“三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)”的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)與比較反思

鄧迎春

[摘? 要] 新一輪的課改使一線教師面臨了更多選擇和思考，針對“三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)（第一課時）”這節(jié)課，在不同的教材版本、不同的主題背景下，教師進(jìn)行了個性化的教學(xué)演繹，研究者對其進(jìn)行了整理、比較、反思.

[關(guān)鍵詞] 教學(xué)設(shè)計(jì);主題教學(xué);比較反思

2019年11月21日，筆者應(yīng)邀參加常州市北郊高級中學(xué)開展的以“聚焦課堂追問，提升教學(xué)效能”為主題的四校同題同構(gòu)課堂教學(xué)展示活動，執(zhí)教“三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)（第一課時）”，采用的是蘇教版必修4教材. 無獨(dú)有偶，筆者在2020年12月3日首屆江蘇省宜興中學(xué)“大概念教學(xué)”公開教研活動中聆聽了南師大二附中張曉飛老師開設(shè)的公開課“正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像”，又在2020年12月17日江陰市高級中學(xué)舉辦的對外公開教學(xué)活動中聆聽了江蘇省宜興中學(xué)張海強(qiáng)老師開設(shè)的公開課“三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)（第一課時）”，這兩位張老師采用的均是人教A版新教材，主題背景都是“大概念教學(xué)”. 聽完兩位張老師的課，筆者心潮澎湃，對同一節(jié)課在不同的教材版本和不同的主題背景下進(jìn)行的教學(xué)演繹也產(chǎn)生了一些思考. 在此不禁把自己的教學(xué)設(shè)計(jì)和課后反思整理如下，與同行共勉.

[?] 教學(xué)設(shè)計(jì)思路

通過“類比—探究—類比（化歸）”得到正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì). 在“聚焦課堂追問，提升教學(xué)效能”的主題背景下，通過類比初中的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)以及高中的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的學(xué)習(xí)，不斷設(shè)問，層層遞進(jìn)，尋得研究函數(shù)的一般思路，探究出正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì);再通過類比（化歸）正弦函數(shù)的學(xué)習(xí)，得到余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì). 整個過程能很好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng).

1. 教材分析

三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，是描述周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，也是一種基本初等函數(shù)，既是解決生產(chǎn)實(shí)際問題的工具，又是進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用.

三角函數(shù)的定義是研究三角函數(shù)的基礎(chǔ)，單位圓中的三角函數(shù)線是研究三角函數(shù)的重要工具，而三角函數(shù)的性質(zhì)則貫穿了全章教材，三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)是本章的重點(diǎn)內(nèi)容也是難點(diǎn)內(nèi)容.

2. 學(xué)情分析

本節(jié)課是針對常州北郊高級中學(xué)的平行班學(xué)生開設(shè)的，經(jīng)了解，學(xué)生已做了一定的預(yù)習(xí).

3. 教學(xué)任務(wù)

本節(jié)課的核心任務(wù)，從宏觀上看，是歸納研究函數(shù)的一般方法;從中觀上看，是突出研究的數(shù)學(xué)思想——數(shù)形結(jié)合思想;從微觀上看，是會作出正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像. 整節(jié)課以問題為驅(qū)動，學(xué)生為主體，探究為主線，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為主位，充分展示學(xué)生自主學(xué)習(xí)和合作討論，讓學(xué)生感受、理解、思考、運(yùn)用、探究、拓展，并激發(fā)學(xué)生的興趣，提高思維水平，鍛煉意志品質(zhì).

4. 教學(xué)目標(biāo)

（1）能借助于正弦線畫出正弦函數(shù)的圖像，并在此基礎(chǔ)上分別用類比思想與化歸思想畫出余弦函數(shù)的圖像.

（2）能利用“五點(diǎn)法”作出正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像.

（3）理解數(shù)形結(jié)合思想在研究函數(shù)時的重要作用.

