"數(shù)學(xué)是系統(tǒng)化了的常識(shí)"的內(nèi)涵及教育意義

摘要：弗賴登塔爾的《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》一書中，最有影響力的兩個(gè)觀點(diǎn)是：數(shù)學(xué)是系統(tǒng)化了的常識(shí);學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實(shí)行"再創(chuàng)造"。作為數(shù)學(xué)觀的前者決定作為數(shù)學(xué)教學(xué)觀的后者。縮短數(shù)學(xué)教育"無目的的用處"與"無用處的目的"間的距離是落實(shí)"數(shù)學(xué)是系統(tǒng)化了的常識(shí)"的前提。為此，教師要"看透"數(shù)學(xué)基本概念、技能背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。建立數(shù)學(xué)內(nèi)部、數(shù)學(xué)與外部的聯(lián)系是"系統(tǒng)化"的內(nèi)核。為此，要讓學(xué)生多層次組織和提煉，而不能把體系化的知識(shí)作為"現(xiàn)成的數(shù)學(xué)"教給學(xué)生。

關(guān)鍵詞：弗賴登塔爾;《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》;教學(xué)目標(biāo);系統(tǒng)化

荷蘭數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾在數(shù)學(xué)教育理論與實(shí)踐兩個(gè)方面都有廣泛而深遠(yuǎn)的影響。有人將他與德國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家F.克萊因相提并論："對(duì)于數(shù)學(xué)教育，在上半世紀(jì)是克萊因做出了不朽的功績(jī)，在下半世紀(jì)是弗賴登塔爾做出了卓越的成就。"①他的數(shù)學(xué)教育思想集中體現(xiàn)在《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》一書中。筆者于1995年12月在北京海淀圖書大廈購(gòu)得此書的中文編譯本，如獲至寶。近30年來反復(fù)閱讀，重點(diǎn)章節(jié)閱讀過不下50次。閱讀時(shí)，不但揣摩深思，更以其精彩觀點(diǎn)、深刻思想來指導(dǎo)課題研究與教師培訓(xùn)工作。

書中，最有影響力的兩個(gè)觀點(diǎn)是：數(shù)學(xué)是系統(tǒng)化了的常識(shí);學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實(shí)行"再創(chuàng)造"——又被稱為"數(shù)學(xué)化"或"做中學(xué)"②。前者是對(duì)"數(shù)學(xué)是什么"（數(shù)學(xué)觀）的基本看法，后者是對(duì)"數(shù)學(xué)怎么學(xué)"（數(shù)學(xué)教學(xué)觀）的基本看法，前者決定后者。本文重點(diǎn)闡述"數(shù)學(xué)是系統(tǒng)化了的常識(shí)，的內(nèi)涵及教育意義：縮短數(shù)學(xué)教育"無目的的用處，與"無用處的目的，間的距離是落實(shí)"數(shù)學(xué)是系統(tǒng)化了的常識(shí)，的前提;建立聯(lián)系是"系統(tǒng)化，的內(nèi)核;"再創(chuàng)造，是"系統(tǒng)化，的根本途徑。

由于作者在本書中經(jīng)常辯證性、隱喻式地評(píng)論或批判他人觀點(diǎn)，以此來闡述自己的思想，所以，有必要先概要介紹本書的寫作風(fēng)格與背景。如此，才能更好地"讀進(jìn)去"，理解并運(yùn)用作者的數(shù)學(xué)教育思想。

一、《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》的寫作風(fēng)格與背景

本書是一本數(shù)學(xué)教育哲學(xué)著作，"不是一本數(shù)學(xué)方法論的書"。以下詞匯可以用來概括其特色：文筆幽默、表達(dá)坦承，思維辯證、思想深邃，案例豐富、見解獨(dú)到。例如，本書的序言中寫道："用統(tǒng)計(jì)數(shù)字把自己裝扮起來并不就是把自然科學(xué)的精確性引入到教育研究中來了。那種自負(fù)地宣稱小數(shù)點(diǎn)后面第七位數(shù)字是準(zhǔn)確的而無視小數(shù)點(diǎn)左邊的數(shù)字都錯(cuò)了的態(tài)度，并不是科學(xué)的態(tài)度。"①這一方面明確表明他反對(duì)實(shí)驗(yàn)室里的"試驗(yàn)"，尤其是著名心理學(xué)家皮亞杰關(guān)于數(shù)學(xué)教育的研究觀點(diǎn)，另一方面也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)家獨(dú)有的、充滿數(shù)學(xué)味而又幽默的表達(dá)方式。

