù)是主客體的一種交融，從而"為人類增加了豐富的想象，替世界開辟了新境"。④

盡管各種藝術(shù)都可被看成人類精神的"具象化、肉身化"，但這又并非外部世界的簡單寫照·恰恰相反，如果借用"道"這一術(shù)語，即"燦爛的'藝'賦予'道'以形象和生命'道'給予'藝'以深度和靈魂"⑤。這也就是人們提升精神境界的一個(gè)重要途徑："藝術(shù)的境界，既使心靈和宇宙凈化，又使心靈和宇宙深化，使人在超脫的胸襟里體味到宇宙的深境。"⑥

宗白華先生曾借助"實(shí)"和"虛"這一對概念，對中國傳統(tǒng)藝術(shù)的上述特征進(jìn)一步做了分析："由于'粹'，由于去粗存精，藝術(shù)表現(xiàn)里有了'虛'，'洗盡塵滓，獨(dú)存孤迥'。由于'全'，才能做到孟子所說的'充實(shí)之謂美，充實(shí)而有光輝之謂大'。'虛'和'實(shí)'辯證的統(tǒng)一，才能完成藝術(shù)的表現(xiàn)，形成藝術(shù)的美。"⑦在宗白華先生看來，這也直接涉及中西藝術(shù)的重要差異："只講'全'而不顧'粹'，就是我們現(xiàn)在所說的自然主義·只講'粹'而不能反映'全'，又容易走上抽象的形式主義的道路。"①"西洋文化的主要基礎(chǔ)在希臘"，"希臘藝術(shù)理論既因建筑與雕刻兩大美術(shù)的暗示，以'形式美'（即基于建筑美的和諧、比例、對稱平衡等）及.自然模仿，（即雕刻藝術(shù)的特性）為最高原理，于是理想的藝術(shù)創(chuàng)作即在模仿自然的實(shí)相中同時(shí)表達(dá)出和諧、比例、平衡、整齊的形式美"。②例如，"中、西畫法所表現(xiàn)的'境界層'根本不同，一為寫實(shí)的，一為虛靈的;一為物我對立的，一為物我渾融的"。再者，盡管西洋繪畫也經(jīng)歷了由古典精神向近代精神的轉(zhuǎn)變，"然而它們的宇宙觀點(diǎn)仍是一貫的，即'人'與'物'，'心'與'境'的對立相視"。與此不同，"中國畫所寫近景一樹一石也是虛靈的、表象的。中國畫的透視法是提神太虛，從世外鳥瞰的立場觀照全整的律動的大自然，他的空間立場是在時(shí)間中徘徊移動，游目周覽，集合數(shù)層與多方的視點(diǎn)譜成一幅超象虛靈的詩情畫境"。③這就是中國藝術(shù)最后的理想和最高的成就："以追光躡影之筆，寫通天盡人之懷。"④

二、現(xiàn)代數(shù)學(xué)與中國傳統(tǒng)藝術(shù)的一致性

但是，這些關(guān)于藝術(shù)的分析與數(shù)學(xué)究竟有什么關(guān)系？這對于我們理解為什么可以甚至應(yīng)當(dāng)將數(shù)學(xué)看成一門藝術(shù)又有什么啟示？以下，是我的一些膚淺的想法。

雖然現(xiàn)代數(shù)學(xué)主要也應(yīng)歸結(jié)于古希臘的傳統(tǒng)，但在我看來，現(xiàn)代數(shù)學(xué)又與中國傳統(tǒng)藝術(shù)有很大的一致性——盡管這聽上去有點(diǎn)不可思議，但或許可以從一個(gè)側(cè)面表明"大道歸一"的道理。

我主要關(guān)注這樣一個(gè)事實(shí)：數(shù)學(xué)顯然并非客觀事物與現(xiàn)象在人們頭腦中的簡單反映;恰恰相反，即使是最簡單的數(shù)學(xué)對象，如1、2、3或點(diǎn)、線、面，也是抽象思維的產(chǎn)物。當(dāng)然，這也有一個(gè)"外化"的過程——數(shù)學(xué)家們并非使用聲音、色彩、形象這樣的藝術(shù)語言，而是主要借助語言和抽象符號實(shí)現(xiàn)所謂的"具象化"。