（4）在探究過程中，滲透數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

5. 教學(xué)重難點(diǎn)、教學(xué)方法

教學(xué)重點(diǎn)：正弦函數(shù)圖像、余弦函數(shù)圖像的探究過程.

教學(xué)難點(diǎn)：用單位圓中的正弦線畫出正弦函數(shù)的圖像.

教學(xué)方法：自主探究和合作學(xué)習(xí).

[?] 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

根據(jù)本節(jié)課的主題背景“聚焦課堂追問，提升教學(xué)效能”，結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，以“問題串”的形式，用10個問題貫穿本節(jié)課的課堂.具體問題和設(shè)計(jì)意圖如下：

問題1：怎么研究三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)？

設(shè)計(jì)意圖：通過回憶和歸納初中的一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，以及高中前面的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的學(xué)習(xí)過程，將學(xué)生零散的、碎片化的研究經(jīng)驗(yàn)加以提煉，抽象出研究函數(shù)的一般方法，幫助學(xué)生將知識、方法系統(tǒng)化，再學(xué)以致用，研究本節(jié)課的正弦函數(shù)、余弦函數(shù). 在此過程中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，將討論總結(jié)出來的經(jīng)驗(yàn)當(dāng)堂用于實(shí)踐，充分調(diào)動學(xué)生的主動性和積極性.

問題2：作函數(shù)圖像最原始的方法是什么？

設(shè)計(jì)意圖：此問題應(yīng)該可以說在所有學(xué)生的能力范圍內(nèi)，從“小而易”的問題出發(fā)有助于充分加強(qiáng)全班學(xué)生的注意力和提升他們的自信心.

問題3：用“描點(diǎn)法”作出函數(shù)圖像的主要步驟是怎樣的？

設(shè)計(jì)意圖：提出此問題，是想抽象出一個經(jīng)常容易被學(xué)生忽視的問題，那就是圖像都是由點(diǎn)構(gòu)成的，要想得到宏觀上的函數(shù)圖像，可以先研究好圖像微觀上的每一個點(diǎn)，再得到宏觀上的圖像.這從宏觀到微觀再到宏觀的研究思路也是筆者在探究一個新問題時常用的方法.

問題4：如何作出點(diǎn)C

，sin

？

設(shè)計(jì)意圖：“描點(diǎn)法”是作函數(shù)圖像的基本方法. 在初中，學(xué)生用的都是“代數(shù)描點(diǎn)法”，但在作點(diǎn)C

，sin

時，學(xué)生發(fā)現(xiàn)大家作出的點(diǎn)都不太一樣，原因就是點(diǎn)C的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是無理數(shù)，只能估計(jì)它的大致位置，作微觀上的一個點(diǎn)都不準(zhǔn)確，那么最后由這些點(diǎn)構(gòu)成的宏觀上的圖像就會產(chǎn)生很大的偏差. 那怎樣才能解決這個問題呢？從而引出了問題5.

問題5：上述作法中所取的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是通過計(jì)算得到的數(shù)值，不易描出對應(yīng)點(diǎn)的精確位置，因此作出的圖像不夠準(zhǔn)確. 是否有其他方法來描點(diǎn)呢？比如是否有其他方法在平面直角坐標(biāo)系中描出點(diǎn)C

，sin

？

設(shè)計(jì)意圖：這是本節(jié)課的難點(diǎn)，由初中的代數(shù)描點(diǎn)發(fā)展到高中的幾何描點(diǎn)（如圖1所示），引導(dǎo)學(xué)生合作探究出三角函數(shù)“形”的定義：三角函數(shù)線.體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng).

問題6：能否借用作C

，sin

的方法，作出函數(shù)y=sinx（x∈[0，2π]）的圖像呢？

設(shè)計(jì)意圖：知道如何作出函數(shù)y=sinx圖像上的一個點(diǎn)，就可以作出一系列的點(diǎn). 給學(xué)生充分的時間，讓學(xué)生自主探究，作出函數(shù)y=sinx（x∈[0，2π]）的圖像（如圖2所示），讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識的產(chǎn)生過程，增強(qiáng)學(xué)生的自信心和學(xué)習(xí)熱情. 在此可以借助于“網(wǎng)絡(luò)畫板”，讓學(xué)生觀看連續(xù)動畫過程，增強(qiáng)視覺效果和心理沖擊.