當(dāng)然，弗賴登塔爾在本書中，不只是"有證據(jù)地，批判他不認(rèn)可的觀點(diǎn)。在善意、幽默的批評(píng)之后，他一定會(huì)提出自己的思想和方法。例如，他緊接著就給出了數(shù)學(xué)教育應(yīng)有的研究路徑、衡量數(shù)學(xué)教育研究科學(xué)性的準(zhǔn)則："我是從自己的和別人的課堂教學(xué)經(jīng)驗(yàn)中，從教科書中，以及從有經(jīng)驗(yàn)的教師關(guān)于教材和學(xué)習(xí)表現(xiàn)的實(shí)事求是的分析中學(xué)到了不少的東西，而不是從一些所謂的·試驗(yàn)，中學(xué)。！"真正的教育活動(dòng)意味著遵循自己的真誠(chéng)信念去探索正確的教育途徑。只有在健康的教育哲學(xué)的土壤上，具體的研究工作才能興旺起來。數(shù)學(xué)教育的書，其科學(xué)性不是由它有了多少腳注（指引用過別人的著作）來衡量，而是要看它對(duì)數(shù)學(xué)教育哲學(xué)這個(gè)首要問題討論的徹底性如何。"②他的這種思維方式以及不咄咄逼人的態(tài)度更值得數(shù)學(xué)教育研究者和數(shù)學(xué)教師學(xué)習(xí)。

可以說，本書中的名言警句無處不在，比如"教學(xué)與教育是實(shí)踐，把口頭的認(rèn)識(shí)付之實(shí)行常常需要很長(zhǎng)的時(shí)間，③，"并非所有的怪現(xiàn)象都可以用無知來解釋，④等。雖然本書寫于1970年的荷蘭，但仍能切中50多年后中國(guó)教育界的某些弊端。

本書的語(yǔ)言幽默風(fēng)趣、觀點(diǎn)簡(jiǎn)明深刻，并且結(jié)合一線教學(xué)中的"誤區(qū)，來闡釋，但中國(guó)讀者尤其是一線教師初讀本書并不容易真正讀懂。究其原因，筆者認(rèn)為有如下幾方面：一是作者在書中時(shí)不時(shí)要批判"新數(shù)運(yùn)動(dòng)，⑤以及皮亞杰的某些觀點(diǎn)⑥，同時(shí)非常認(rèn)可數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家波利亞、心理學(xué)家布魯納的觀點(diǎn)。他在闡述觀點(diǎn)時(shí)"意有所指"，卻沒有明確寫出來，讀者缺乏相應(yīng)的背景知識(shí)，就難以理解其本意。二是作為數(shù)學(xué)家，作者經(jīng)常在"高觀點(diǎn)，下闡述數(shù)學(xué)教育的原理，這就需要讀者對(duì)大學(xué)各門數(shù)學(xué)課程的相關(guān)術(shù)語(yǔ)及其含義有所了解。當(dāng)然，作者在本書中經(jīng)常用高等數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)來表達(dá)，這也給讀者，尤其是小學(xué)教師帶來閱讀困難。此外，由于本書的中文編譯本對(duì)原著的內(nèi)容有取舍，就使得個(gè)別內(nèi)容讀起來不是太連貫，也導(dǎo)致了閱讀的困難。因此，領(lǐng)悟并理解弗賴登塔爾的教育思想，需要多讀幾遍本書，并且?guī)е鴨栴}，與其他教育理論或?qū)嵺`經(jīng)驗(yàn)對(duì)比著閱讀——當(dāng)然，本書值得如此"精讀"。

二、縮短數(shù)學(xué)教育"無目的的用處，與"無用處的目的，間的距離

數(shù)學(xué)產(chǎn)生于現(xiàn)實(shí)，也應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)，以解決實(shí)際問題。因此，"解決實(shí)際問題，可謂數(shù)學(xué)教育的"用處"。但是，越高深的數(shù)學(xué)，和現(xiàn)實(shí)的關(guān)系越不明顯。因此，某些數(shù)學(xué)內(nèi)容的"目的，不容易說清楚。正如弗賴登塔爾所說："算術(shù)的最基本目的是完全確定的：解決日常生活中的數(shù)值計(jì)算問題。但是水平愈高，目的就愈是不明確。"①

因此，弗賴登塔爾指出："數(shù)學(xué)教育最大的問題就是用處與目的之間的分歧，任何一個(gè)其他的教育領(lǐng)域都不像數(shù)學(xué)教育那樣，在無用處的目的與無目的的用處之間有著如此之大的距離。"②這里的"用處，可以說是顯性的，容易落實(shí)、容易測(cè)評(píng)的短期教育目標(biāo);而"目的，則是隱性的，難以落實(shí)、難以測(cè)評(píng)的長(zhǎng)遠(yuǎn)教育目標(biāo)。數(shù)學(xué)教育中，這兩者存在分歧，因此，"用處，容易成為"無目的的用處"，"目的，容易成為"無用處的目的"。