再者，相對于藝術(shù)創(chuàng)造，對于形式（美）的追求在數(shù)學(xué)中也有明顯的表現(xiàn)。我們也可從這一角度對"數(shù)學(xué)美"作出大致的"定義"，即表現(xiàn)為"對稱性"簡單性"統(tǒng)一性""奇異性"等形式。當(dāng)然，我們也應(yīng)清楚地看到："數(shù)學(xué)家們并非純粹地為藝術(shù)而藝術(shù)，他們對于美的感受和追求往往以數(shù)學(xué)上的考慮作為直接背景或目的，這也就是說，他們所追求的是：在極度無序的對象（關(guān)系結(jié)構(gòu)）中展現(xiàn)極度的對稱性，在極度復(fù)雜的對象中揭示極度的簡單性，在極度離散的對象中發(fā)現(xiàn)極度的統(tǒng)一性，在極度平凡的對象中認(rèn)識極度的奇異性。"⑤簡言之，數(shù)學(xué)中對于美的追求具有重要的方法論意義，更集中地反映了數(shù)學(xué)家的以下特性："他們永不滿足于已取得的成果，并希望能夠更深刻、更全面、更正確地認(rèn)識世界。也正因此，他們總是力圖由已知去推出未知，希望將復(fù)雜的東西予以簡單化，分散、零亂的東西予以統(tǒng)一，也總渴望能開拓出新的研究領(lǐng)域……正是在這樣的過程中，數(shù)學(xué)家們感受到了數(shù)學(xué)的美，而這事實(shí)上也正是認(rèn)識不斷發(fā)展和深化的一個(gè)過程。"⑥

在此基礎(chǔ)上，我有了一些新的感悟：數(shù)學(xué)家們通過自己的研究工作深切感受到了思維的力量、精神的力量，這就是我們應(yīng)當(dāng)將數(shù)學(xué)看成一門藝術(shù)的主要原因，包括我們應(yīng)當(dāng)如何認(rèn)識數(shù)學(xué)的文化價(jià)值。關(guān)于數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，彭加勒（也譯為龐加萊）等著名數(shù)學(xué)家已經(jīng)清楚地指明："一個(gè)名符其實(shí)的科學(xué)家，尤其是數(shù)學(xué)家，他在他的工作中體驗(yàn)到與藝術(shù)家一樣的印象;他的樂趣和藝術(shù)家的樂趣具有相同的性質(zhì)，是同樣偉大的東西。"①"數(shù)學(xué)……是一種活動，在這種活動中，人類精神似乎從外部世界所取走的東西最少，在這種活動中，人類精神起著作用，或者似乎只是自行起著作用和按照自己的意志起作用。"②

以下依據(jù)宗白華先生關(guān)于"形式"的分析，做進(jìn)一步說明。

按照宗先生的看法，對"形式的作用，可以區(qū)分出這樣三個(gè)不同的層次③：第一，"美的形式的組織，使一片自然或人生的內(nèi)容自成一獨(dú)立的有機(jī)體的形象，引動我們對它能有集中的注意、深入的體驗(yàn)"，"美的對象之第一步需要間隔"。顯然，這就相當(dāng)于前述的"外化"，包括數(shù)學(xué)中經(jīng)常提到的"模式化"。第二，"美的形式之積極的作用是組織、集合、配置。一言蔽之，是構(gòu)圖，使片景孤境能織成一內(nèi)在自足的境界，無待于外而自成一意義豐滿的小宇宙，啟示著宇宙人生的更深一層的真實(shí)"。從數(shù)學(xué)的角度看，這意味著由各個(gè)孤立的"模式，過渡到了整體性的"結(jié)構(gòu)"。第三，"形式之最后與最深的作用，就是它不只是化實(shí)相為空靈，引入精神飛越，超人美境;而尤在它能進(jìn)一步引入'由美人真'，探入生命節(jié)奏的核心。世界上唯有最生動的藝術(shù)形式……最能表達(dá)人類不可言、不可狀之心靈姿式與生命的律動"。顯然，這也正是諸多數(shù)學(xué)家將數(shù)學(xué)看成一門藝術(shù)的主要原因。