問題7：已經(jīng)畫出了y=sinx（x∈[0，2π]）的圖像，那么如何畫出y=sinx（x∈R）的圖像呢？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生利用三角函數(shù)的周期性，將y=sinx（x∈[0，2π]）的圖像向左、右平移（每次2π個單位），就可以得到正弦函數(shù)y=sinx（x∈R）的圖像. 在此還可以利用圖形計(jì)算器、計(jì)算機(jī)來作正弦曲線，給學(xué)生展現(xiàn)一個從部分到整體、從有限到無限的擴(kuò)充過程，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng).

問題8：已經(jīng)畫出了正弦函數(shù)的圖像（正弦曲線），那么在此基礎(chǔ)上，能畫出余弦函數(shù)的圖像嗎？

設(shè)計(jì)意圖：正弦函數(shù)與余弦函數(shù)之間有著密切關(guān)系，借助于正弦函數(shù)圖像可以先想象一下余弦函數(shù)的大致圖像，再利用嚴(yán)格的邏輯推理來作余弦函數(shù)的圖像. 首先，學(xué)生同理利用“幾何描點(diǎn)法”，通過三角函數(shù)線描點(diǎn)作圖，區(qū)別就是余弦線是水平的，可以通過函數(shù)y=x將水平的轉(zhuǎn)化為豎直的，再作出點(diǎn);其次，學(xué)生先想到的是同角三角函數(shù)關(guān)系sin2x+cos2x=1，從數(shù)的角度由正弦值求余弦值，后發(fā)現(xiàn)行不通，進(jìn)而轉(zhuǎn)化，利用誘導(dǎo)公式中正弦與余弦的關(guān)系cosx=sin

+x

和cosx=sin

-x

，從形的角度通過圖像變換由正弦函數(shù)圖像得到余弦函數(shù)圖像，但是這兩個誘導(dǎo)公式各有優(yōu)劣，需要選擇. 這兩種方案分別體現(xiàn)了類比和化歸兩種思想，又能很好地培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng)，是本節(jié)課的一個重點(diǎn).

問題9：在精確度要求不太高時，如何快捷地畫出正（余）弦函數(shù)的圖像？

設(shè)計(jì)意圖：在已知正弦函數(shù)圖像大致趨勢的基礎(chǔ)上，通過觀察圖像，可以發(fā)現(xiàn)圖像上起關(guān)鍵作用的有五個點(diǎn)：（0，0），

，1，（π，0），

π，-1，（2π，0）. 事實(shí)上，描出這五點(diǎn)后，正弦函數(shù)y=sinx（x∈[0，2π]）的圖像的形狀就基本確定了.因此在精確度要求不太高時，可以引導(dǎo)學(xué)生先找出這五個關(guān)鍵點(diǎn)，然后用光滑的曲線將它們連接起來，就得到了正弦函數(shù)y=sinx（x∈[0，2π]）的簡圖（如圖3①所示）. 同理，找出余弦函數(shù)圖像上的五個關(guān)鍵點(diǎn)，也可以得到余弦函數(shù)y=cosx（x∈[0，2π]）的簡圖（如圖3②所示）.在此，訓(xùn)練學(xué)生在處理問題時可以看重點(diǎn)、找關(guān)鍵點(diǎn)、抓主要矛盾，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng).

例題：分別作出下列函數(shù)的簡圖（用“五點(diǎn)作圖法”）：（1）y=2sinx，x∈[0，2π]，（2）y=cos2x，x∈[0，π].