如何辯證地處理"無目的的用處，與"無用處的目的，？對(duì)這一問題的清醒認(rèn)識(shí)直接影響數(shù)學(xué)課程內(nèi)容、教學(xué)方式等一系列現(xiàn)實(shí)問題，處理好這對(duì)"矛盾，更能增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的動(dòng)力。

弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)教育就是要縮小這個(gè)"距離，（或者說讓兩者得到統(tǒng)一），這是落實(shí)"數(shù)學(xué)是系統(tǒng)化了的常識(shí)，的基礎(chǔ)。對(duì)此，他還給出了明確的指導(dǎo)思想：教師要"看透，數(shù)學(xué)基本概念、技能背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。也就是，以數(shù)學(xué)基本概念、技能為載體，讓學(xué)生在理解、運(yùn)用這些知識(shí)的過程中體驗(yàn)、感悟，逐步掌握數(shù)學(xué)思想方法，形成良好的數(shù)學(xué)思維方式與積極的情感態(tài)度，即當(dāng)下所言的"三會(huì)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界。由此可見他思想的深刻性、前瞻性與指導(dǎo)性。

他舉例說明了小學(xué)算術(shù)的目的絕不僅是"熟練正確計(jì)算"，而蘊(yùn)含著最重要的數(shù)學(xué)思想，但這需要教師懂得"什么是數(shù)學(xué)"。"信奉會(huì)算術(shù)才是最有才能的，這是因?yàn)榻處熕痰乃阈g(shù)是自身能力的頂點(diǎn)和極限。如果一個(gè)教育工作者只知道所教的那些，并不知道更多，那他總是錯(cuò)誤的，會(huì)把僅有的一點(diǎn)知識(shí)捧上了天，當(dāng)作不可侵犯的信條。不少國(guó)家在低年級(jí)教·數(shù)學(xué)，的人甚至不懂得什么是數(shù)學(xué)。"③

例如，如何看待1+1？有多少教師只是在教數(shù)學(xué)事實(shí)"1+1的和是（等于）2，（并強(qiáng)調(diào)算得又快又對(duì)），而不會(huì)讓學(xué)生從整體角度認(rèn)識(shí)1+1？這里的"整體，是指有意識(shí)地滲透代數(shù)思維、模型思想。傳統(tǒng)的算術(shù)教學(xué)中，除了純計(jì)算問題之外，也有構(gòu)造問題（如分?jǐn)?shù)、括號(hào)等）和應(yīng)用問題，都能夠很好地滲透數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的"三會(huì)，素養(yǎng)。

又如，比較兩個(gè)異分母分?jǐn)?shù)的大小，如果定位在"先通分，再比較分子的大小，上，則只是技能層面的要求，體現(xiàn)的就是"無目的的用處"。如果不僅讓學(xué)生"比較兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小"，而且讓學(xué)生在數(shù)軸上尋找兩個(gè)分?jǐn)?shù)（例如一之）之間的其他分?jǐn)?shù)，學(xué)生就會(huì)經(jīng)歷不斷"擴(kuò)分，的過程，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)分?jǐn)?shù)之間存在無數(shù)個(gè)分?jǐn)?shù)（例如，、先"擴(kuò)分，為、，發(fā)現(xiàn)找不到;再"擴(kuò)分，為4（6）、4（8），找到4（7）;接著不斷"擴(kuò)分"，找到333435……），進(jìn)而感悟到分?jǐn)?shù)"太神奇了"。后一個(gè)活動(dòng)充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育"無用處的目的"。

但同時(shí)，弗賴登塔爾也指出："為學(xué)校設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)計(jì)劃而又不了解學(xué)校的數(shù)學(xué)家，從來沒有想到學(xué)校中還有什么事情比學(xué)校數(shù)學(xué)更重要，這些人當(dāng)然也像那些計(jì)算迷一樣，陷人了狹隘的觀念之中。"①該觀點(diǎn)也一針見血地揭示出，當(dāng)下的數(shù)學(xué)教育改革中，專家、學(xué)者們需要深入一線了解中小學(xué)教育現(xiàn)實(shí)，而不要以"我認(rèn)為應(yīng)該……"，提出不切實(shí)際的觀點(diǎn)和理論，從而影響政策制訂和教育實(shí)踐，讓一線教師無所適從。