三、數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)努力實(shí)現(xiàn)藝術(shù)的境界

依據(jù)上述分析，我們可以更好地理解洛克哈特關(guān)于"什么是真正的數(shù)學(xué)"的具體論述，包括數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)通過自己的教學(xué)向?qū)W生傳遞什么樣的感受，進(jìn)而理解他為什么對強(qiáng)調(diào)"數(shù)學(xué)的應(yīng)用"持明確的反對態(tài)度④：

"這就是數(shù)學(xué)的外貌和感覺。數(shù)學(xué)家的藝術(shù)就像這樣：對于我們想象的創(chuàng)造物提出簡單而直接的問題，然后制作出令人滿意又美麗的解釋。沒有其他事物能達(dá)到如此純粹的概念世界，如此令人著迷、充滿趣味……"

"（應(yīng)讓學(xué)生）有機(jī)會享受當(dāng)一個(gè)有創(chuàng)造力、有靈活性、心胸開放的思想家——這是真正的數(shù)學(xué)教育可能提供的東西?！瓟?shù)學(xué)應(yīng)該被當(dāng)作藝術(shù)來教。這些世俗上認(rèn)為'有用'的特點(diǎn)，是不重要的副產(chǎn)品，會自然而然地跟著產(chǎn)生。"

"所有這些'改革'最悲哀的地方，是企圖'要讓數(shù)學(xué)變有趣'和'與孩子們的生活產(chǎn)生關(guān)聯(lián)'，你不需要讓數(shù)學(xué)變得有趣——它本來就遠(yuǎn)超過你了解的有趣！它的驕傲就在于與我們的生活完全無關(guān)。這就是為什么它是如此有趣。"

"無論如何，重點(diǎn)不在數(shù)學(xué)是否具有任何實(shí)用價(jià)值……我要說的是，我們不需要以這個(gè)為基礎(chǔ)來證實(shí)它的正當(dāng)性。我們談的是一個(gè)完全天真及愉悅的人類心智活動——與自己心智的對話。數(shù)學(xué)不需要乏味的勤奮或技術(shù)上的借口，它超越所有的世俗考量。數(shù)學(xué)的價(jià)值在于它好玩、有趣，并帶給我們很大的歡樂。"①

"教學(xué)是開放與誠實(shí)的，是能分享興奮之情的能力，是對教學(xué)的熱愛。沒有這些，世界上所有的教育學(xué)位都不能幫助你。"

"（學(xué)生不喜歡數(shù)學(xué)的）原因就在于他們自己從來沒有機(jī)會去發(fā)現(xiàn)或發(fā)明這類東西。他們從來都沒有碰到一個(gè)讓他們著迷的問題，可以讓他們思考，可以讓他們感受挫折，可以讓他們?nèi)计鹂释?，渴望有解決的技巧或方法。"

"如果你沒有興趣探索你自己個(gè)人的想象宇宙，沒有興趣去發(fā)現(xiàn)和嘗試了解你的發(fā)現(xiàn)，那么你干嗎稱自己為數(shù)學(xué)教師？如果你和你的學(xué)科沒有親密的關(guān)系，如果它不能感動你，讓你起雞皮疙瘩，那你必須找其他的工作做。如果你喜歡和小孩相處，你真的想要當(dāng)老師，那很好——但是去教那些對你真正有意義、你能說得出名堂的學(xué)科。"