學(xué)生作圖，投影展示;教師板演規(guī)范作答，并用計(jì)算機(jī)模擬標(biāo)準(zhǔn)圖像. 鞏固已有的教學(xué)成果，并思考y=2sinx，y=cos2x的圖像分別與正弦曲線和余弦曲線之間的關(guān)系，為后面的教學(xué)作鋪墊.

問題10：試著回顧本節(jié)課的探究過程，從知識、思想、方法以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度出發(fā).

設(shè)計(jì)意圖：回顧反思，提升感悟.讓學(xué)生回顧整節(jié)課的流程，在回顧過程中找到自己的切身感受，再分別從知識、思想、方法和核心素養(yǎng)幾個角度來總結(jié)反思，得到提升.

[?] 教學(xué)反思

1. 基于不同教材的教學(xué)設(shè)計(jì)的反思

從2019年9月到2021年7月，新高考已經(jīng)實(shí)施，但新教材還沒有出版，處于“三新一舊”的過渡時期. 筆者是2019年11月上的課，當(dāng)時常州北郊高級中學(xué)用的仍然是之前的蘇教版教材，對于“三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)”這節(jié)課，蘇教版必修4教材是直接先作出三角函數(shù)的圖像再直觀研究三角函數(shù)性質(zhì)的，筆者的教學(xué)設(shè)計(jì)主要是基于該教材的;兩位張老師是2020年12月份開設(shè)的公開課，當(dāng)時兩所中學(xué)采用的都是人教A版新教材，對于“三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)”這節(jié)課，在人教A版新教材中是通過三角函數(shù)的定義和解析式y(tǒng)=sinx描述正弦函數(shù)圖像的特征的——圍繞定義域、值域、周期性、奇偶性、單調(diào)性等部分性質(zhì)展開，并指出這些性質(zhì)對研究函數(shù)圖像的作用：定義域決定圖像橫向的范圍，值域決定圖像縱向的范圍，周期性決定圖像每隔一個周期都會重復(fù)出現(xiàn)（因此可以先只研究一個周期的圖像），奇偶性決定y軸左右圖像的對稱關(guān)系. 所以這樣看來，對于正弦函數(shù)的圖像，只需要重點(diǎn)研究其在x∈[0，π]這一段即可. 這時再來看單調(diào)性，利用三角函數(shù)線得到y(tǒng)=sinx（x∈[0，π]）的單調(diào)性，粗略地描述圖像的大致走向，有助于學(xué)生直觀想象三角函數(shù)圖像的整體特征.在兩位張老師的課堂上，學(xué)生就是這樣自主和合作探究的，這里摘取兩位學(xué)生的課堂實(shí)錄（如圖4所示）：

其實(shí)，最后學(xué)生對正弦函數(shù)圖像已有了很大程度的認(rèn)識，只是對圖像的凹凸性把握不準(zhǔn)，這時再通過描點(diǎn)作圖（手工較為準(zhǔn)確地作出圖像和計(jì)算機(jī)極其精確地作出圖像），彌補(bǔ)學(xué)生直觀想象上的不足，以達(dá)到邏輯推理的嚴(yán)密性，具體過程和筆者的教學(xué)設(shè)計(jì)差不多.

一個新函數(shù)的研究方案常規(guī)有兩種：方案一，從下到上的研究. 即從函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性（對稱性）、周期性、凹凸性、極限等一系列的數(shù)的特征出發(fā)，可以得到函數(shù)的圖像;方案二，從上至下的研究. 即先作出函數(shù)的圖像，再“看圖說話”得到函數(shù)的性質(zhì)，并給以嚴(yán)格的邏輯證明.這里對正弦函數(shù)的研究，兩本不同的教材實(shí)際上采用的就是這兩種不同的方案，但有時在具體實(shí)踐中，兩種方案往往穿插而行，互相補(bǔ)充.

2021年高三很多模擬考試有一類題，如下：

（單選題）函數(shù)f（x）=（x∈[-π，0）∪（0，π]）的大致圖像為（? ）

[-π][π][x][y][O][-π][x][π][O][y] [-π][π][x][y][O][-π][π][x][y][O][A][B][C][D]

解決此類題就要用到方案一.