三、"建立聯(lián)系，不是教"現(xiàn)成的體系"，而是讓學(xué)生多層次組織和提煉

弗賴登塔爾認(rèn)為，落實(shí)"數(shù)學(xué)是系統(tǒng)化了的常識(shí)，是有層次的：常識(shí)要成為數(shù)學(xué)，必須經(jīng)過組織和提煉而凝聚成一定的法則;這些法則在高一層次里又成為常識(shí)，再一次被組織和提煉……如此不斷螺旋上升，以至無窮。這個(gè)"提煉、組織，的過程就是"數(shù)學(xué)化"，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的唯一正確方法。學(xué)生在此過程中則是主動(dòng)的"再創(chuàng)造，者。因此，數(shù)學(xué)內(nèi)部、數(shù)學(xué)與外部的聯(lián)系非常重要，建立聯(lián)系是"系統(tǒng)化，的核心。

但是，"聯(lián)系，不同于"體系"，尤其不是"新數(shù)運(yùn)動(dòng)，所倡導(dǎo)的體系化的知識(shí)，不是把"最高境界（層次），公理化、形式化、結(jié)構(gòu)化的知識(shí)作為"現(xiàn)成的數(shù)學(xué)，教給學(xué)生。把"體系，作為"現(xiàn)成的數(shù)學(xué)，教給學(xué)生，還是作為"做的數(shù)學(xué)，（把數(shù)學(xué)作為人類的基本活動(dòng)）讓學(xué)生"局部地組織，而形成體系？弗賴登塔爾對(duì)這個(gè)問題有清醒的認(rèn)識(shí)——堅(jiān)決反對(duì)"新數(shù)運(yùn)動(dòng)，"將抽象的結(jié)構(gòu)、體系（強(qiáng)調(diào)嚴(yán)密與完整），教給學(xué)生，卻拋棄了不符合體系的全部幾何。

他指出："數(shù)學(xué)體系散發(fā)出迷人的美學(xué)魅力，但卻不能為數(shù)學(xué)知識(shí)淺薄的人所理解。以數(shù)學(xué)體系為最終目的只能是未來數(shù)學(xué)家的教育目的——還不是全部，因?yàn)橄喈?dāng)多的人并不欣賞這個(gè)體系。有很多理由表明，這永遠(yuǎn)不可能是普通數(shù)學(xué)教育的目的。如果以目標(biāo)含糊的體系來決定題材，那就常常包含了無價(jià)值的東西，卻排斥了有意義的事物。（體系）邏輯的嚴(yán)密性具有迷惑性。如果按照這個(gè)體系來進(jìn)行教學(xué)，那是違反教學(xué)法的（例如按照系統(tǒng)化的要求，想以仿射觀點(diǎn)來反對(duì)度量觀點(diǎn)），以致只會(huì)引起學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的反感。"②強(qiáng)調(diào)結(jié)構(gòu)性的體系，強(qiáng)調(diào)現(xiàn)成的數(shù)學(xué)結(jié)果，只會(huì)引起學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的反感，是違背自然傾向的，使學(xué)生學(xué)到的是"死的數(shù)學(xué)"。

他又指出："重要的并不在于一個(gè)人所學(xué)的數(shù)學(xué)是被記住了還是被忘記了，而是在于它是否仍然具有活力，是否仍能起作用，這同樣是個(gè)人生活與人類歷史的規(guī)律（企圖三等分角的無數(shù)次失敗也是一種活力和作用的表現(xiàn)，為伽羅瓦理論開辟了道路）。"③要保證有活力，就必須教給學(xué)生充滿聯(lián)系的數(shù)學(xué)。其實(shí)，學(xué)習(xí)哪些數(shù)學(xué)似乎是無關(guān)緊要的，只要它充滿著聯(lián)系。

強(qiáng)化聯(lián)系是重要的，但關(guān)鍵是要知道從哪一方面去強(qiáng)化。數(shù)學(xué)應(yīng)該是聯(lián)系的，但聯(lián)系不一定是直接的，也不一定在數(shù)學(xué)內(nèi)部。不聯(lián)系現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)將成為虛無的，"但不自然地聯(lián)系現(xiàn)實(shí)也是庸俗的，應(yīng)該從數(shù)學(xué)與它所依附的學(xué)生親身體驗(yàn)的現(xiàn)實(shí)之間去尋找聯(lián)系。對(duì)非數(shù)學(xué)家而言，與親身經(jīng)歷的現(xiàn)實(shí)（而不是生造的虛假的現(xiàn)實(shí)）的聯(lián)系將是至關(guān)重要的，才能有深度，才不會(huì)忘記"①。這些觀點(diǎn)為當(dāng)下強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的綜合性、實(shí)踐性，包括項(xiàng)目式學(xué)習(xí)、STEAM教育等熱點(diǎn)話題敲響警鐘。