但是，在初等數(shù)學(xué)中，我們也能找到這樣的能使學(xué)生感到極度震撼并能深切地感受到精神力量的實(shí)例嗎？

畢達(dá)哥拉斯定理就是這樣的一個(gè)實(shí)例，它對古希臘乃至整個(gè)現(xiàn)代西方文明的發(fā)展產(chǎn)生了十分重要的影響。

下面則是另外兩個(gè)實(shí)例（更多的實(shí)例可見《一個(gè)數(shù)學(xué)家的嘆息——如何讓孩子好奇、想學(xué)習(xí)、走進(jìn)美麗的數(shù)學(xué)世界》）：

其一，任一多邊形，不管它是三角形，還是四邊形或五邊形，它的外角和總是360°。

其二，在半圓中以直徑為底作三角形，無論三角形的頂點(diǎn)在圓周的什么地方，三角形的頂角都是90°。

由此可見，即使是中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，也可在上述方面大有作為，關(guān)鍵在于教師是否具有足夠的自覺性，包括切身的感受和體驗(yàn)。

以下實(shí)例②是一些學(xué)生對一位語文教師的回憶。盡管它來自語文教學(xué)，相信讀者仍可由此很好地感受到什么是教學(xué)應(yīng)當(dāng)努力實(shí)現(xiàn)的一種境界。對此，我們又確可比擬為一種真正的"藝術(shù)境界"。

這是北京四中語文老師李家聲的課堂，不是公開課：

他講《離騷》，"好像被屈原附體一樣，散發(fā)出一種人性的光芒，（讓我們）心里有說不出的感動"。他朗讀《離騷》，時(shí)而激揚(yáng)，時(shí)而悲憤，學(xué)生不得不"被屈原那種靈魂的美、精神的美，所深深吸引"。雖然《離騷》只上了兩節(jié)課，一個(gè)從前不喜歡語文的理科學(xué)生，課后，不知花了多少時(shí)間來讀《離騷》，375句差不多都能背下來了。

……

"他講《滿江紅》，不是講，而是吟唱，每次唱，都會哭。"一個(gè)考上北大的女生回憶道，"開始時(shí)，我望著他，他微蹙著眉頭，凝視著前方，幾根發(fā)絲微微顫動。但很快，我低下

頭，不敢再抬起來，因?yàn)槲抑溃约旱碾p頰已經(jīng)紅得發(fā)燙，眼中的淚水，已經(jīng)漲到收不回的程度。"唱到，待從頭、收拾舊山河，朝天闕"時(shí)，先生已滿眼是淚，學(xué)生也滿眼是淚。歌罷，教室里，立刻響起雷鳴般的掌聲。"我們把手拍紅了，卻都不愿意停下來。就這樣，掌聲一浪接一浪地響了不知多長時(shí)間。"

一茬茬的學(xué)生，成了他忘年的知音。"先生給予了我空靈、明凈和透亮的靈魂，教我們怎樣做一個(gè)知識分子，做一個(gè)鐵骨錚錚、處世獨(dú)立、橫而不流的知識分子。"

再從宗白華先生的論著中摘錄幾段關(guān)于，簡"與，虛"的論述，建議讀者聯(lián)系數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育中對于，抽象"與，留空（白）"的強(qiáng)調(diào)，進(jìn)行比較和理解，包括它們的共同點(diǎn)，乃至，大道歸一"的道理：，簡者簡于象，非簡于意。"，中國畫以黑墨寫于白紙或絹，其精神在抽象……練則簡。簡則幾乎華貴，為藝術(shù)之極則矣。"，此虛無非真虛無，乃宇宙中渾沌之原理;亦即畫圖中所謂生動之氣韻。……中國畫最重空白處?？瞻滋幉⒎钦婵?，乃靈氣往來生命流動之處。"，空而后能簡，簡而練，則理趣橫溢，而脫略形跡。然此境內(nèi)不易到也，必畫家人格高尚，秉性堅(jiān)貞，不以世俗利害營于胸中，不以時(shí)代好尚惑其心志;乃能沉潛深入萬物核心，得其理趣，胸懷灑落。"①