還有一類題，如下：

（多選題）定義曲線Γ：+=1為橢圓C：+=1（a>b>0）的伴隨曲線，則（? ）

A. 曲線Γ有對稱軸

B. 曲線Γ沒有對稱軸

C. 曲線Γ有且僅有四個對角線

D. 曲線Γ和橢圓C有公共點(diǎn)

曲線Γ的圖像雖然不是函數(shù)圖像，但是需要用到這類思想，即將方案一和方案二結(jié)合運(yùn)用.

所以在以后的教學(xué)中，可以多看看不同版本的教材，結(jié)合眾家之長，對同一課題進(jìn)行不同的教學(xué)設(shè)計(jì). 比如針對這節(jié)課，可以放手讓學(xué)生提供研究方案，再分組進(jìn)行研究，最后比較研究思路和研究結(jié)果，讓學(xué)生真正地參與學(xué)習(xí)過程，提升學(xué)習(xí)動力，主動學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能，自覺感悟數(shù)學(xué)基本思想，不斷積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)，并逐步學(xué)會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維思考世界、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.

2. 基于不同主題背景的教學(xué)設(shè)計(jì)的反思

主題教學(xué)是指以內(nèi)容為載體，以文本的內(nèi)涵為主體所進(jìn)行的一種語言教學(xué)活動.圍繞有意義的主題進(jìn)行教學(xué)可以加速學(xué)生對新內(nèi)容的內(nèi)化及長期記憶.但主題教學(xué)要與課程知識點(diǎn)緊密耦合，主題完成的同時也要完成知識點(diǎn)的教學(xué)，同時推動主題深入. 筆者在常州北郊高級中學(xué)上課的主題是“聚焦課堂追問，提升教學(xué)效能”，圍繞這個主題，筆者是以“問題串”的形式進(jìn)行的教學(xué)設(shè)計(jì)，使學(xué)生在一個接一個的問題中層層遞進(jìn)地進(jìn)行思考、探究，從而掌握知識、思想和方法. 整個教學(xué)過程的邏輯性、層次性很強(qiáng)，能很好地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).兩位張老師上課的主題背景都是“大概念教學(xué)”，大概念教學(xué)是指在一個學(xué)科領(lǐng)域中最精華、最有價值的學(xué)科內(nèi)容.開展大概念教學(xué)要跳出知識點(diǎn)的慣性思維，考察各知識點(diǎn)的本質(zhì)聯(lián)系，從而把大概念提取出來. 兩位張老師的課中都涉及了兩個大概念：（1）函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念，是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語言和工具;（2）函數(shù)作圖要關(guān)注圖像的基本形狀（描大量的點(diǎn)）和具體位置（抓關(guān)鍵的點(diǎn)）.

同一節(jié)課在不同的主題背景下，學(xué)生所學(xué)到的知識、思想、方法等是大致相同的，但過程中學(xué)生所需要的精力有點(diǎn)差別，最后的效果還有待考證. 比如這節(jié)課，在“聚焦課堂追問，提升教學(xué)效能”主題背景下設(shè)計(jì)的問題串聯(lián)的課堂，學(xué)生學(xué)習(xí)相對輕松一點(diǎn)，給出問題、思考問題、解決問題即可;而在“大概念教學(xué)”主題背景下的課堂，學(xué)生要么能主動地、要么在教師的引導(dǎo)下被動地抽象出本節(jié)課所蘊(yùn)含的大概念，基礎(chǔ)稍微弱一點(diǎn)的學(xué)生就有點(diǎn)吃力，但是如果能長期堅(jiān)持下去，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)會提升很多. 因此，在以后平時的教學(xué)中，要多關(guān)注主題教學(xué)，而不是僅僅在公開課中才拿來說事，要常態(tài)化，打持久戰(zhàn).