數(shù)學(xué)內(nèi)部的聯(lián)系最完美的表現(xiàn)就是體系，但是學(xué)生不可能一下子掌握體系，某些聯(lián)系只有以更高的觀點(diǎn)、在更高的水平上才能建立。他認(rèn)為，自然數(shù)的不同側(cè)面之間、代數(shù)運(yùn)算的不同觀點(diǎn)之間，以及序概念、幾何圖形的仿射性質(zhì)與度量性質(zhì)之間的聯(lián)系，都必須推遲。例如，與距離、角度有關(guān)的圖形性質(zhì)是度量性質(zhì)，與簡(jiǎn)單比有關(guān)的性質(zhì)稱為仿射性質(zhì);仿射性質(zhì)肯定是度量性質(zhì)，度量性質(zhì)卻不一定是仿射性質(zhì)。但是不能跳過度量性質(zhì)，直接教仿射性質(zhì);最初要求的是算術(shù)、幾何、集合論概念與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，不能抽象地、高觀點(diǎn)地講仿射。這些觀點(diǎn)都是在批判"新數(shù)運(yùn)動(dòng)"。他一再?gòu)?qiáng)調(diào)"聯(lián)系必須是自然生成的"，因?yàn)閷W(xué)生并不欣賞教師故意制造的勉強(qiáng)生硬的聯(lián)系，反而欣賞自然的不聯(lián)系。

他又進(jìn)一步指出："在內(nèi)聯(lián)系不應(yīng)局限于演繹關(guān)系，類比也是有效的聯(lián)系，類比具有很大的教育價(jià)值，有助于形成抽象的想象能力，類比是最自然、最基本的，即使在較高水平也仍然具有生命力。學(xué)生自主類比比強(qiáng)加于他的形式的同構(gòu)語(yǔ)言掌握得更好、理解得更深。"②這些觀點(diǎn)對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教育極富生命力——通過類比來理解概念本質(zhì)、探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律與原理等是小學(xué)生的重要學(xué)習(xí)方式。

總之，建立聯(lián)系、形成結(jié)構(gòu)既是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式，邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性是其重要特征。但弗賴登塔爾又辯證地指出："在與數(shù)學(xué)相關(guān)的任何問題中，直覺比嚴(yán)密的邏輯過程起著更為重要的作用。"③設(shè)計(jì)哪些數(shù)學(xué)課程內(nèi)容可以有效平衡"直覺與嚴(yán)密的邏輯"？他提出要注意兩方面："第一種約束就是學(xué)生的接受能力。但沒有那么嚴(yán)重，因?yàn)楦嗟匾蕾囉谌绾谓M織題材。再說，成功也沒有真正的標(biāo)準(zhǔn)，個(gè)別內(nèi)容的成功教授不能說明什么，應(yīng)該看這個(gè)內(nèi)容是否是教育目標(biāo)中的有機(jī)組成部分。其次，某個(gè)題材能教，并不等于這個(gè)題材就應(yīng)該教。數(shù)學(xué)內(nèi)容的先后順序形成結(jié)構(gòu)，教孤立的題材意義不大。還有一個(gè)觀點(diǎn)也值得商榷，即題材是有趣的。這個(gè)論點(diǎn)是虛偽的，因?yàn)槲覀儾⒉话凑諏W(xué)生的興趣來選擇學(xué)習(xí)內(nèi)容。教育的最重要目的是·讓學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容感興趣"，這與·題材有趣，不是一回事，教師也不能濫用·有趣的活動(dòng)"，否則他就變成了煽動(dòng)者而不是教育工作者了。"④

如何讓學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容"真正產(chǎn)生興趣"，而不是通過教師的"煽動(dòng)"？要讓學(xué)生習(xí)慣于質(zhì)疑追問、在認(rèn)知上產(chǎn)生沖突、在合作探究中分享成功的喜悅。這正是實(shí)現(xiàn)"再創(chuàng)造"的前提。如何通過"再創(chuàng)造"落實(shí)"有層次的系統(tǒng)化"，讓學(xué)生真正地學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)、會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)？這是另一個(gè)重要的話題，筆者將結(jié)合弗賴登塔爾的深邃思想另文進(jìn)一步闡釋。

（劉加霞，北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)與科學(xué)教育學(xué)院，教授。主要研究方向：小學(xué)數(shù)學(xué)教育、教師教育。）