由以上論述，我們還可進(jìn)一步領(lǐng)悟到相關(guān)研究應(yīng)當(dāng)避免或糾正的一些傾向，以及超越專業(yè)走向，大道"的主要途徑。

首先，無論就藝術(shù)或數(shù)學(xué)而言，事實(shí)上都涉及，境"，意"和，形"這樣三個(gè)方面②。特別是，我們既應(yīng)防止完全拘束于對自然的，模仿"或，刻畫"這樣低層次的錯誤，也應(yīng)防范因

再從宗白華先生的論著中摘錄幾段關(guān)于“簡”與“虛”的論述，建議讀者聯(lián)系數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育中對于“抽象”與“留空（白）”的強(qiáng)調(diào)，進(jìn)行比較和理解，包括它們的共同點(diǎn)，乃至“大道歸一”的道理：“簡者簡于象，非簡于意?！薄爸袊嬕院谀珜懹诎准埢蚪仯渚裨诔橄蟆殑tS。簡則幾乎華貴，為藝術(shù)之極則矣。”“此虛無非真虛無，乃宇宙中渾沌之原理;亦即畫圖中所謂生動之氣韻?！袊嬜钪乜瞻滋帯？瞻滋幉⒎钦婵?，乃靈氣往來生命流動之處?！薄翱斩竽芎?，簡而練，則理趣橫溢，而脫略形跡。然此境內(nèi)不易到也，必畫家人格高尚，秉性堅(jiān)貞，不以世俗利害營于胸中，不以時(shí)代好尚惑其心志;乃能沉潛深入萬物核心，得其理趣，胸懷灑落?！雹?/p>

由以上論述，我們還可進(jìn)一步領(lǐng)悟到相關(guān)研究應(yīng)當(dāng)避免或糾正的一些傾向，以及超越專業(yè)走向“大道”的主要途徑。

首先，無論就藝術(shù)或數(shù)學(xué)而言，事實(shí)上都涉及“境”“意”和“形”這樣三個(gè)方面②。特別是，我們既應(yīng)防止完全拘束于對自然的“模仿”或“刻畫”這樣低層次的錯誤，也應(yīng)防范因過分強(qiáng)調(diào)形式而陷入形式主義，或者說，未能很好地超出單純的“技能”層面。

其次，從更高的層面看，它們又同時(shí)涉及“境（景）”“意（情）”和“思想（理性）”③。這更可被看成我們超越專業(yè)走向“大道”的關(guān)鍵，即“意（情）”和“思想（理性）”的相互滲透與整合。而這又不僅是指我們不應(yīng)單純強(qiáng)調(diào)“理性”而忽視“人性”，也是指我們不應(yīng)因單純強(qiáng)調(diào)個(gè)人情感而忽視自己的社會責(zé)任，因?yàn)?，“一切藝術(shù)雖是趨向……于美，然而它最深最厚的基礎(chǔ)仍是在于‘真’與‘誠’”④。

當(dāng)然，“真”“善”“美”的高度統(tǒng)一也應(yīng)是數(shù)學(xué)乃至一切科學(xué)的最高追求。

（鄭毓信，南京大學(xué)哲學(xué)系，教授，博士生導(dǎo)師。享受國務(wù)院特殊津貼專家，江蘇省文史研究館館員。從事學(xué)術(shù)研究與各類教學(xué)工作50多年，包括中學(xué)、大學(xué)、研究生教育與各類教師培訓(xùn)工作，多次赴英、美等國以及我國港臺地區(qū)做長期學(xué)術(shù)訪問或合作研究，赴意大利、荷蘭、德國等國多所著名大學(xué)做專題學(xué)術(shù)講演。出版專著30余部，在國內(nèi)外學(xué)術(shù)刊物上發(fā)表論文近500篇，學(xué)術(shù)成果獲省部級獎7次。在數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)教育、科學(xué)哲學(xué)與科學(xué)教育領(lǐng)域有較大影響。）